CÁLCULO I. Lista Semanal 01 - Gabarito

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1 CÁLCULO I Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz Questão 1. Nos itens abaixo, diga se o problema pode ser resolvido com seus conhecimentos de ensino médio (vamos chamar de pré-cálculo) ou se são necessários conhecimentos de cálculo. Se o problema pode ser resolvido com pré-cálculo, resolva-o. Se lhe parece que o problema requer o cálculo, explique seu raciocínio e use uma abordagem numérica e/ou gráca para fazer uma boa estimativa da solução. (a) Calcular a área da região limitada pelas retas x = 1, x = 3, 2x + y = 8 e pelo eixo x. O problema pode ser resolvido com os conhecimentos do ensino médio. A região limitada pelas retas x = 1, x = 3, 2x + y = 8 e pelo eixo x é mostrada na gura abaixo. Note que a gura geométrica resultante é um trapézio retângulo, e sua área pode ser calculada a partir da equação: Área = h (B + b) 2 Na qual B e b são, respectivamente, as bases maior e menor do trapézio e h a sua altura. Neste caso, analizando a região mostrada na gura acima, tomando y = f(x) = 2x + 8, pode-se concluir que B = f(1) = 6, b = f(3) = 2 e h = 3 1 = 2. Dessa forma, Área = h (B + b) 2 = 2 (f(1) + f(3)) 2 = = 8 u.a. 1

2 (b) A altura de um objeto t segundos após ter sido abandonado de uma altura de 500 metros é s(t) = 4, 9t Qual a velocidade média do objeto durante os primeiros 3 segundos? O problema pode ser resolvido com os conhecimentos do ensino médio. A velocidade média V m do objeto em queda livre pode ser calculada a partir da relação entre a variação do espaço e a variação do tempo, como mostra a equação: V m = s t Durante os três primeiros segundos, após o objeto ter sido abandonado, a sua velocidade média pode ser calculada por: V m = s t = s(3) s(0) 3 0 Tem-se que s(3) = 4, = 455, 9 m e s(0) = 4, = 500 m. Portanto, V m = s(3) s(0) 3 0 = 455, = 14, 7 m/s (c) Para resolver este problema necessitamos de conhecimentos de cálculo. Calcular a área da região limitada pelo gráco da função f(x) = x 2, pelo eixo x pelas retas x = 0 e x = 3. gura a seguir A região limitada pela função f(x), as retas x = 0 e x = 3, e o eixo x é mostrada na Ao analisar a gura geométrica, pode-se notar que não existe uma fórmula matemática pronta para o cálculo da área da região como no item (a). Portanto, os conhecimentos adiquiridos em pré-cálculo não são sucientes para resolução deste problema. Por outro lado, com o cálculo, a área dessa região é facilmente calculada a partir da utilização da integral de uma função, como será aprendido mais adiante no decorrer do curso. Uma maneira de se estimar a área dessa região seria dividir a região em retângulos de mesma base sobre região e somar as áreas de cada retângulo, como mostra a gura abaixo Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz 2

3 Note que ao tomarmos um número cada vez maior de retângulos sobre a região a aproximação entre as áreas real e estimada é melhor. Este exemplo ilustra bem o conceito da Soma de Riemann, que será mostrado no curso de cálculo para a solução de integrais e cálculo de áreas. Questão 2. Uma caixinha aberta é feita de pedaços de papelão com 16 cm por 30 cm, cortando fora quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando pra cima os lados. (a) Seja V o volume da caixa que resulta quando os quadrados tiverem lados de comprimento x. Determine uma fórmula para V como uma função de x. A gura abaixo mostra a ilustração do problema proposto O volume de um paralelepípelo é dado por V = A base h. Neste problema, h = x cm e A base = (16 2x) (30 2x) cm 2 Portanto, o volume da caixa em função do corte x é dado por V (x) = (16 2x) (30 2x) x = (4x 3 92x x) cm 3 (b) Encontre o domínio de V. Note que para se ter um volume formado a partir da folha de dimensões 16 cm por 30 cm o valor do comprimento x das arestas dos quadrados deve ser maior do que zero, da mesma forma, esse comprimento deve ser inferior a 8 cm. Deste modo, a função V (x) só está denida para valores de x maiores que zero e menores que 8 cm. Portanto, D V (x) = {x R/0 < x < 8} Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz 3

4 (c) Use uma ferramenta gráca para plotar o gráco de V. A partir do gráco, estime a imagem de V. A gura abaixo mostra o gráco de V (x) Pelo gráco, pode-se estimar que os valores de V na imagem satisfazem Im V (x) = {y R/0 < y 725 }. Note que trata-se de uma aproximação. (d) Descreva em palavras o que o gráco diz sobre o volume. O gáco nos mostra que a caixa com volume máximo ocorre para um valor de x entre 3 e 4 cm e que o volume máximo é de aproximadamente 725 cm 3. Além disso, o volume decresce em direção a zero quando x se aproxima de 0 ou 8. Questão 3. Uma esteira móvel é contruída para elevar-se 1 metro para cada 3 metros de deslocamento horizontal. (a) Encontre a inclinação da reta. Para cada 3 m de deslocamento horizontal da esteira há um deslocamento vertical de 1 m. A gura a seguir ilustra essa situação. Note que a inclinação da reta r é dada pela tangente do ângulo θ formado entre a hipotenusa e o cateto adjacente do triângulo retângulo mostrado na gura acima. Portanto, a inclinação m da reta é dada por m = tg(θ) = 1 3. Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz 4

5 (b) Suponha que a esteira liga dois andares em uma fábrica. Encontre o comprimento da esteira se a distância vertical entre os andares é de 3,048 metros. Observe a ilustração abaixo: Note que o triângulo acima é semelhante ao triângulo do item anterior. Desta forma x 3 = 3, x = 9, 144 m. Agora, usando o Teorema de Pitágoras para o triângulo acima, temos: C 2 = (3, 048) 2 + (9, 144) 2 C 9, 63 m. Questão 4. Diga se a armação é verdadeira ou falsa. Em cada item, justique a sua resposta. (a) Se f é uma função e f(a) = f(b), então a = b. Falsa! Seja a função f(x) = x 2. Tomando a = 2 e b = 2, pode-se concluir que f( 2) = f(2) = 4, mas a b. (b) A função f(x) = x 5 4x é uma função ímpar. Falsa! Uma função f(x) é ímpar se, e somente se, f( x) = f(x). Temos que, f( x) = ( x) 5 4( x) f( x) = ( 1) 5 x 5 4( 1) 3 x f( x) = x 5 + 4x f( x) = (x 5 4x 3 2) f( x) f(x) Portanto, f(x) não é ímpar. (c) O gráco da função f(x) = 5x 2 cos x é simétrico em relação ao eixo y. Verdadeira! Se o gráco de f(x) for simétrico em relação ao eixo y, signica que a função é par, ou seja, f( x) = f(x). De forma análoga ao item anterior, f( x) = 5( x) 2 cos( x) f( x) = 5( 1) 2 x 2 cos(x) f( x) = 5x 2 cos(x) f( x) = f(x) Portanto, a função é par. Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz 5

6 (d) O gráco da função y = f(x + 3) é o gráco de y = f(x) deslocado 3 unidades para a direita. Falsa! Seja f(x) uma função. Tomando f(x x 0 ) a função f(x) deslocada horizontalmente x 0 unidades. Se x 0 < 0, o gráco de f(x) é deslocado para a esquerda, agora se x 0 > 0, o gráco de f(x) é deslocado para a direita. Temos que, f(x + 3) = f(x ( 3)) Portanto, para x 0 = 3, o gráco de f(x + 3) é o gráco de f(x) deslocado em 3 unidades à esquerda. (e) Um ponto de interseção dos grácos de f(x) e f 1 (x) deve estar sobre a reta y = x. Verdadeira! Pela denição de função inversa, se f 1 (x) é a inversa de f(x), a função composta g(x) = (f f 1 )(x) = f(f 1 (x)) é igual a função identidade, ou seja, g(x) = f(f 1 (x)) = x Portanto, a intersecção dos grácos de de f(x) e f 1 (x) está sobre a reta y = x. Questão 5. A gura a seguir mostra o gráco de y = x 2 transladado para quatro novas posições. Escreva uma equação para cada novo gráco. (a) para cima: O gráco (a) é o gráco de f(x) deslocado em 1 unidade para a direita e 4 unidades g(x) = f(x 1) + 4 = (x 1) Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz 6

7 (b) O gráco (b) é o gráco de f(x) deslocado em 2 unidades para a esquerda e 3 unidades para cima: h(x) = f(x + 2) + 3 = (x + 2) (c) O gráco (c) é o gráco de f(x) deslocado em 4 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo: p(x) = f(x + 4) 1 = (x + 4) 2 1 Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz 7

8 (d) O gráco (d) é o gráco de f(x) deslocado em 2 unidades para a direita: q(x) = f(x 2) = (x 2) 2 Prof. Márcio Nascimento Prof. Marcos Diniz 8