Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R.

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1 Capítulo 2 Funções e grácos 2.1 Funções númericas Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Denição 2.1. Sejam A eb subconjuntos de R. Uma função f de A em B é um critério que associa a cada número x de A um único número em B denotado f(x) (leia-se f de x). Escrevemos f : A B e chamamos A de domínio x f(x) eb de contradomínio. O conjunto f(a) := {f(x) R : x A} é o conjunto imagem de A por f. En geral uma função é dada por uma formula (algébrica, composição de funções usais etc.) e denimos f simplesmente pela expressão formal de f(x). Exemplos. Funções denidas por formula 1. f(x) = x 2 2. f(x) = 2x 1 x 2 +2x+1 3. f(x) = tan(x) 4. f(x) = 1 sen(x) Função denida por partes 0, x 0 f(x) = 1 x2, 1 < x < 1 x, x 1 11

2 12 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E GRÁFICOS No caso o subconjunto A não for especicado, sempre escolheremos o maior subconjunto de R onde f é denida. Denição 2.2. O maior subconjunto de R onde f é denida é chamado de domínio natural de f (ou mais simplesmente domínio de f) e denotado por D f. Exercício 2.1. Determinar o domínio das funções acima assim que a imagem f(d f ). Denição 2.3. Dizemos que f é sobrejetiva (ou sobrejetora) quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função: y B x A : f(x) = y. Dizemos que f é injetiva (ou injetora) se x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Quando f é sobrejetora e injetora, ela é bijetiva (ou bijetora, ou bijeção): para todo y B existe um único x A tal que y = f(x). Exemplo. f(x) = x 2 é uma bijeção de R + em R, mas não é uma bijeção de R em R. Estude a sobrejetividade, a injetividade e a bijectividade das funções acima Operações com as funções Com as funções é possível denir as operações aritméticas usuais mas igualmente uma operação chamada de composição de funções. Denição 2.4. Sejam f eg doas funções, denimos as funções soma, diferença, produto e quociente por: (f +g)(x) = f(x)+g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x) g(x) O domínio de f +g, f g e fg é a interseção dos domínios de f e g: D f D g. No caso de f/g devemos excluir os pontos onde g se anula: D(f/g) = D f D g \{x R : g(x) = 0}. Denição 2.5. Sejam f eg duas funções, se o domínio de g contiver o contradomínio de f, podemos denir a função composta de f porg: (g f)(x) = g(f(x)).

3 2.2. GRÁFICOS 13 O domínio de g f é o conjunto dos pontos x no domínio de f tais que f(x) está no domínio de g: D(g f) = {x D f : f(x) D g } Exemplos. Para cada item, calcule g f,f g,f f eg g além dos domínios. a) f(x) = 1 x, g(x) = x2 1 b) f(x) = x, g(x) = 3 x Grácos Do mesmo modo que os pontos de uma reta podem ser caracterizados por números, também aos pontos de um plano podemos associar um par de números que são suas coordenadas. Por isso, tomamos dois eixos no plano com a mesma origem e por um ponto P do plano, traçamos paralelas a cada um dos dois eixos obtendo um ponto no outro eixo, correspondendo a um número real x e logo y. Essa correspondência é biunívoca entre pares de números(x,y) e pontos do plano P. É costume desenhar um eixo na horizontal, orientado da esquerda a direita (eixo das abscissas) e o outro verticalmente (eixo das ordenadas), orientado de baixo para cima. Tal sistema de eixos é chamado de referencial cartesiano. y P x Denição 2.6. Seja f uma função. O gráco de f é o subconjunto de R 2 denido por {(x,f(x)) R 2 : x D f }. Num plano coordenado, esse conjunto corresponde a uma curva chamada de curva representativa de f. É costume escrever a curvay= f(x) para indicar que y é função de x (lemos y é igual a f de x). Um dos objetivos do curso é estudar comportamento e gráco de funções sem recorrer ao cálculo explicito todos valores de f (com ajuda do computador por exemplo), mas por meio da analíse.

4 14 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E GRÁFICOS Retas, Parábolas e hiperbolas As funções mais simples são as funções ans, aqueles dadas por y = mx+n onde m ensão constantes. Geometricamente, o gráco de uma função am é uma reta, de inclinação m e cortando o eixo das ordenadas no ponto (0,n). A inclinação represente a taxa de crescimento da reta, de fato m = tanα y=mx+n, é a proporção do deslocamento na direção vertical em relação ao deslocamento horizontal. A reta verticalx=conde c é uma constante, é um caso excepcional que pode ser entendido como tendo inclinação innita. Outras funções de grande iteres são as funções quadráticas; aquelas dadas por um polinômio de grau dois y = ax 2 +bx+c, onde a 0,becsão constantes. Géometricamente, o gráco é uma parábola que corta o eixo das abcissas em dois, uma ou nenhuma vez (correspondendo as raízes do polinômio) conformo ao sinal do discriminante = b 2 4ac. A parábola é concave para cima (resp. para baixo) quando o coeciente dominante a é positivo (resp. negativo). Em particular, se > 0,f(x) é de sinal constante, oposto ao sinal de a, no intervalo delimitado pelas raízes. Figura 2.1: Parabola concave para cima, y = (x 2) 2 3 Enm, a curva representativa da função inversa y = 1 x eixos asintóticos os eixos do referencial cartesiano. é uma hipérbole com

5 2.2. GRÁFICOS 15 Figura 2.2: Hipérbola gráco da função inversa Simetrias e Translação de Grácos O gráco y = f( x) é a reexão do gráco y = f(x) em volta do eixo y, enquanto que o gráco de y = f(x) é a reexão do gráco de y = f(x) em volta do eixo x. Para o gráco de uma função ser simétrico em relação ao eixo y, as equações y = f(x) ey= f( x) devem ser equivalentes; para que isso ocorra devemos ter f(x) = f( x) Uma função com tal propriedade é chamada de função par. Para o gráco de uma função ser simétrico em relação à origem, as equações y = f(x) e y = f( x) devem ser equivalentes; para que isso ocorra devemos ter f(x) = f( x) Uma função com tal propriedade é chamada de função impar. Exercício 2.2. Porque o gráco de uma função não pode ser simétrico em relação ao eixo x? Uma vez que conhecemos o gráco de uma função f(x), há algumas técnicas as quais podem ser usadas pra ajudar a visualizar os grácos das funçõesf(x)+c e f(x + c). Mais geralmente, sejam f uma função real e a,b dois números positivos (resp. negativo), o gráco da função g(x) = f(x a)+b é o mesmo que o da função y = f(x), transladado a unidades para a direita (resp. esquerda) ebpara acima (resp. abaixo). Verique esse fato. Exemplo. A parábola y = (x 2) 2 3 é a translação da parábola y = x 2 (função par) pelo vetor (2, 3).

6 16 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E GRÁFICOS Exemplos. Grácos das funções: 1. f(x) = x 2 +3x 2 2. f(x) = 1 x Monotonia A monotonia ou sentido de variação caracteriza a propriedade de crescer ou decrescer para a curva representativa de uma função. Denição 2.7. Uma função f é crescente num intervalo I, quando por x 1,x 2 I, x 1 x 2 I f(x 1 ) f(x 2 ). No caso da função decrescente em I, teremos x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Denição 2.8. Uma função f é estritamente crescente num intervaloi, quando x 1,x 2 I, x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). No caso da função estritamente decrescente em I, teremos x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Exemplos. Sentido de variação de funções: 1. f(x) = mx + n é estritamente crescente quando m > 0 e estritamente decrescente quando m < 0 2. f(x) = x 2 é decrescente em R e crescente em R + 3. f(x) = 1 x é estritamente decrescente em D f = (,0[ ]0,+ ) Demonstração. Exercício Tabela de variações Colocamos numa tabela setas expressando a monotonia da função no intervalo considerado.