UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO

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1 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO 1 MATERIAL EM CONSTRUÇÃO PROFESSOR: RAIMUNDO AUGUSTO Santarém-Pará 2016

2 2 INTRODUÇÃO Na disciplina se utiliza todo conhecimento já adquirido de matemática; Desenvolve o estudo de funções de um variável real; Estudo de funções; Limite, derivação e integração ( técnicas de estudos de funções).

3 3 FUNÇÕES Relação entre números reais unívoca. Conjunto dos números reais Onde D é o Domínio de f Gráfico de f: * + * + Gráfico da reta vertical de mínimos e máximos Criando novas funções de funções conhecidas { { Ex: Começando com Construção das funções polinomiais Construção das funções racionais Ex: *, -+ 1) Transformações das variáveis

4 4 { Ex:. / Figura 2: gráfico da função f(x) e g(x) Fonte: Geogebra Ex:. /. /. / Figura 3: gráfico da função f(x) e g(x) Fonte: Geogebra Função par: Função impar: SIMETRIAS

5 5 Obs.: Não existe simetria no eixo x Composição de função 2) Transformações da variação em geral ( ) Ex: { DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO INVERSA Dada a função g(x) então f(x) é sua inversa se: { Condições: 1) 2) Ex: * + Dom(f), * + * + CONCEITO FUNDAMENTAL DE LIMITE

6 6 Noções de derivada Figura 3: gráfico da derivada Fonte: ( ) Figura 4: Função derivada fonte:

7 7 Figura 6: gráfico da função 2x Fonte: Geogebra Figura 7: gráfico da função f(x) = 4x-4 Fonte: Geogebra Gráfico da função limite * + Dizemos que se dado, existe tal que se.

8 8 Figura 9: gráfico da função limite Fonte: definicao-formal-de-limite.html Ex: Escolho LIMITES LATERAIS

9 9 Figura 10: gráfico da função limite lateral Fonte: a) b) c) d) e) f) Propriedade de limite 1., - 2., - 3., - 4., - 5., - 6., -, Exercício: 1. Calcule os limites a seguir justificando cada passagem. a)

10 10 b) 2. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Senão existir, explique por quê. a) b) c) d) e) Falta o gráfico Teorema: Se quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os limites de f e g existem quando x tende a a então: TEOREMA DO CONFRONTO Se quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e: Então Ex: Mostre que Figura 12: gráfico da função Fonte: Geogebra Exercício 1: Mostre que

11 11 LIMITE INFINITO Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possível em 0. Então: Significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Obs.: Falar do - Encontre se existir, o gráfico Ex: Exercício: 1) 2) 3) 4) CONTINUIDADE Definição: Uma função é contínua em Ex: Toda função polinomial ou racional é contínua em todos os pontos de seu domínio. a) * +

12 12 Figura 14: gráfico da função Fonte: Geogebra b) { Gráfico Pela definição, requer 3 coisas 1. f(a) esta definida ( isto é, a está no domínio de f) Exercícios: a) b) { c) { d) e) Teorema: Se forem contínuas em a e c for constante, então as seguintes funções também são contínuas em a: 1) 2) 3)

13 13 4) 5) Demonstração de 1 Sabendo que: Então: ( Teorema: Os seguintes tipos de funções são continuas para todo número de seus domínios: POLINÔMIOS, RACIONAIS, RAÍZES, TRIGONO METRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS. LIMITES NO INFINITO; ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Definição: Seja uma função definida em algum intervalo. Então: Significa que os valores de ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente grande. Exemplo: Exemplo: Exercício: Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função. Resolução:

14 14 Gráfico de assíntota LIMITES INFINITOS NO INFINITO Notação: Exemplo: Encontre Exercício: 1) 2) 3) 4) Gráfico da definição de derivada DERIVADA PELA DEFINIÇÃO DE LIMITE Ex.:

15 15 Gráfico da reta tangente Gráfico da geometria Exercício: 1) 2) 3) REGRA DA SOMA, - Seja

16 16 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Definição do número Logo quando temos, temos: REGRA DO PRODUTO OU DE LEIBNIZ, -, -, - Ex.: 1) 2) REGRA DO QUOCIENTE [, - ], -, - Ex.:

17 17 1) 2) Resumo: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8). / Exercício: 1. Derive: a) b) c) d) e) f) Exercício para casa, pagina 173 questões: 1-30,41-44.