Lista 2 - Cálculo. 17 de maio de Se f e g são funções cujos grácos estão representados abaixo, sejam u(x) = f(x)g(x),

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1 Lista 2 - Cálculo 17 de maio de Se f e g são funções cujos grácos estão representados abaixo, sejam u(x) = f(x)g(x), h(x) = f(g(x)) e k(x) = g(f(x)). Encontre as seguintes derivadas: (a) u (1) Observe que u (x) = f (x)g(x)+f(x)g (x). Assim, para calcular u (1), precisamos saber f(1), f (1), g(1), g (1). Entre 1 e 2, f é uma reta f(x) = ax + b que passa por ( 1, 5) e (2, 0). Podemos encontrar a e b resolvendo o sistema a( 1) + b = f( 1) a2 + b = f(2) a + b = 5 2a + b = 0. 1

2 Então a = 5/3 e b = 10/3. Assim, se 1 < x < 2, Logo, f(1) = 5 3 e f (1) = 5 3. f(x) = 5 3 x Para x entre 0 e 2, g é uma reta que passa pelos pontos (0, 0) e (2, 4). Então podemos descobrir a fórmula de g de forma semelhante. Neste caso, g(x) = 2. Assim, g(1) = 2 e g (1) = 2. Portanto, u (1) = f (1)g(1) + f (1)g(1) = = 0. (b) h (1) Pela regra da cadeia, h (x) = [f(g(x))] = f (g(x))g (x) h (1) = f (g(1))g (1). Pelo item anterior, g(1) = 2. f não é derivável no ponto 2, como podemos ver no gráco. Logo não podemos calcular h (1). (c) k (1) Pela regra da cadeia, k (1) = [g f] (1) = g (f(1))f (1). Pelo item (a), f(1) = 5/3. Como 0 < 5 < 3 2, g (5/3) = 2. Assim, ( k (1) = 2f (1) = 2 5 ) =

3 2. Uma empresa precisa fabricar uma caixa de papelão retangular aberta, de base quadrada, com volume de 2 metros cúbicos. Sabendo que o fabricante pretende usar o mínimo de material necessário qual deve ser o comprimento do lado da base da caixa? Quantos metros quadrados de papelão são necessários? Sugestão: Expresse a área da superfície da caixa como uma função do comprimento do lado da base. Se l é o lado da base da caixa e h, a altura, então o volume da caixa é l 2 h = 2m 3. material usado: como a caixa é aberta, precisamos calcular a área de 5 lados: (a) a base quadrada de área l 2, (b) quatro lados de área hl. Então a quantidade de material usado é A = 4hl + l 2. O volume da caixa é 2, então podemos escrever h em função de l (o que queremos encontrar). Então h = 2 l, e A(l) = 4 2 l 2 l + l2 = 8 l + l2. Agora vamos encontrar os pontos onde A se anula, A (l) = 8 l 2 + 2l = 0 2l = 8 l 2 2l3 = 8 l 3 = 4 l = 3 4. Ainda precisamos calcular A nesse ponto para vericar se 3 4 é um ponto de mínimo local. A (l) = 8 2l l = 16 l

4 A ( 3 4) = = = 2 < 0. 4 Então 3 4 é o ponto de mínimo local. Assim, esse deve ser o lado da base da caixa. Além disso, a quantidade necessária de papelão é de A( 3 4) = ( 3 4) 2 3. Esboce um gráco que represente a primeira derivada da função representada pelo seguinte gráco: Pelo gráco da função, que vamos chamar de f, podemos concluir algumas coisas: A função é ímpar (f( x) = f(x)). Então sua derivda também é ímpar, pois [f( x)] = f ( x)( x) = f (x). 0 é ponto de inexão. f é crescente entre 0 e aproximadamente 1.5. f é decrescente entre 1.5 e 2. f é crescente entre 2 e 3. 4

5 Próximo de 3, f é decrescente. Com essas informações, podemos fazer um esboço do grá co da f Escreva a equação da reta que tangencia a função polinomial f (x) = x4 3x3 +2x2 4x no ponto x = 2. A reta tangente a um ponto (x0, f (x0 )) é escrita como y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x x0 ). Então vamos primeiro calcular f 0 (x): f 0 (x0 ) = 4x3 9x2 + 4x 4. Agora vamos encontrar f 0 (2) e f (2). f 0 (2) = = = = 0, f (2) = =

6 Logo, a reta tangente é y = 8. = = 8 5. Em cada uma das funções seguintes, dê a expressão da derivada e determine o domínio e o conjunto de pontos do domínio em que a função é derivável. Estamos supondo que todas as funções neste exercício assumem apenas valores reais. (a) f(x) = x 3 + x 1 x f está denida apenas para x > 0, pois x não está denida se x 0 e 1/x não pode ser calculado se x = 0. Logo, o domínio de f é (0, ). f (x) = 3x x 1 x 2. f está denida apenas para x > 0. Logo, f é derivável em (0, ). (b) f(x) = 1 x f está denida para todo x R, pois x não se anula para nenhum x real. Então o domínio de f é R. f (x) = (x2 + 1) (x 2 + 1) 2 = 2x (x 2 + 1) 2. f está denida para todo x, então f é derivável em R. (c) f(x) = x 1/3 (1 + 3x) 5 f está denida para todo x R, ou seja, seu domínio é f. f (x) = 1 3 x (1 + 3x) 5 + x 1 3 5(1 + 3x) 4 3 6

7 = 1 (1 + 3x) x 1 3x 2 3 (1 + 3x) 4. 3 f está denida para todo x 0. Logo, f é derivável em R \ {0}. (d) f(x) = x 2 x 4 1. f não está denida quando x 4 1 = 0. Fazendo y = x 2, y 2 1 = 0 y 2 = 1 y = ±1 Como x é real, x 2 = 1, logo, x = ±1. Então o domínio da f é R \ { 1, 1}. Agora vamos calcular f : f (x) = x4 1 (x 2)4x 3 (x 4 1) 2 = x4 1 4x 4 + 8x 3 (x 4 1) 2 = 3x4 + 8x 3 1 (x 4 1) 2. f está denida em todos os pontos x com x Então f é derivável em todos o pontos do domínio de f, ou seja, f é derivável em R \ { 1, 1}. (e) g(x) = 3x 1 + x g está denida em todos os pontos onde 1 + x > 0, ou seja, x > 1. Logo, o domínio de g é ( 1, ). g (x) = x 3x x ( 1 + x) 2 = x ( 1 + x) 3x 2 2( 1 + x) 3 3 3x = 1 + x 2(1 + x) 3/2 Podemos calcular g sempre que 1 + x > 0, logo g é derivável em ( 1, ). 7

8 (f) g(x) = x x 2 + 4x + 5 g está denida em todos os pontos onde x 2 + 4x + 5 > 0. Porém a equação x 2 + 4x + 5 = 0 não possui zeros reais. Além disso, a função quadrática tem concavidade para cima. Então ela só assume valores positivos, como mostra o esboço abaixo y x Então o domínio de g é R. g (x) = = 2x+4 x2 + 4x + 5 x 2 x 2 +4x+5 ( x 2 + 4x + 5) 2 1 x2 + 4x + 5 x 2 + 2x (x 2 + 4x + 5). 3/2 g está denida para todo x R, pois x 2 +4x+5 não se anula. Logo, g é derivável. (g) f(x) = x 3 x2 + 1 f(x) = x(x 2 + 1) 1 3. O domínio de f é R, pois a raiz cúbica está denida para todo x R e x não se anula para x real. Então, f (x) = (x 2 + 1) 1 x 3 3 (x2 + 1)

9 = (x 2 + 1) 1 x 3 3 (x2 + 1) 4 f está denida para todo x, pois x não se anula. Logo, f é derivável. (h) f(x) = 7x O domínio de f é R. Note que 7x se, somente se, x 12/7. Então, pela denição de módulo, 7x + 12, se x 12/7 f(x) = 7x 12, caso contrário. Assim, se x > 12/7, f (x) = 7. Se x < 12/7, f (x) = 7. Então f é derivável para x 12/7. No entanto, f não é derivável se x = 12/7, pois a derivada não é contínua nesse ponto. 6. Sabendo que a derivada da função e x é a própria função e x, use as regras da derivação ensinadas até agora para calcular as derivadas das seguintes funções: (a) f(x) = 2 x. Vamos tentar escrever a função como algo parecido com e x. Pela propriedade do logaritmo, Se ln 2 = log e 2 = c, então e c = 2. Podemos substituir c por ln 2, assim 2 = e ln 2 e f(x) = 2 x = (e ln 2 ) x = e (ln 2)x. Agora podemos calcular f usando a regra da cadeia, f (x) = (ln 2)e (ln 2)x = (ln 2)2 x. 9

10 (b) f(x) = ln x Observe que a função f : (0, ) R, x ln x é a inversa da função g :R (0, ) g(x) = e x. Além disso, g = g. Então (g f)(x) = x. Aplicando a regra da cadeia, (c) g(x) = 2 x2 (g f) (x) = x g (f(x))f (x) = 1 f (x) = 1 g (f(x)) = 1 g(f(x)) = 1 (g f)(x) = 1 x. Observe que g pode ser escrita como a composição de duas funções: g(x) = f 1 f 2 (x), onde f 1 (x) = e x e f 2 (x) = x 2. Pela regra da cadeia, g (x) = f 1(f 2 (x))f 2(x) = (ln 2)2 f 2(x) f 2(x) = (ln 2)2 x2 (2x) = (2 ln)x2 x2. (d) g(x) = log 2 x Pela propriedade do logaritmo, Então, log 2 x = log e x log e 2 = ln x ln 2 = 1 ln x. ln 2 g (x) = 1 1 ln 2 x. 10

11 7. Determine as coordenadas do ponto da parábola y = 1 x 2 mais próximo da reta da equação x + 3y 9 = 0. (a distância de um ponto (x 0 ; y 0 ) à reta ax + by + c = 0 é ax 0 + by 0 + c / a 2 + b 2. Dica: minimize a distância ao quadrado e lembre-se que o ponto (x 0 ; y 0 ) deve pertencer à parábola.) Dado um ponto (x; y) da parábola, o quadrado da distância entre o ponto e a reta é f(x) = x + 3y = (x + 3y 9)2. 10 Como y = 1 x 2, podemos substituir na equção de f, f(x) = (x + 3 3x2 9) 2 10 = ( 3x2 + x 6) Podemos calcular f usando a regra da cadeia, f (x) = 2 10 ( 3x2 + x 6)( 6x + 1). Agora vamos calcular os pontos críticos de f. Neste caso, são os pontos onde 3x 2 + x 6 = 0 ou 6x x 2 + x 6 = 0 não se anula para valores de x reais, pois = 1 4( 3)( 6) = 1 72 = 71 < 0. 6x + 1 = 0 se x = 1/6. Então 1/6 é o ponto que minimiza f. Assim, y = 1 ( ) 2 1 = = Portanto o ponto da parábola mais próximo da reta é ( 1 6 ; ). 8. A circunferência de raio 5 centrada na origem é o conjunto dos pontos que distam 5 do ponto (0, 0). Seja C essa circunferência. Verique que (4, 3) a C e encontre a equação da reta que tangencia C no ponto (4, 3). 11

12 Os pontos da circunferência C satisfazem a equação x 2 +y 2 = 25. Para x = 4 e y = 3, temos ( 3) 2 = = 25. Logo, (4, 3) pertence à circunferência. Observe que os pontos x, y tais que x 2 +y 2 = 25 e y 0 podem ser escritos como o gráco de uma função. De fato, y 2 = 25 x 2 e y 0 y = ± 25 x 2 e y 0 y = 25 x 2. Agora podemos encontrar a reta tangente ao ponto da circunferência da mesma forma que encontramos a reta tangente a um ponto (x 0, f(x 0 )) do gráco de uma função f, ou seja, y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Então, se f(x) = 25 x 2, Então f( 3) = 4 e f (x) = ( 2x) 2 25 x = x x f ( 3) = 3 = 3 = Logo, a reta tangente é y = (x + 3) = 3 4 x = 3 4 x