Derivadas 1

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1 Derivadas 1

2 Índice AULA 1 Introdução 3 AULA 2 Derivadas fundamentais 5 AULA 3 Derivada do produto e do quociente de funções 7 AULA 4 Regra da cadeia 9 Derivadas 2

3 Introdução AULA 1 A derivada surgiu a partir de um problema conhecido como o problema da tangente, que consiste no seguinte: Esse quociente corresponde a inclinação da reta secante que passa por esses dois pontos (x 0, f(x 0 )). e (x, f(x)), como ilustrado no gráfico a seguir: Como traçar uma reta tangente a uma curva num dado ponto? A solução está em aproximar uma reta secante até ela ficar tão próxima que pode ser considerada a tangente procurada. Observe a ilustração: Temos um função f e queremos determinar a reta tangente a essa função num dado ponto P, fixo, de coordenadas (x 0, f(x 0 )). Para isso, tomamos um outro ponto Q da função, de coordenadas (x, f(x)) e ligamos esses dois pontos traçando a reta secante PQ. Note que a medida em que os valores de x se aproximam do valor de x 0, o ponto Q se aproxima do ponto P, de modo que a secante fica cada vez mais próxima da tangente. Dizemos então que a reta tangente a f(x) no ponto P é a posição limite da reta secante PQ quando Q desliza ao longo da curva em direção a P. Taxa de variação de uma função Taxa de variação média de uma função A taxa de variação média de uma função num determinado intervalo [x 0, x] contido no domínio da função, é a variação dos valores de f(x) dividido pela variação dos valores de x: f(x) f(x 0 ) x x 0 A inclinação da reta secante é o seu coeficiente angular cujo valor corresponde a tangente do ângulo β, assim: m = tg β = y x = f(x) f(x 0 ) x x 0 Por exemplo, se uma determinada função f(x) apresenta f(3) = 5 e f(7) = 17, a taxa média de variação no intervalo [3,7] será de 12/4 = 3, significa que, em média, a cada unidade de x, f(x) variou 3 unidades, independentemente de qual função passa por esses pontos. Ou seja, a taxa de variação média indica com que rapidez a função varia, isto é, ela se refere a um intervalo de valores de x, em que o valor de f(x) pode ter aumentado ou diminuído muito mais rapidamente do que o indicado pela taxa de variação média. Taxa de variação instantânea Taxa de variação instantânea é a taxa de variação de uma função em um ponto (x 0, f(x 0 )), ou seja, é a taxa de variação a cada instante, corresponde ao coeficiente angular da reta tangente a função no ponto, que é a derivada da função nesse ponto. Precisamos então, encontrar o coeficiente angular da reta tangente a uma função f(x) num ponto (x 0, f(x 0 )). Para isso, basta lembrar o problema inicial da aula, onde para traçar uma tangente a uma função num ponto (x 0, f(x 0 )) tomamos um segundo ponto (x, f(x)) e a reta secante que liga esses dois pontos tende a reta tangente a medida que x tende a zero. limite. Derivadas 3

4 Logo, basta calcularmos o limite do coeficiente da reta secante que passa por (x 0, f(x 0 )) e (x, f(x)) quando x tende a zero e teremos o coeficiente angular da reta tangente. O coeficiente angular da secanteé dado pela taxa de variação média da função no intervalo [x 0, x] como já vimos: m = f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0 ) x x 0 x Fazendo o limite, temos: f(x) f(x 0 ) lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) x 0 x x Chegamos assim na definição de derivada. O resultado desse limite, se existir e for finito, é a derivada da função y = f(x) no ponto onde x = x 0, e indica-se por f (x 0 ). A derivada como uma função Já sabemos o que é a derivada de uma função f(x) em um número x 0, mas e se quisermos encontrar a derivada para qualquer número x? É só deixar esse x 0 variar, trocando ele por uma variável x, assim encontramos uma nova função para calcular a derivada em qualquer número onde ela exista, essa nova função é chamada de derivada da função f e é dada por: f f(x + x) f(x) (x) = lim x 0 x Essa função derivada pode ser indicada por f (x) ou y ou ainda y f ou. x x Derivadas de ordem superior Como vimos, se f é uma função diferenciável então sua derivada f também é uma função, de modo que pode ter a sua própria derivada, denotada por f. Esta nova função é chamada de segunda derivada ou derivada de ordem 2 de f. A terceira derivada de f é a derivada de f, representada por f, a quarta derivada de f é a derivada de f usualmente denotada por f (4) e assim por diante. De maneira geral, a n-ésima derivada de f é denotada por f (n) e obtida a partir de f, derivando n vezes. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Mostre que toda função f: R R, definida por f(x) = ax + b tem como derivada f (x) = a. 2) Determine a derivada da função f(x) = x 2 2x + 1 utilizando a definição, em seguida, calcule o valor da derivada quando x = 3. EXERCÍCIOS 1 Aplicando a definição, calcule a derivada da função f(x) = x 2 + x para: a) x = 3 b) x = 2 2 Dada a função f(x) = 2 + x 3 x, determine a derivada de f(x) no ponto x = 1. 3 a 10 - Encontre a derivada da função dada usando a definição. 3) f(x) = 1 2 x 1 3 4) f(x) = mx + b 5) f(t) = 9t 2 6) f(x) = 1,5x 2 x 7) f(x) = x 3 3x + 5 8) g(x) = x + x 9) f(x) = x ) f(x) = x 4 GABARITO 1) a) f (3) = 7 b) f ( 2) = 3 2) f (1) = 5 4 3) f (x) = 1 2 4) f (x) = m 5) f (t) = 18t 6) f (x) = 3x 1 7) f (x) = 3x 2 3 8) g (x) = 1 2 x f (x) = 3 x 2 10) f (x) = 4x 3 Derivadas 4

5 AULA 2 Derivadas fundamentais Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x) por meio da definição. Mas esse processo é trabalhoso e nada prático, então estudaremos algumas regras (que vamos admitir sem demonstração) que permitem calcular mais facilmente a derivada de uma função f(x). Vejamos as derivadas fundamentais: Derivada da soma ou diferença de funções Seja f(x) = u(x) ± v(x). Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença é igual a soma ou diferença das derivadas. Ou seja: y = u ± v y = u ± v Exemplo: f(x) = 2x 3 3x 2 + 4x 6 f (x) = 3 2x x x 1 1 f (x) = 6x 2 6x + 4 Derivada da função constante Se k é uma constante e f(x) = k, então f (x) = 0. Exemplos: f(x) = 5 f (x) = 0 f(x) = 3/5 f (x) = 0 Derivada da função potência Se f(x) = x n, com n R, então f (x) = n x n 1. Exemplos: f(x) = x 7 f (x) = 7x 7 1 = 7x 6 f(x) = x = x 1 2 f (x) = 1 2 x1 2 1 = x Derivada do produto de uma constante por uma função Se g(x) = k f(x), sendo k uma constante e f(x) derivável, então g (x) = k f (x). Exemplos: f(x) = 5x 3 f (x) = 5 3x 3 1 = 15x 2 f(x) = 4 x 3 = 4x 3 f (x) = 4( 3)x 3 1 = 12x 4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Encontre a derivada da função f(x) = x5 2 3x3 + x Derive a função f(x) = 1 3 2x 2 3 Encontre a equação da reta tangente à curva f(x) = 3x 2 x 3 no ponto (1, 2). 1 a 8 Derive a função. 1) f(x) = 186,5 2) f(x) = 5x 1 3) f(x) = 30 4) f(x) = 4x 10 EXERCÍCIOS 5) f(x) = x 3 4x + 6 6) f(x) = x 2,4 + e 2,4 7) f(x) = ln (e) x 2 5 8) f(x) = 2 3 x 2 Derivadas 5

6 9 e 10 Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 4 9) f(x) = x no ponto (1, 1). 10) f(x) = 5x 3 2x no ponto (1, 6). GABARITO 1) f (x) = 0 2) f (x) = 5 3) f (x) = 0 4) f (x) = 40x 9 5) f (x) = 3x 2 4 6) f (x) = 2,4x 1,4 7) f (x) = ln (e) 2 5 x 7 5 8) f (x) = 4 3 x 5 3 9) y = x ) y = 11x 5 ANOTAÇÕES Derivadas 6

7 AULA 3 Derivada do produto e do quociente de funções Regra do produto Sejam as funções f(x) e g(x), ambas deriváveis, então a derivada de h(x) = f(x) g(x) é dada por: h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Exemplo: f(x) = (x 2 2x)(3 + 5x) f (x) = (2x 2)(3 + 5x) + (x 2 2x)(5) f (x) = 6x + 10x x + 5x 2 10x f (x) = 15x 2 14x 6 Regra do quociente Sejam as funções f(x) e g(x), ambas deriváveis, então a derivada de é dada por: h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) [g(x)] 2 Exemplo: f(x) = x2 + 1 x 3 f (x) = (2x)(x 3) (x2 + 1)(1) (x 3) 2 f (x) = 2x2 6x x 2 1 x 2 6x + 9 f (x) = x2 6x 1 x 2 6x + 9 Derivada das funções trigonométricas f(x) = sen(x) f (x) = cos (x) f(x) = cos(x) f (x) = sen (x) f(x) = tg(x) f (x) = sec 2 (x) f(x) = cossec(x) f (x) = cossec (x) cotg(x) f(x) = sec(x) f (x) = sec(x) tg(x) f(x) = cotg(x) f (x) = cossec 2 (x) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Derive a função f(x) = x 2 (3x 1)sen(x) 2 - Sabendo que a derivada de sen(x) é cos(x) e que a derivada de cos(x) é sen(x), demonstre que: a) Se f(x) = tg(x) então f (x) = sec 2 (x) b) Se f(x) = cossec(x) então f (x) = cossec(x)cotg(x) c) Se f(x) = sec(x) então f (x) = sec(x)tg(x) 3 - Derive a função f(x) = x 2 sen(x)tg(x) ANOTAÇÕES A derivada da função sen(x) é dada por cos(x) e a derivada da função cos(x) é sen(x). Com essas duas derivadas fundamentais, utilizamos a regra do quociente e encontramos a derivada de todas as funções trigonométricas, que estão indicadas a seguir: Derivadas 7

8 EXERCÍCIOS ANOTAÇÕES 1 a 10 - Derive. 1) f(x) = (x 3 7)(2x 2 + 3) 2) f(x) = 4x(3x 1)(2x + 3) 3) f(x) = x sen(x) 4) g(t) = t 3 cos (t) 5) f(x) = sen(x)cos (x) x 6) f(x) = 2 tg(x) 7) f(x) = 8) f(x) = 9) f(x) = 10) y = cos (x) 1 sen(x) 1 sec (x) tg(x) sec (x) 1 + sec (x) t sen(t) 1 + t GABARITO 1) f (x) = 10x 4 + 9x 2 28x 2) f (x) = 72x x 12 3) f (x) = sen(x) + x cos (x) 2 2 4) g (t) = 3t 2 cos(t) t 3 sen(t) 5) f (x) = cos 2 (x) sen 2 (x) 6) f (x) = 2 tg(x) + x sec2 (x) [2 tg(x)] 2 7) f (x) = sen(x) + 1 [1 sen(x)] 2 8) f (x) = tg2 (x) + sec(x) 1 tg 2 (x) 9) f (x) = sec(x) tg(x) [1 sec 2 (x)] 2 10) y = (t2 + t) cos(t) + sen(t) (1 + t) 2 Derivadas 8

9 AULA 4 EXERCÍCIOS Regra da cadeia A derivada da função composta, mais conhecida como regra da cadeia, permite o cálculo da derivada de uma função do tipo h(x) = f(g(x)). Se existirem as derivadas f (g(x)) e g (x), a derivada de h(x) é dada por: Exemplos: h (x) = f (g(x)) g (x) Calcule a derivada da função f(x) = (x 2 + 1) 4 Essa função é da forma f(g(x)), quando consideramos g(x) = x e f(g(x)) = [g(x)] 4. Como g (x) = 2x e f (g(x)) = 4[g(x)] 3 temos: f (x) = 4(x 2 + 1) 3 2x f (x) = 8x(x 2 + 1) 3 Calcule a derivada de y = sen(3x) g(x) = 3x e f(g(x)) = sen(g(x)). Logo, g (x) = 3 e f (g(x)) = cos(g(x)). Assim, y = 3 cos (3x). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 a 5 Derive a função. 1) y = cos 2 (2x) 2) y = ln(x 3 ) 3) y = 2 x2 4) y = sen(tg(2x)) 1 a 10 - Encontre a derivada da função. 1) f(x) = (x 4 + 3x 2 2) 5 4 2) f(x) = 1 + 2x + x 3 3) g(t) = 1 (t 4 + 1) 3 4) y = cos(a 3 + x 3 ) 5) y = (2x 3) 4 (x 2 + x + 1) 5 6) y = ( x x 2 1 ) 7) y = 5 1 x 8) y = cos(x 2 ) 9) y = xe kx 10) y = sen(sen(3x)) GABARITO 1) f (x) = 10x(x 4 + 3x 2 2) 4 (2x 2 + 3) 2) f (x) = 2 + 3x 2 4(1 + 2x + x 3 ) 3 4 3) g (t) = 12t3 (t 4 + 1) 4 4) y = 3x 2 sen(a 3 + x 3 ) 5) y = (2x + 3) 3 (x 2 + x + 1) 4 (28x 2 12x 7) 6) y = 12x(x2 + 1) 2 (x 2 1) 4 7) y = 5 1 x(ln 5)/x 2 8) y = 2x sen(x 2 ) 9) y = e kx ( kx + 1) 10) y = 3cos(sen(3x))cos (3x) 5) y = e t sen(2t) Derivadas 9

10 REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa, vol. 3. 2a. ed. São Paulo, FTD. STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São Paulo, Cengage Learning. Derivadas 10