Lista 1: Vetores. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo. 1. Dados os vetores u e v da gura, mostrar num gráco um representante do vetor:

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1 Lista 1: Vetores Professora: Elisandra är de Figueiredo 1. Dados os vetores u e v da gura, mostrar num gráco um representante do vetor: (a) u v (b) v u (c) u + 4 v u v. Represente o vetor x = u + v w com origem no ponto O da gura abaixo, sendo u, v e w como na gura. u v O w. om base no paralelepípedo representado a seguir determine os seguintes vetores usando H como origem. (a) (E F ) + ( D) + ( D) (b) (G ) + ( ) D H G E F 4. Dado o trapézio D em que = b, P em função de a e b. = a, D = b e D DP =, expressar D e 4 1

2 5. onsidere o tetraedro D dado a seguir, em que = a, X = 1 D. Escreva o vetor X em função dos vetores a, b e c. = b, D = c e D X 6. Sejam M e N os pontos médios das diagonais e D, respectivamente, do trapézio D representado na gura abaixo. Sendo a =, b = D e u = MN, escreva o vetor u como combinação linear de a e b. 7. Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro e tem a metade de sua medida. 8. Na gura abaixo tem-se M = e N = paralelos, e que o comprimento do primeiro é 1. Prove que os segmentos MN e são do comprimento do segundo. M N 9. Determine a origem do segmento que representa o vetor u = (,, 1), sendo sua extremidade o ponto (0, 4, ). 10. Dados os vetores u = (, 1) e v = ( 1, ) determine o vetor w tal que 4( u v) + w = u w. 11. Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60, determinar o ângulo formado pelos vetores u e v. 1. Determine o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos (1, 1, ) e (,, 1).

3 1. Prove que o triângulo (1,, 0), (4, 0, 1) e (, 1, ) é equilátero. 14. Determine os pontos do plano xz cuja distância ao ponto (1, 1, 0) é e ao ponto (, 0, 1) é. 15. Determine o ponto P pertencente ao eixo z e equidista dos pontos (,, 0) e (0, 1, ). 16. Dados os vértices (9, 5, 1) e (6, 1, 19) de um paralelogramo D e P (4, 1, 7) o ponto de interseção de suas diagonais determine os vértices e D. 17. Dados os vetores u = i, v = i + j + k e w = i +6 j +6 k expresse w como combinação linear de u e v. 18. Determine a e b de modo que sejam colineares os pontos (, a, b), (1, 5, 1) e (, 1, 7). 19. Sabendo que a distância entre os pontos ( 1,, ) e (1, 1, m) é 7 determine o valor de m. 0. Determine α para que o vetor u = ( 11, 1, α) seja unitário Prove que os pontos (5, 1, 5), (4,, ) e (,, 1) são vértices de um triângulo retângulo.. Prove que as diagonais de um losango são ortogonais entre si.. No paralelepípedo da gura abaixo tem-se que P (, 4, ). z E D F P O y x Determine: (a) os pontos,,, D, E, F e O. (b) D EF. (c) P P. (d) OP O OE. 4. alcule o ângulo entre os vetores u e v, sabendo-se que u + v + w = 0 e u =, v = e w = alcule o ângulo entre os vetores a + b c e a + b c, sabendo-se que a = b = c = 1 e a, b e c são mutuamente ortogonais. 6. Um jovem parte de um ponto, caminha 100 metros para norte, até um ponto ; em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 50 metros do ponto até um ponto.

4 (a) Determine o módulo do deslocamento resultante. (b) Encontre o ângulo formado pelo entre vetor que representa o deslocamento resultante e o vetor. 7. Encontre o vetor w de forma que w seja paralelo ao vetor r = ( u. v ) ( u v ), sendo u = i + j e v = (1,, ), w = 6 e w forme um ângulo agudo com o eixo das abscissas. 8. Dado o triângulo retângulo com ângulo reto em, determine a medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa, sendo (0, 0, ), (,, 8) e (, 5, 10). 9. onsidere os pontos (, 4, 1), (,, 5) e (, 1, ). (a) O triângulo determinado pelos pontos é retângulo? Justique. (b) Determine a área do triângulo. 0. alcule x = j i, determine o versor de x e represente no gráco abaixo os vetores x e seu versor. z y x 1. alcule o valor de a para que o vetor v = ( 8, 0, 7 ) seja mutuamente ortogonal aos vetores w = a i + 5 j 4 k e u = (a 1) i + j + 4 k.. Os pontos (, 1, 1), ( 1,, 1) e (0, 1, ) formam um triângulo. (a) Determine a projeção do lado sobre o lado. (b) Obtenha, se possível, o valor de c para que o vetor v = (c + 4,, 9) seja colinear ao vetor projeção.. alcule a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto (,, 1) e uma diagonal de extremidades (1, 1, 1) e (0, 1, ). 4. Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores u = (,, 1) e v = (1, 1, ). 5. Verique se os pontos (, 1, ), (,, 4), ( 1, 1, 1) e D(0, 1, 1) são coplanares. 6. Determine o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: a = (, k, 1), b = (1,, k) e c = (, 0, ). 7. alcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w, onde u = ( 1,, ), v = (, 1, ) e w = v ( u v ). 8. onsidere o tetraedro D, ilustrado a seguir, cujos vértices da base são: (,, 1), (,, 1) e (, 1, 0). alcular as coordenadas do vértice D, sobre o eixo x, de forma que o volume do tetraedro seja 8 unidades. 4

5 9. onsidere os vetores u e w, tais que u = (1, 1, 4), w = 6 e o ângulo entre u e w é Determine: π. (a) a projeção do vetor w sobre o vetor u. (b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores a = u + w e b = u w. 40. onsidere os pontos (1, 1, 1), (, 1, ), (0,, ) e D( 1, 0, ). lassique as armações abaixo em verdadeiras ou falsas e justique sua resposta. D são vértices de um tetraedro com volume igual a 6 u.v.. (a) Os pontos,, e 1 (b) O vetor ( D) é um representante do versor de D. (c) Os pontos, e D são colineares. 41. Determine um vetor que tenha módulo igual a simultaneamente ortogonal aos vetores u = j k e v = (1,, 1). 4. onsidere os vetores u, v e w representados na gura a seguir. 44, que esteja no segundo octante e que seja z R S z 0 P u Q w x v O 4 y (a) Determine as coordenadas do ponto P para que o volume do tetraedro denido por u, v e w seja igual a 4 u.v. (b) (1 ponto) Sabendo que q π é um vetor unitário e que forma um ângulo de 6 v + u, calcule a área do triângulo construído sobre q e v + u. rad com o vetor 4. onsidere os vetores v 1 = (, 4, 4) e v = (, 0, ). Determine: (a) o módulo dos vetores w 1 e w que satisfazem as seguintes condições: w é ortogonal a v 1 ; e v = w 1 + w. w 1 é paralelo a v 1 ; 5

6 (b) o ângulo formado pelos vetores w 1 e v, sendo w 1 o vetor que satisfaz as relações do item (a). 44. lassique as seguintes armações em verdadeiras ou falsas e justique sua resposta. (a) Se u e v são vetores unitários que formam um ângulo de 60, então os vetores u + v e 5 u 4 v são ortogonais. (b) Os pontos (1, 1, 1), (, 1, ), (0,, ) e D( 1, 0, ) são coplanares. (c) Os vetores u = i + j + k, v = i + k e w = i + 7 j k, nesta ordem, formam uma base positiva (ou um triedro positivo) com w ortogonal ao plano denido por u e v. 45. alcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores u v e w, sabendo que u =, v = 4, o ângulo formado pelos vetores u e v é π 4 e que w é a projeção do vetor u sobre o vetor v. 46. Prove que u v w u v w. Respostas: 1... O. (a) HF ; (b) H 4. D = ( a + b) e P = a 7 b 4 5. X = a + b + 1 c 6. u = a b 7. Prove, usando soma de vetores, que MN = ponto médio do lado. 8. Dica: Use soma de vetores. 9. (, 1, ) ( 10. w = 1, 11 ) ( 0, 1, 0), sendo M o ponto médio do lado e N o 6

7 1. Prove que = = ( 14., 0, ) ( 1 e, 0, ) P (0, 0, ) 16. ( 1,, ) e D(,, 5). 17. w = u + 6 v 18. a = 1 e b = 19. m = 9 ou m = 0. α = ± Dica: verique que um dos ângulos é reto.. Use soma e produto de vetores... (a) (, 0, 0); (, 4, 0); (0, 4, 0); D(0, 4, ); E(0, 0, ); F (, 0, ); O(0, 0, 0). (b) Zero, pois os vetores são ortogonais. (c) 1 i. (d) , (a) 111,8m; (b) 6, w = (, 4, 4) (a) Não (Justique!); (b) = 0. x = k e versor de x = k 11 u.a. 1. a = 1 (. (a) 16 17, 16 17, 4 ) ; (b) não existe c. 17. = 77u.a. ( 7 4. ± 5, 1, 1 ) 5 5. Sim. 7

8 6. k = ou k = 7. Os pontos são coplanares, logo não há paralelepípedo denido. 8. D ( ) 51, 0, 0 ou D ( 45, 0, 0 ) 9.. (a) ( ),, (b) 18 6u.a (a) Falso, esses pontos são coplanares e não denem um tetraedro. (b) Falso, é um representante do versor o vetor oposto a D, ou seja é um representante do versor de D. (c) Falso, pois os vetores D e 41. ( 6,, ). 4. (a) P (0, 0, ) não são paralelos. (b) u.a. 4. (a) w 1 = w = (b) θ = π (a) Verdadeira. omo justicativa prove que ( u + v) (5 5 4 v). (b) Verdadeira. omo justicativa pode-se provar que (,, D) = 0 (c) Falso. Pois w = u v, ou seja, a base é negativa. 45. = 9 u.a. 46. Use a denição do produto misto. 8