CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; Reconhecer funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; Determinar a função inversa de uma função bijetora. 1 Funções Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa cada elemento x A a um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar função pela seguinte notação: f : A B Para armarmos que um determinado x A está associado a certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f(x) Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f(x), x A} Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de echas 1

2 Por exemplo, sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 4 f(4) = 5 f(5) = 6 Note que Im f = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de echas é feita da seguinte forma: Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de echas Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Dia Valor da Compra 02 2, , , , , , , , , , 2460 Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13} em R, uma vez que para cada dia t D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no dia t. Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela. Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função. Denição 1. Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f(x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função, pois uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a altura do ponto no gráco acima de x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráco de f. O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y. Figura 4: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco. Assim como no diagrama de echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráco de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo: Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se, nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Figura 5: Ilustração 1 do Teste da Reta Vertical. A seguinte curva não é gráco de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva. Figura 6: Ilustração 2 do Teste da Reta Vertical. 1.1 Restrições no domínio Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo, Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) = 1 x 2. Determine o seu domínio. 1 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja denida. Mas para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois seria uma indeterminação. Logo, os pontos onde a função não está denida são os valores que zeram a função x 2 1. Dessa forma, fazemos x x 2 1 x 1 e x 1 Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x R x 1 e x 1} Exemplo 2. Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x 2 2x 0. Logo, x 2 2x 0 x(x 2) 0 Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que Figura 7: Estudo do Sinal de x(x 2). Logo, o domínio de g é o conjunto A = {x R x 0 ou x 2} = (, 0] [2, + ) Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8. Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x 3 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos x 3 8 > 0 x 3 > 8 x > 3 8 x > 2 Assim, o domínio de h é o conjunto A = {x R x > 2}. Em algumas situações, denotaremos A = D f e B = CD f. 2 Tipos de Funções Apresentaremos agora alguns tipos de funções que serão utilizadas ao longo do nosso estudo. 2.1 Funções Pares e Ímpares Seja f : R R uma função. Dizemos que f é uma função par se f( x) = f(x). Por exemplo, a função f(x) = x 2 é par, pois f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x) Gracamente, uma função par é reconhecida por que o seu gráco é simétrico em relação ao eixo y. Isso pode ser notado no gráco de f Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Figura 8: Exemplo de uma função par. Dizemos também que g é uma função ímpar se g( x) = g(x). Podemos citar como exemplo a função g(x) = x 3, pois g( x) = ( x) 3 = x 3 = g(x) Gracamente, uma função ímpar pode ser reconhecida por que seu gráco é simpetrico em relação à origem, e esse fato pode ser observado no gráco de g. Figura 9: Exemplo de uma função ímpar. Observe que existem funções que não são nem pares, nem ímpares, como por exemplo a função f(x) = x + 1, pois f( x) = x + 1 f(x) e f( x) = x + 1 f(x) 2.2 Funções Crescentes e Decrescentes Segue a denição abaixo: Denição 2. Sejam f : A B uma função e x 1, x 2 D f. Denimos que f é uma Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 (i) função crescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); (iii) função decrescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); Segue abaixo alguns exemplos. Figura 10: Exemplo de uma função crescente. Figura 11: Exemplo de uma função decrescente. Observe que existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou seja, uma mesma função pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte. Um exemplo de função com essa propriedade é a função quadrática, dada por f(x) = x 2 + 1, pois note que 2 para x < 0 a função é decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no gráco de f. Figura 12: Exemplo de uma função crescente e decrescente. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora Uma função f : A B é chamada injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, para x 1, x 2 A, Se x 1 x 2, então f(x 1 ) f(x 2 ) Analogamente, temos que Exibiremos a seguir um exemplo de função injetora. Se f(x 1 ) = f(x 2 ), então x 1 = x 2 Exemplo 4. Considere a função f : R R, dada por f(x) = x 3. f é injetora? Solução: cubo. Sim, pois se x 1 x 2 então x 3 1 x3 2, uma vez que dois números reais não possuem o mesmo Note que existem funções que não são injetoras. Um exemplo será abordado a seguir Exemplo 5. Considere a função f : R R, dada por f(x) = x 2. f é injetora? Solução: Não, pois f( 1) = 1 = f(1). Logo, dois números reais possuem a mesma imagem por f. Portanto, f não é injetora. Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráco em mais de um ponto Aplicando esse teste às funções dos exemplos anteriores, notamos que Figura 13: Exemplo 4. Figura 14: Exemplo 5. Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f(x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo. Exemplo 6. Considere f : R R, denida por f(x) = x 3. f é sobrejetora? Solução: Sim, pois para cada número real y R podemos tomar o número x = 3 y R e observar que y = ( 3 y) 3 = x 3 = f(x) Desse modo, Im f = R, e portanto, f é sobrejetora. Assim como foi estudado para funções injetoras, existem funções que não são sobrejetoras. observar o seguinte exemplo. Basta Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 Exemplo 7. Considere f : R R, denida por f(x) = x 2. f é sobrejetora? Solução: Não, pois se tomarmos o número real y = 2, não existe nenhum número real x R tal que f(x) = 2 Dessa forma, Im f R, e portanto, f não é sobrejetora. Observação 1. Note que se denirmos f : R [0, + ) então f é sobrejetora, pois Im f = [0, + ). Denição 3. Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora. Mediante essa denição, podemos armar baseado nos exemplos 4, 5, 6 e 7 que f(x) = x 3 é bijetora, enquanto que f(x) = x 2 não é. Função Inversa Seja f : A B uma função bijetora. Denimos a função inversa de f e denotaremos por f 1 como sendo a função f 1 : B A, tal que y = f(x) x = f 1 (y) (1) Um exemplo simples da relação 1 pode ser dada pelo diagrama de echas no exemplo a seguir: Exemplo 8. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 4, 5} e uma função f : A B, dada por Determine a função f 1. f(1) = 4 f(2) = 5 f(3) = 0 Solução: Para determinarmos a função f 1, vamos representar f por um diagrama de echas. Dessa forma, obtemos Figura 15: Diagrama de echas de f. Agora, basta inverter o sentido das echas e obtemos a função f 1, desse modo Figura 16: Diagrama de echas de f 1. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9

10 Assim, a função inversa de f é a função f 1 : B A, dada por f 1 (4) = 1, f 1 (5) = 2 e f 1 (0) = 3. Exemplo 9. Dadas as funções abaixo, determine as suas inversas. (i) f : R R, dada por f(x) = x 3 ; (ii) g : [0, 1] [0, 1], dada por g(x) = 1 x 2 ; (i) Solução: Note que f é bijetora. Logo, existe uma função f 1 : R R tal que y = f(x) x = f 1 (y) Para determinar a função f 1, devemos isolar a variável x em função de y. Desse modo, obtemos que y = x 3 x = 3 y Assim, obtemos que a função inversa de f é f 1 : R R, dada por f 1 (y) = 3 y. (ii) Solução: Como zemos anteriormente, isolaremos a variável x em função de y. Logo, y = 1 x 2 y 2 = 1 x 2 x 2 = 1 y 2 x = 1 y 2 Desse modo, obtemos que a inversa de g é g 1 : [0, 1] [0, 1], dada por g(y) = 1 y 2 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 10