Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

Transcrição

1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática a Lista MAT Cálculo I 018/I DERIVADAS Para este tópico considera-se uma função f : D R R, definida num domínio D, onde D pode ser um intervalo aberto do tipo I = (a, b) ou D pode ser a reunião de intervalos abertos ou D pode ser um conjunto tal que para todo intervalo aberto I com x 0 I se tena I (D \ {x 0 }). Definição 1 Dizemos que f : D R é derivável(diferenciável) em x 0 D se o seguinte limite existir. f(x) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) lim ou equivalentemente, fazendo = x x 0 lim x x 0 x x 0 0 Nesse caso escrevemos f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Dizemos que f é derivável em D se f é derivável em cada ponto x D. Notações usuais: f (x) = df(x) dx Considerando funções deriváveis, as regras de derivação básicas são: 1. Se f é a função constante, então f (x) = 0. (f + g) (x) = f (x) + g (x). (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 4. ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x), para g(x) 0 g (x) Regra da Cadeia ou derivada da composta de funções Quando f g estiver bem definida, temos (f g) (x) = f (g(x)).g (x). Deste modo: (f g ) (x) = f ((g )(x)).(g ) (x) = f ((g )(x)).g ((x)). (x) Derivação implícita Temos uma equação E(x, y) = 0. Queremos encontrar y. Se deriva em relação a x a ambos os lados usando as regras anteriores, atentar que ao derivar y, devemos escrever y. Depois se coloca em evidencia y. Reta tangente e normal em (x 0, f(x 0 )) Graf(f) L T : y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) L N : y f(x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0), desde que f (x 0 ) 0. Quando f (x 0 ) = 0 a reta normal é x = x 0.

2 EXEMPLOS: 1. Calcular a derivada no ponto x = a das funções f e g dadas por f(x) = g(x) = (x 1) 1/4. Solução: Como é a derivada em um ponto, usamos a definição. limites. Primeiro para f: a + f(a + ) f(a) lim 0 = lim a a a = (a + )(a + 1) a(a + + 1) = lim 0 (a + 1)(a + + 1) De onde f 1 (a) = (a + 1) Agora, para g: x x + 1 e Vejamos se existem os = lim 0 (a + 1)(a + + 1) = 1 (a + 1) g(a + ) g(a) ((a + ) 1) 1/4 (a 1) 1/4 lim 0 = lim 0 Fazendo A = ((a+) 1) 1/4 e B = (a 1) 1/4, temos A 4 = (a+) 1 e B 4 = a 1. Note que A 4 B 4 = (A B )(A +B ) = (A B)(A+B)(A +B ) = (A B)(A +A B +AB +B ), A 4 B 4 logo A B =. Substituindo temos: (A + B)(A + B ) lim 0 ((a + ) 1) 1/4 (a 1) 1/4 lim 0 (a + ) 1 [a 1] [((a + ) 1) 1/4 + (a 1) 1/4 ][((a + ) 1) /4 + (a 1) /4 ] = lim 0 a + [((a + ) 1) 1/4 + (a 1) 1/4 ][((a + ) 1) /4 + (a 1) /4 ] = a + lim 0 [((a + ) 1) 1/4 + (a 1) 1/4 ][((a + ) 1) /4 + (a 1) /4 ] = De onde g a (a) = (a 1). /4 = a (a 1) /4. Determinar a primeira derivada das funções f e g definidas por f(x) = x x + 1 e g(x) = (x 1) 1/4 Solução: Aqui, pede a derivada em qualquer ponto x. Para determinar usamos as regras de derivação. Primeiro para f, usamos a regra do quociente, a regra da soma e a derivada de uma constante: f x (x) = ( x + 1 ) = (x) (x + 1) x(x + 1) = x + 1 x = (x + 1) (x + 1) 1 (x + 1) Para calcular a derivada de g, lembrar que (x q ) = qx q 1, q R. Vamos usar a regra da cadeia. g (x) = [(x 1) 1/4 ] = 1 4 (x 1) /4 x (x) = (x 1) /4

3 . Determinar a equação da reta tangente e normal, caso existam, ao gráfico de f no ponto (1, 1/), onde f(x) = x x + 1. Solução: Note que (1, 1/) Graf(f), pois f(1) = 1/. Calculando lim 0 f(1 + ) f(1) como no primeiro exemplo temos f (1) = 1/4. Logo, as equações das retas tangente e normal vem dada por: L T : y 1/ = 1/4(x 1) e L N : y 1/ = 4(x 1) 4. Determinar a equação da reta tangente e normal ao gráfico de g no ponto (, 1), onde g(x) = (x 1) 1/4. Solução: Note que (, 1) Graf(g) pois g( ) = 1. g( + ) g( ) Calculando lim 0 como no primeiro exemplo temos g ( ) = Logo, L T : y 1 = (x ) e L N : y 1 = (x ) 5. Determinar y, onde y vem dada pela equação xy + xy = x y. Solução: Usamos a derivação implícita e as demais regras. (xy) + ( xy) = (x y) (x) y + x(y) + 1 xy (xy) = (x) (y) y + xy + 1 xy (y + xy ) = 1 y y [x x xy ] = 1 y y xy 1 y y y = x xy x xy = xy y xy y x xy + xy + x x 6. Calcular a derivada de f(x) = x x+5 Solução: Para encontrar a derivada temos duas formas que são equivalentes, mas encaradas de forma diferente. Primeira forma: Reescrevemos f, usando o fato de que a função exponencial é inversa da função logaritmo, da seguinte forma x ) f(x) = eln(x e ln(x+5 ) Agora, aplicamos as regras de derivação. = e (x x) ln() (x+5) ln() f (x) = e (x x) ln() (x+5) ln() [(x ) ln() ln()] = x x [(x ) ln() ln()] x+5 Segunda forma: Aplicamos a função ln a ambos os lados de f(x) = x x ln(f(x)) = ln( x x x+5 ) = (x x) ln() (x + 5) ln(), obtendo x+5.

4 Derivamos a ambos os lados usando a regra da cadeia e obtemos f (x) f(x) = (x ) ln() ln(), de onde f (x) = f(x)[(x ) ln() ln()] = x x [(x ) ln() ln()] x+5 EXERCÍCIOS: 1. Exercícios sugeridos do livro do Leitold V1. Capítulo. Seção.1(p. 147) 1-7; 4-60 Seção.(p. 155) 1-4 Seção.(p ) 17-40; 47 Seção.4(p. 171) 16- Seção.5(p. 180) 17-4; Seção.6(p. 189) 1-5(só ímpares) Seção.7(p. 194) 1-4; 5-6(só pares) Seção.8(p. 198) 1-1(só ímpares); 1-6(só pares); -7 Seção.10(p. 11) 1-15(só ímpares). Determinar, caso exista, a derivada de f, no ponto x = x 0 indicado: a) f(x) = x x 0 = 0, { x se x < 1 b) f(x) = x se x > 1 5x 5 se x < 0 c) f(x) = 5 se x = 0 x + 5 se x > 0 x 0 = 1 x 0 = 0. Determinar a derivada das funções dadas abaixo. a) f(x) = x x. b) f(x) = a + bx c + dx. c) f(z) = 1 + z 1 z. d) f(w) = sen w + cos w sen w cos w + ln(w ). e) f(x) = cos (e x +ln x ) + ln (sen x tg x).

5 ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES Para o esboço do gráfico de uma função f, entre muitos outros critérios, atentamos para os seguintes: 1. Determinar o domínio da função f.. Determinar os pontos críticos de f: Pontos onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe.. Determinar os intevalos de monoticidade da função (intervalos onde f é crescente, decrescente): Obter f (x) e estudar sinal. 4. Determinar os pontos de extremos relativos: máximo local, mínimo local. 5. Estudar a concavidade da função: Obter f (x) e analisar o sinal. 6. Determinar os pontos de inflexão de f da forma (x 0, f(x 0 )). 7. Determinar as assintotas orizontais e verticais de f, caso existam. 8. Esboçar o gráfico de f com as informações obtidas de 1 a 6. EXEMPLOS: 1. Esboçar o gráfico de f(x) = x 1 x + 1. Solução: Note que Dom(f) = R. f 4x (x) = (x + 1), de onde f (x) = 0 x = 0. Assim P C = {0}. Note que: f (x) > 0 x > 0, logo f é crescente em (0, + ) f (x) < 0 x < 0, logo f é decrescente em (, 0) A partir destas informações, concluímos que x = 0 é ponto de mínimo local. f (x) = 4(1 x ) (x + 1), de onde f (x) = 0 x = ou x =. Daqui, candidatos a pontos de inflexão são (, f( )), (, f( )). Estudemos a concavidade. f (x) > 0 x (, ). Logo, f é côncava para cima em (, ). f (x) < 0 x (, ) (, + ). Logo, f é côncava para baixo em (, ) (, + ). A partir destas informações, concluimos que (, f( )), (, f( )) são pontos de inflexão. Vejamos se existem assintotas ao gráfico de f. Para tal calculamos: x 1 lim x + x + 1 = 1, lim x 1 x = 1. Então a reta y = 1 é assintota orizontal. x + 1 A função não tem pontos de indefinição, logo não possui assintotas verticais. Após este estudo, podemos fazer o esboço do gráfico de f.

6 y x 1 4 Figura 1: gráfico de f(x) = x 1 x + 1. Esboçar o gráfico de f(x) = x + 1 x 1. Solução: Note que Dom(f) = R \ { 1, 1}. f (x) = 4x (x 1), de onde f (x) = 0 x = 0 e f (x) não existe em x = 1 e x = 1. Daqui P C = {0}, uma vez que { 1, 1} Dom(f). f (x) > 0 x < 0. Logo, f é crescente em (, 1) ( 1, 0). f (x) < 0 x > 0. Logo, f é decrescente em (0, 1) (1, + ). A partir destas informações temos que x = 0 é ponto de máximo local. f (x) = 4(1 + 4x ) (x 1), de onde f (x) nunca se torna zero e f (x) não existe para x = 1 e x = 1 que não fazem parte do domínio. Assim, não á candidatos a pontos de inflexão. Estudemos a concavidade. f (x) > 0 x (, 1) (1, + ). Logo, f é côncava para cima em (, 1) (1, + ). f (x) < 0 x ( 1, 1). Logo, f é côncava para baixo em ( 1, 1). Vejamos se existem assintotas. x + 1 lim x + x 1 = 1 e lim x + 1 x = 1. Então a reta y = 1 é assintota orizontal. x 1 x + 1 x + 1 x + 1 lim x 1 + =, lim x x 1 = +, lim 1 x x x 1 = +, x + 1 lim x 1 =. Então as retas x = 1 e x = 1 são assintotas verticais. x 1

7 O esboço do gráfico é: y x 1 4 Figura : gráfico de f(x) = x + 1 x 1 EXERCÍCIOS: 1. Exercícios sugeridos do livro do Leitold V1. Capítulo 4. Seção 4.4(p. 40) 1-40(só ímpares) Seção 4.5(p. 48) 1-4(só ímpares); 5-7; -40(só ímpares) Seção 4.6(p. 5) 1-(só ímpares) Seção 4.7(p. 59) 1-0(só ímpares). Esboçar o gráfico das seguintes funções: (a) f(x) = x x x 1 (b) f(x) = x 4 x (c) f(x) = x + 4 x 4 (d) f(x) = x x + (e) f(x) = 1 x x + 1 (f) f(x) = x x x 1 (g) f(x) = x (1 x )

8 TAXA RELACIONADA Para esta aplicação de derivadas temos variáveis que são função do tempo t e relacionadas por uma lei de formação ou equação. É conecida a derivada num instante de tempo t = t 0 de todas menos uma das variáveis envolvidas e o objetivo é determinar a derivada em t = t 0 dessa variável faltante. Para resolver problemas deste tipo, primeiro se monta a equação que envolve as variáveis e depois se aplica derivação implicita e as regras de derivação para colocar em evidencia a derivada que procuramos. EXEMPLOS: Veja os exemplos que aparecem no livro texto página EXERCÍCIOS: 1. Exercícios sugeridos do livro do Leitold V1. Capítulo. Seção.9(p. 04) 1-8; 9-1(só ímpares). Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela equação: y xy + x = 5 Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 1, no instante em que x = 0. Determine a taxa de variação de y em relação a t neste mesmo instante.. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar orizontalmente à taxa constante de 0, 6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 4m do solo? 4. Uma lâmpada colocada num poste está a 5m de altura. Se um omem de m de altura camina afastando-se do poste à razão de 5m/s, com que rapidez cresce sua sombra? 5. Às 8 o navio A está a 5km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/ e o navio B está navegando para o sul a 0km/, determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 80min. 6. Ao ser aquecida uma capa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0, 01cm/min. Determine a taxa com qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro é 0cm. 7. Um ponto P se move ao longo da parte superior da parábola y = x, de modo que sua abscissa cresce na razão constante de m/s. A projeção de P sobre o eixo X é M. Com que velocidade varia a área do triângulo OMP, onde O é a origem, quando a abscissa de P é igual a 4m? 8. A base de um triângulo retângulo cresce a razão de 5cm/s, enquanto a altura permanece constante em =0. A que velocidade está variando o ângulo da base quando a base é igual a 0? 9. A areia que vaza de um depósito forma uma pila cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura da pila aumenta à razão de 15cm/min. Determine a taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pila é 5cm.