CÁLCULO I. Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área;

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Uma Breve Introdução aos Problemas do Cálculo. Objetivos da Aula Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área; Comentar intuitivamente como o cálculo ajuda a resolver os problemas da tangente e da área; Reconhecer, através de exemplos, a aplicação do cálculo nas mais diversas áreas do conhecimento. 1 O Problema da Tangente Considere uma curva de equação y = f(x) e um ponto (x 0, f(x 0 )) sobre a mesma. Queremos resolver o seguinte problema: Como determinar a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x 0, f(x 0 ))? Sabemos que o ponto (x 0, f(x 0 )) pertence à reta tangente e também que a equação de uma reta qualquer, dado um ponto e o seu coeciente angular m, é dada por y f(x 0 ) = m(x x 0 ) Logo, o problema consiste em determinarmos o coeciente angular da reta tangente. Intuitivamente, podemos pensar na reta tangente ao gráco de f, como sendo uma reta que "toca" apenas no ponto (x 0, f(x 0 )). Figura 1: Reta Tangente ao gráco de uma função em um ponto dado. 1

2 Sendo assim, podemos tentar uma aproximação por retas da seguinte forma: Considere um ponto (x 1, f(x 1 )) sobre o gráco de f e tracemos a reta que passa pelos pontos (x 0, f(x 0 )) e (x 1, f(x 1 )) Figura 2: Reta Secante ao gráco de uma função y = f(x). Essa reta é chamada secante ao gráco de f e sabemos que o seu coeciente angular m 1 é dado por m 1 = tg θ 1 = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 Se escolhermos agora um ponto (x 2, f(x 2 )) da seguinte forma: Figura 3: Reta Secante ao gráco de uma função y = f(x). temos que o coeciente angular da reta secante ao gráco de f que passa pelos ponto (x 0, f(x 0 )) e (x 2, f(x 2 )) é dado por m 2 = tg θ 2 = f(x 2) f(x 0 ) x 2 x 0 Prosseguindo assim, podemos tomar pontos x 3, x 4, x 5,... cada vez mais próximos de x 0 e assim, as retas secantes que passam em x 0 e esses outros pontos se aproxima da reta tangente que queremos. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Figura 4: As retas secantes se aproximando da reta tangente. Desse modo, é natural deduzirmos que o valor dos coecientes angulares das retas secantes se aproximará do valor do coeciente angular da reta tangente. Matematicamente, dizemos que se tomarmos pontos muito próximos de x 0, ou seja, x tende a x 0, o que denotamos por x x 0, dizemos que o valor dos coecientes angulares das retas secantes se aproxima do valor de m. Costuma-se utilizar a seguinte notação para essa armação: f(x) f(x 0 ) m = lim x x 0 x x 0 e lê-se que m é o limite da função f(x) f(x 0) x x 0 quando x tende a x 0. Dessa forma, se soubermos determinar o valor desse limite, podemos calcular a equação da reta tangente. A discussão do problema da tangente, deu origem a um ramo do cálculo chamado cálculo diferencial e será estudado por nós ao decorrer do curso com mais detalhes. 2 O Problema da Área Suponha que f : [a, b] R é uma função não - negativa, ou seja, f(x) 0, para qualquer x [a, b] e considere o seguinte problema: Qual a área da região entre o gráco da função f e o eixo x, limitada entre as retas x = a e x = b? Essa questão de cálculo surgiu na época dos gregos. Pelo menos anos atrás, discutia-se a ideia de área e como calculá-la. Uma técnica muito conhecida na época era decompor a gura desejada em guras que se conhecia a forma de calcular a área e somar essas áreas para obter a da gura inicial, por exemplo, Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Figura 5: Decompondo uma gura plana em triângulos para calcular a sua área. Um problema surgiu quando se discutia o cálculo de áreas para guras planas "curvas", como o círculo. Uma forma utilizada por eles foi o chamado método da Exaustão, que consistia em inscrever e circunscrever o círculo, como polígonos e então aumentar o número de lados desse polígono, por exemplo, Figura 6: Exemplicação de uma parte do Método da Exaustão. A ideia central desse método era que ao aumentarmos o número de lados dos polígonos que inscrevem e circunscrevem o círculo, a área desses polígonos fosse se aproximando da área do círculo, ou seja, se considerarmos as áreas desses polígonos de lado n como sendo A n e a área do círculo A, teríamos que lim A n = A n + A notação n + pode ser entendida que o número n está assumindo valores positivos cada vez mais maiores. O grego Eudoxus utilizou esse método para mostrar que a área do círculo era πr 2, onde r é o raio do mesmo. A ideia apresentada para resolver o nosso problema inicial é semelhante ao método da Exaustão Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 e foi introduzido por August Cauchy e depois melhorado por outros. Vamos supor que a região em questão seja dada por: Figura 7: Região cuja área queremos calcular. Sendo assim, vamos tomar três pontos no intervalo [a, b] da seguinte forma: a = x 0 < x 1 < x 2 = b Dessa forma, construímos dois retângulos; o primeiro tem como base o segmento [x 0, x 1 ] e altura f(x 0 ) e o segundo tem como base o segmento [x 1, x 2 ] e altura f(x 1 ), como mostra a gura abaixo: Figura 8: Primeira aproximação. E denotando por A 1 e A 2 as áreas desses retângulos, calculamos: A 1 + A 2 = f(x 0 )(x 1 x 0 ) + f(x 1 )(x 2 x 1 ) Nossa intenção é aproximar a área da região desejada pela soma das áreas desses retângulos, contudo com dois retângulo ainda cometemos um erro muito grande, pois ainda não conseguimos uma boa aproximação, e esse erro pode ser constatado pelas "partes"abaixo do gráco de f que não estão sendo "cobertas"pelos retângulos. Sendo assim, escolhemos quatro pontos no intervalo [a, b] da seguinte forma: a = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 = b Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 E construímos três retângulos de modo semelhante ao descrito anteriormente, e obtemos que A 1 + A 2 + A 3 = f(x 0 )(x 1 x 0 ) + f(x 1 )(x 2 x 1 ) + f(x 3 )(x 3 x 2 ) Figura 9: Segunda aproximação. Podemos notar que a área que faltava "cobrir"está diminuindo, porém ainda não é o que desejamos. E, prosseguindo com esse processo, podemos notar que escolhemos cada vez mais pontos, como abaixo: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Figura 10: Aproximações: 10,20,50 e 100 retângulos, respectivamente. E assim, teremos que a soma das áreas de todos os retângulos representará uma boa aproximação para a área da região desejada. Generalizando, para n retângulos, a soma é denotada por A 1 + A A n = f(x 0 )(x 1 x 0 ) + f(x 1 )(x 2 x 1 ) f(x n 1 )(x n x n 1 ) Se n assumir valores positivos cada vez maiores, então a soma acima se aproxima do valor da área A da região que queremos. Matematicamente, escrevemos lim (A 1 + A A n ) = A n + Esse problema da área é central no ramo do cálculo chamado cálculo integral e durante o nosso curso apresentaremos técnicas para calcular a área de diversas regiões, bem como volume, centro de massa e outras ferramentas utilizadas por engenheiros, matemáticos, físicos e outros prossionais. 3 Algumas aplicações do cálculo Nessa última seção, gostaríamos de listar alguns problemas que o cálculo pode resolver na engenharia e na física que a princípio surgiram dos problemas apresentados aqui, uma vez que na tentativa de resolvê-los, os matemáticos tiveram de denir precisamente as bases do cálculo e portanto, permitir que as ferramentas dessa fabulosa área da matemática estivesse a disposição das outras áreas do conhecimento. Alguns deles são: (1) Qual é o melhor lugar para se sentar em um cinema e assistir seu lme favorito? Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 (2) Como projetar uma montanha-russa com um percurso suave? (3) A qual distância de uma aeroporto um piloto deve começar a descida para o pouso? (4) Como podemos juntar curvas para desenhar formas que representam letras em uma impressora a laser? (5) Uma bola lançada para cima leva mais tempo para atingir sua altura máxima ou para cair de volta à sua altura original? (6) Como você pode distribuir o escoamento de água entre as turbinas de uma usina hidrelétrica de modo a maximizar a energia total produzida? (7) Como você pode explicar o fato de planetas e satélites se moverem em órbitas elípticas? (8) Se uma bola de gude, uma barra de aço e um cano de ferro rolarem por uma encosta, qual deles atingirá o fundo primeiro? Esperamos que agora, você possa aproveitar essa disciplina da melhor forma possível, conte conosco do projeto Newton, e bons estudos! Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção inicial do livro texto. Dica importante Procure conversar com os professores do seu curso para vericar mais aplicações do cálculo na sua área de estudo. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8