CÁLCULO I. Gabarito - Lista Semanal 01. Questão 1. Esboce as seguintes regiões, no plano xy:

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1 CÁLCULO I Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho Gabarito - Lista Semanal 01 Questão 1. Esboce as seguintes regiões, no plano xy: a) R = {x, y) y x} Solução: Note que a região R representa o conjunto de todos os pontos que estão sobre a reta y = x e abaixo dela, ou seja, os pontos cuja ordenada y é menor do que a abscissa x. A região R é mostrada na gura abaixo. b) Q = {x, y) x y 1} Solução: A região Q representa o conjunto de todas as circunferências centradas na origem dos eixos coordenados e cujos raios são maiores ou iguais a 1 unidade. A região Q é mostrada na gura abaixo. 1

2 c) P = {x, y) para x > 0 tem-se y > x ou para x < 0 tem-se y < x} Solução: A região P representa o conjunto de todos os pontos acima da reta y = x para todo x > 0 e abaixo da reta y = x para todo x < 0, excluindo-se os pontos sobre a reta y = x. A região P é mostrada na gura abaixo. Questão. Diga se a armação é verdadeira ou falsa. Em cada item, justique a sua resposta. a) A função fx) = x 3 x 7 é uma função ímpar. x Solução: Verdadeira! Note que, se fx) é uma função ímpar, implica que f x) = fx). Então podemos tomar Portanto, fx) é uma função ímpar. f x) = x) 3 x) 7 x) x 3 f x) = x 7 x x ) 3 f x) = x 7 x f x) = fx) b) A função gx) = 5 3x x x é uma função par. Solução: Falsa! Para que gx) seja uma função par, é necessário que seja satisfeita a condição g x) = gx). Desse modo, tem-se g x) = 5 3 x) x) x) g x) = 5 3x x x 5 3x x x g x) gx) Portanto, gx) não é uma função par. Note que ela também não é ímpar, pois g x) gx), então a função gx) não é nem par nem ímpar. Questão 3. Em cada item, faça o que se pede: a) Um grupo de estudantes universitários trabalha no período das férias vendendo trufas nas praias. O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessários para a produção são alugados pelo valor de R$ 1.800,00 por mês. O custo do material de cada trufa é de R$ 0,5. Expresse o custo total como uma função do número de trufas fabricadas. Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho

3 Solução: A função que dene o custo mensal de produção das trufas dos estudantes é dada pelo valor do aluguel do trailler acrescido do custo de cada unidade k produzida. Assim, a expressão matemática que modela o custo Ck) é Ck) = , 5k reais b) Expresse o comprimento da aresta de um cubo em função do comprimento da diagonal d. Depois expresse a área da superfície e o volume do cubo em função do comprimento da diagonal. Solução: Considerando-se que a diagonal de um cubo em função da aresta a é dada por da) = a 3, tem-se que a aresta em função da diagonal é dada por ad) = d 3 A área A do cubo em função da aresta é dada por Aa) = 6a e o volume V por V a) = a 3. Desse modo, em função da diagonal, tem-se ) d Ad) = 6 = 6 d 3 3 = d d V d) = 3 e ) 3 = d3 3 3 = d3 7 Questão. Diga se a armação é verdadeira ou falsa. Em cada item, justique a sua resposta. a) O gráco da função fx) x é a reexão do gráco da função gx) = e x em torno da reta y = x. Solução: Verdadeira! Note que, se gx) é função inversa de fx), a função composta f g)x) é igual à reta identidade y = x, ou seja, o gráco de fx) é a reexão do gráco de gx) em torno da reta y = x e vice-versa. E de fato y = f g)x) = fgx)) e x ) = x ln e = x Gracamente, tem-se Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho 3

4 Portanto, a armação é verdadeira. b) A função inversa da função ht) = cos t é gt) = senh t. Solução: Falsa! A função inversa de ht) = cos t é a função h 1 = arccos t. c) A função gy) y y 1), y R, é a função inversa da função y = senh x. Solução: Verdadeira! Assim como no item a), pela propriedade da função composta de g com sua inversa, tem-se g g 1 )x) = gsenhx)) 1) Note que y = senhx) = ex e x. Então, e g g 1 x e x ) )x) = g e ex e x x e x ) 1 e x e x e x e x e x e x 1 e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e ex e x x e x ) e x e x ex e x ) pois ex e x > 0 e x e x ex ) e x ) ex e x ) g g 1 )x) = x Portanto, a armação é verdadeira. Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho

5 d) A função fx) = x cosx) é inversível em [ π, π ]. Solução: Falsa! Note que no intervalo [ π, π ] a função fx) não é inversível, pois ela não é injetora. O gráco da função é mostrado a seguir. Pelo teste da reta horizontal, pode-se perceber que o gráco de f é interceptado em quarto pontos pela reta. Portanto, a função não é injetora, logo, não admite função inversa no intervalo dado. Armação falsa. Questão 5. Dado o gráco da função y = fx), descreva as transformações ocorridas no gráco de f nos seguintes exemplos: Gráco de y = fx) Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho 5

6 a) O gráco de f foi comprimido verticalmente em unidade. O gráco resultante é o da função gx) = 1 fx). b) O gráco de f foi transladado horizontalmente em unidades para a esquerda. O gráco resultante é o da função hx) = fx ). Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho 6

7 c) O gráco de f foi transladado horizontalmente em 1 unidade para a direita. O gráco resultante é o da função px) = fx 1). d) O gráco de f foi modulado e transladado verticalmente em 1 unidade para cima. O gráco resultante é o da função qx) = fx) 1. Prof. Marcel Bertolini Prof. Tiago Coelho 7