Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite.

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1 Derivadas 1 DEFINIÇÃO A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o Cálculo, esta é a derivada. Por definição: A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite. Temos duas notações usadas para ela, a derivada de uma função f(x) é representa como f (x), mais usual, ou como, conhecida como notação de Leibniz e mais usada na Física. Se pegarmos dois pontos de uma curva, obteremos uma reta que passa por eles. A reta tangente a um determinado ponto é simplesmente a escolha de dois pontos infinitamente próximos, é como se chegássemos o ponto Q da figura abaixo, o mais próximo possível do ponto P. Assim, ΔXo tende a zero, obtendo, então, o limite que define a derivada.

2 Podemos definir derivada, também, como a taxa de variação de uma função em determinado valor, essa definição perde um pouco o sentido geométrico e ganha um sentido mais usual. Um exemplo maneiro disso é a velocidade. Pensemos que a velocidade é a taxa de variação da distância em função do tempo, em outras palavras, a velocidade é a derivada da distância em relação ao tempo, ou ainda... 2 DIFERENCIABILIDADE Dizemos que uma função é diferenciável (ou derivável) em um ponto ou intervalo, se existir derivada nesse ponto ou em todos os pontos desse intervalo. A partir daí, podemos relacionar continuidade com diferenciabilidade. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto, mas nem toda função contínua é diferenciável!! Se pensarmos no gráfico da função, essa definição fica mais fácil e intuitiva; ora, se uma função tem reta tangente num ponto, podemos concluir que ela não tem bicos ou descontinuidades, e sim que (pelo menos, dentro de um intervalo) ela foi desenhada sem tirar o lápis do papel Outra forma que podemos dizer do teorema é que uma função descontínua num ponto, não é diferenciável nesse ponto. As funções ao lado exemplificam o teorema, é tranquilo de ver que no ponto a, elas não podem ter reta tangente.

3 É importante ressaltar que o contrário não é válido; Uma função contínua não implica uma função diferenciável. Um exemplo é quando a função possui uma reta tangente vertical; a função é contínua, porém não possui derivada em a, pois, como a derivada é a tangente do ângulo entre a reta vertical e a horizontal, e o ângulo entre elas é 90,. Indeterminação! Obs: Derivadas de ordens superiores Se um função derivada f também for derivável, significa que ela tem uma derivada, esta é chamada de derivada segunda ( f ou ). Um bom exemplo é a aceleração, que é a derivada da velocidade; por sua vez, a velocidade é a derivada da posição. Portanto, a aceleração é a derivada segunda da posição. Além da derivada segunda, temos derivadas terceiras, quartas... e assim por diante, que seguem a mesma ideia da derivada segunda e são denotadas por. 3 REGRAS DE DERIVAÇÃO 3.1 SE F(X) É UMA CONSTANTE, SUA DERIVADA É ZERO. (O gráfico é uma constante, portanto, não há inclinação) - Exemplo: f(x) = 2 f (x) = REGRA DA POTÊNCIA (POLINÔMIOS): f(x) =, então f (x) = - Exemplo: f(x) =

4 f (x) = 2x OBS: vale lembrar que em funções com raízes, usamos essa mesma regra, escrevendo a raiz na forma de potência. nos trará como resposta, escrevemos como e derivamos usando a regra da potência, o que 3.3 REGRA DA CONSTANTE MULTIPLICATIVA: (c é uma constante); [c. f(x)] = c. f (x) - Exemplo: f(x) = 2 f (x) = 2. 3 f (x) = REGRA DA SOMA: - Exemplo: [ f(x) ± g(x) ] = f (x) ± g (x) f(x) = f (x) = 3.5 REGRA DO PRODUTO: É! Infelizmente (rs) a derivada do produto não é o produto das derivadas. Aqui a gente vai utilizar a Regra do Produto, que é simples! Cuidado pra não se confundir. O produto das derivadas nada mais é que (a derivada da primeira função * a segunda função + a derivada da segunda função * a primeira função), como mostrado abaixo. - Exemplo: 3.6 REGRA DO QUOCIENTE: Essa regrinha vem da regra anterior e ambas vêm do conceito de derivada!!

5 - Exemplo: 3.7 NÚMERO NATURAL E: A derivada da função é sempre ela mesma, ou seja, Bora Exercitar? 1. Resposta: Pela regra potência Resposta: Podemos escrever f(x) como e depois usar a regra da potência Resposta:

6 Pela regra da constante multiplicativa... Aplicamos a regra da soma também... Usando a regra da constante e a da potência, obtemos o resultado final Resposta: Pela regra do produto... Aplicando a regra da soma e potência nas derivadas... Fazendo as distributivas e organizando, temos Resposta: Pela regra do quociente... Aplicando a regra da soma e a da potência Resposta: Pela regra do produto... Usando a regra do número natural e escrevendo como...

7 4 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Apesar de serem muito importantes, as funções trigonométricas têm derivadas com demonstrações e provas não muito práticas na hora de se calcular. Então, fica mais fácil decorá-las, porém é importante dizer que simplesmente decorar não é o aconselhado, afinal, ao fazer exercícios, naturalmente acaba se decorando cada derivada. As derivadas de funções trigonométricas mais importantes são, naturalmente, as funções seno e cosseno. Além destas duas, podemos destacar outras duas muito usadas em provas e mais pra frente, em integrais; as funções tangente e secante. Pra provar é só utilizar a regra do quociente: Tente fazer o mesmo para a secante. As outras funções são menos utilizadas, porém são relativamente análogas às outras funções: 5 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS É importante, antes de tudo, a gente definir que se uma função f(x) é diferenciável num ponto a e f (a) 0, sua função inversa g(x) também será diferenciável no b, tal que b = f(a). Além

8 disso, a derivada da inversa será definida como conseguimos encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas.. A partir dessa definição, É importante lembrar que ;. Isso é confusão feita por alguns alunos, então fique atento na hora de usá-las. Tá, sabendo disso, vamos tentar demonstrar as duas principais derivadas de arcos trigonométricos. Pela definição,... Cara, não saquei a última igualdade! O Arco seno de x é qual o ângulo em que o seno é x. Por exemplo:, que dá na mesma que eu escrever. Daí, dá no mesmo fazer aquela última igualdade!! Paro o arco tangente, a gente tem: Porém, as três principais, aquelas que são necessárias saber e que se perderia muito tempo numa prova se derivássemos implicitamente, são arco seno, arco cosseno e arco tangente. 6 REGRA DA CADEIA A regra da cadeia é umas das regras mais importantes da derivação; trata-se da derivação de funções compostas.

9 Ao pegarmos uma função composta (fog (x) do ensino médio), não só derivamos essa função, pois, como seu nome já diz, ela é composta por outra função. Assim, precisamos derivar a função (f(x)) e a função dentro da função (aquela compõe, g(x)). Se você ainda não entendeu, pense no conceito de taxa de variação. Uma função composta possui sua taxa de variação total (sua derivada); porém, para se chegar nessa taxa de variação, precisamos calcular como a função que compõe (g(x)) varia e como a função (f(x)) varia para ter a taxa de variação, como um todo, da função. Fórmula Se g é diferenciável em x e f diferenciável em g(x), temos que a derivada de é: Na notação de Leibniz, podemos escrever na forma: Um exemplo é: Primeiro derivamos o que ta fora: Depois derivamos o que ta dentro. Daí é só multiplicar: :} [UFRJ ] Derive Aqui, é essencial verificar quem está composto em quem. Nesse caso Temos três funções atreladas entre si, são:. Ou seja, vamos ter aqui a função composta dada por:. Sua derivada, pela regra da cadeia, é

10 Logo: Agora multiplicando tudo... 7 DERIVAÇÃO ÍMPLICITA A princípio, esse método pode parecer bastante complicado e assustador ; porém, veremos que ele não é esse monstro. O método da derivação implícita é usado para funções que não estão explicitamente em função de uma variável, por exemplo: ou. Em funções como essas, fica muito difícil explicitar uma variável em função da outra ( separar o x do y ) e depois derivar. Exemplo 1 Para derivarmos essa função, precisaríamos considerar os dois possíveis sinais e depois derivar cada um deles. Não é errado, porém, muito mais trabalhoso e perderíamos muito tempo, o que é precioso numa prova. Exemplo 2 Quando pegamos esta função já não conseguimos nem separar as variáveis, sendo assim mais trabalhoso ainda derivar. A partir de exemplos como esses que surge o método da derivação implícita. O Método consiste em derivarmos, em relação a x, ambos os lados da igualdade de uma função e depois explicitarmos y. (Lembre-se que y é uma função de x, portanto devemos usar a regra da cadeia). Exemplo 1 - Resposta

11 Mas como Exemplo 2 - Resposta (Aqui não tem como isolar o y, então fica assim mesmo) Assim, conseguimos obter a derivada dessas funções em qualquer ponto. Além disso, uma vantagem do método é podermos analisar possíveis pontos críticos para as derivadas, como, por exemplo, o denominador ou numerador darem zero. 8 DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Para encontrarmos e provarmos as derivadas de funções logarítmicas, usaremos a definição de derivada da inversa. Vejamos um caso genérico: Com isso, provamos um tipo de derivada que será muito útil para chegarmos a derivada do logaritmo;. Esse resultado explica a derivada da função ser ela mesma,

12 afinal. A partir desses resultados, podemos prosseguir. A inversa da função exponencial apresentada no exemplo acima é a função logarítmica, aplicando a definição de derivada da inversa, temos: Nas funções com logaritmo na base natural (ln), que são a maioria nas provas e exercícios, a fórmula se torna: 9 DIFERENCIAÇÃO LOGARÍTMICA Essa técnica é uma aplicação do que acabamos de aprender, ela é usada quando lidamos com funções envolvendo muitos produtos, quocientes, potências. Nesses casos, é útil passar o log e depois derivar, pois podemos usar a propriedades de logaritmos. Se você ainda não entendeu, fique calmo, vamos ver um exemplo: -Passando o log dos dois lados... -Aplicando a propriedades de logaritmo... -Derivando...

13 Cara! Já aprendemos tudo sobre como derivar! Basta agora saber como aplicá-las! Isso será tema da nossa próxima apostila. Mas antes disso, vamos exercitar um pouco!! Exercícios Recomendados: 1- [UFRJ ]Calcule 2- [UFRJ ] Calcule a derivada f (x) se 3- [Rumo ao ITA] Encontre a equação da reta tangente à elipse x² + 2y² = 2 no ponto (0,1) pertencente à curva. 4- Derive: a. b. c. d. e. f. g. h.., Gabarito: 1) 2) 3) y =0 4) a. b. c. d. e. f. g. h.