Ementa detalhada até agora

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1 Ementa detalhada até agora de Setembro de 07. (3/07): Introdução aos números reais: soma, produto, opostos, inversos,(o inverso de a só existe quando a 0). Demostração do fato que a 0 = 0, regra dos sinais, ( ) a = a, notação a para o oposto de a, /a para o inverso de a, quando a 0. /0 não tem sentido. Propriedade reflexiva, antisimétrica e transitiva da ordem, ou seja, da relação de "menor ou igual". Compatibilidade com as operações, ou seja, invariancia de uma disegualdade para a soma, invariancia de uma disegualdade para multiplicação por um real não negativo. Simbolos:,, <, >,,. Consequencias: a 0 se e somente se a 0, a b se e somente se a b 0. Se a b, c 0, então ac bc. a 0. a b, c d, implica a + c b + d. Referencia sobre o axioma do completamento, diferença entre Q e R. Impossibilidade de resolver algumas equações em Q, como interseção entre reta e parabola, por exemplo, mesmo se graficamente, as curvas se "intersectam"; os números reais modelam perfeitamente os pontos de uma reta, e os pontos de um plano tem que ter coordenadas reais. Exemplos de disegualdades racionais e metodos resolutivos. Cuidado: multiplicando por un número negativo, a disegualdade se reverte; não se pode multiplicar por un número cujo sinal não seja definido (por exemplo x + ). Metodo grafico para controlar o sinal dos fatores de um produto. Condições de existencia.. (0/08): Mais exemplos de diseguladades racionais. Fatoração de polinomios de segundo grau. Valor absoluto: definição de a = max{a, a}, ou como a = a (se a 0) ou a (se a 0). Propriedades do valor absoluto: x a se e somente se a x a; ab = a b, diseguldade triangular a+b a + b ; exemplos de disegualdades com valores absoluto: metodo grafico para controlar o sinal dos argomentos dos valores absolutos de uma disegualdade. Raizes. Teorema: se a 0, e n {,, 3...}, é um inteiro positivo, então existe un único b 0 tal que b n = a; um tal b é chamado a raiz n-esima de a. Teorema: se a 0 e e n {, 3, 5, 7,...} é um inteiro positivo impar, então existe um único b 0 tal que b n = a; um tal b é chamado a raiz n-esima de a, mesmo se a é negativo. Equivalencia entre [a 0, b 0, b n = a] e b = n a. Se n = k + é impar temos a equivalencia de [a 0, b 0, b ( k + ) = a] com b = k+ a. Condições de existencia para um radical quadratico (o par). Disegualdades irracionais. Metodos resolutivos para A(x) B(x); exemplos; metodo resolutivo para A(x) B(x). 3. (07/08). Alguns exemplos com raizes: a = a (qualquer seja o sinal de a); se a 0, b 0, então ab = a b; 4 x = x ; se y 0, x y = x y; em geral xy = x y, em particular se x 0, y 0, então xy = x y. Plano cartesiano, distancia e entre dois pontos. Retas; derivação geometrica da equação da reta y = mx + q (quando a reta não é vertical). Significado do coeficiente angular m e do intercepto q. Em geral a reta tem equação ax + by = c. Exemplos. Metodos para desenhar uma reta de equação dada. Duas retas são paralelas se e somente tem o mesmo coefficiente angular. Duas retas são perpendiculares se o produto dos coefficientes angulares é. Parabolas como lugar geometrico dos pontos que tem a mesma distancia entre um ponto fixo F, chamado foco, e uma reta fixa r, chamada diretriz. Caso em que a reta r é o eixo x e o foco esta no eixo y. A equação, neste caso é y = x /y F + y F /, ou seja, do tipo y = ax + c. Significado do coefficiente a da parabola, ou seja "abertura"; quanto mais grande a, mais estreita é a parabola, quanto mais pequeno a, quanto mais aberta é a parabola. c é sempre o intercepto com o eixo y. Metodos para desenhar uma parabola de equação dada. 4. (09/08) Translações no plano: translações horizontais por um vetor (a, 0) (passagem de F (x, y) = 0 a F (x a, y) = 0), translações verticais por um vetor (0, b) (passagem de F (x, y) até F (x, y b) = 0).

2 Translações seja de x seja de y. Formação de quadrados, ou seja escritura de x +bx+c como (x α) +D, onde D é uma constante. Desenho de parabolas quaisquer do tipo y = ax + bx + c como transladadas de parabolas com vertice na origem. Formula para a equação de segundo grau. Círculos como lugar geometrico dos pontos P que tem uma distancia fixa de um ponto fixo C chamado centro. Um circulo tem equação x +y +ax+by+c = 0, onde a b c 0, e em tal caso o centro é de coordenadas (a, b) e o raio é r = a + b c. Manipulação da equação x +y +ax+by+c = (x a) +(y b) +D = 0 via o metodo de formação de quadrados. Desenho de círculos quaisquer no plano. 5. (4/08) Dilatações horizontais e verticais (passagem de F (x, y) = 0 a F (x/a, y) = 0 ou de F (x, y) = 0 a F (x, y/b) = 0. Ellipses com eixos paralelos aos eixos x e y, como dilatações de circulos. Equação geral da ellipse com eixos paralelos aos eixos x e y. Ellipse como lugar geometrico dos pontos P que tem constante a soma das distancias de dois pontos fixos F, F chamados focos. Hiperbole y = k/x. Hiperbole x y = ±. Hiperboles do tipo (x/a) + (y/b) = ±. Assintotas de uma hiperbole. Equação geral de uma hiperbole com eixos paralelos aos eixos x e y. HIperbole como lugar geometrico dos pontos P que tem constante a diferença das distancias de dois pontos fixos chamados focos. 6. (6/08) Exemplos de graficos de equações involvendo radicais quadraticos de polinômios de segundo grau (ex: x = 6y 4y ). Funções homograficas y = (ax + b)/(cx + d) e seu grafico, desenhado via translações horizontais e verticais a partir do grafico da função y = k/x. Assintotas horizontais y = a/b e verticais cx + d = 0. Pontos onde o grafico corta o eixo x; pontos onde o grafico corta o eixo y. Simétria respeito a bisetriz do I e III quadrante e troca de variaveis (x, y) (y, x): o grafico de F (y, x) = 0 se obtem do grafico de F (x, y) = 0 por simétria com respeito à reta y = x. (Exemplo: comparação dos graficos de x = y e de y = x ). Funções: definição geral. Funções reais de variável real. Grafico de uma função como subconjunto Γ de R tal que se (x, y) Γ, (x, y ) Γ, então y = y (ou seja: um subconjunto de R é um grafico de uma função se cada reta vertical corta Γ em máximo um ponto. O dominio da função definida por Γ é D = {x R y R (x, y) Γ}, ou seja, o conjunto de pontos x R tais que a reta vertical passante por (x, 0) cruza o grafico Γ. O que significa encontrar o dominio de uma função (encontrar o máximo subconjunto A de R onde uma certa expressão define uma função). Exemplos de dominios. Função soma e produto de duas funções. Composição de funções e exemplos. 7. (/08) Funções injetivas, sobrejetivas, bijetivas. Exemplos e caraterização graças ao grafico. Sejam A, B R. Uma função f : A B é injetiva se e somente se cada reta horizontal y = k intersecta o grafico em máximo um ponto (ou seja, ou não intersecta, ou intersecta num único ponto). A função f é sobrejetiva se e somente se por cada b B a reta horizontal y = b intersecta o grafico em pelo menos um ponto. A função f é bijetiva se e somente se por cada b B a reta horizontal y = b intersecta o grafico num único ponto. Função inversa de uma função bijetiva. g é inversa de f se e somente se (f g)(x) = x por cada x B, (g f)(x) = x por cada x A. O grafico da função inversa g é simetrico do grafico de f com respeito à bisetriz do I e III quadrante. Exemplo de calculo de inversas de funções. 8. (8/08) Equivalencia entre bijetividade de funções e inversibilidade. Exemplos. Funções trigonometricas: medida do angulo em radianos, definição de sin x, cos x, tan x, relação com o circulo unitario. Grafico. Algumas simetrias. Valores particulares de cos x, sin x, Periodicidade de π para sin x, cos x, e de π para tan x. Paridade de cos x, imparidade de sin x, imparidade de tan x. Formulas de adição para sin e cos e tan e sua demonstração. Formulas de duplicação. 9. (30/08, aula 9): Noção intuitiva de ite; o que não é o ite: o ite de uma função num ponto x 0 não é o seu valor f(x 0 ) (se ela for definida em x 0 ). O ite é a "tendencia clara"da função f quando x é perto de x 0. O ite é o valor da função no ponto x 0 se ela fosse continua em x 0. Noção intutiva de ites laterais (direito e esquerdo). O ite global existe se e somente se os ites (tendencias) esquerdo e direito existirem e forem iguais. Exemplo de funções que não tem ites. Exemplo de função que tem os dois ites laterais mas não tem o ite; exemplo da função f(x) = sin(/x) que não tem como ter ite em x = 0. Exemplo da função f(x) = x sin(/x) que tem x sin(/x) = 0

3 mesmo que oscile infinitamente (mas com oscilações cada vez mais pequenas) á volta de 0. Primeira reformulação do conceito de ite: Uma função tem ite λ por x que tende a x 0 se calculando f(x) por x suficientemente perto de x 0 o valor f(x) aproxima λ a menos de um erro ε arbitrariamente pequeno. Segunda reformulação: por cada erro fixado ε > 0 arbitrario, se x se aproxima suficientemente a x 0, o valor f(x) aproxima λ a menos do erro ε. Terceira reformulação: ε > 0, consigo uma distancia máxima δ > 0 de x 0 tais que todos os pontos x que distam de x 0 menos que δ são tais que f(x) aproxima λ a menos de ε. Quarta reformulação: (definição formal): ε > 0, δ > 0 tal que se x (x 0 δ, x 0 +δ)\{x 0 }, então f(x) λ < ε. Quinta reformulação: de qualquer forma eu fixe o erro ε > 0, a disegualdade f(x) λ < ε é valida suficientemente perto do ponto x 0. Sexta reformulação: ε > 0, existe δ > 0 tal que a disegualdade f(x) λ < ε seja verificada no intervalo furado (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }. Exemplos varios: x x + 3 = 5, x (x ) = 3, x (x x + 3) = 3. Em cada caso, encontramos o δ (dependente, mas não como função) de ε. O δ que se encontra depende intuitivamente da "pendencia"de função à volta de x 0. No último caso, a solução exacta da disegualdade x x < ε fornece dois intervalos (não circulares) um à volta de 0, um à volta de, precisamente ( + ε, + + ε) Provamos que se consegue encontrar δ = + ε, ou seja, a menor distancia entre os extremos do intervalo e. 0. (04/09, aula 0): Exemplo de como não é necessário resolver completamente a disegualdade x x < ε para mostrar que x (x x + 3) = 3. É suficiente por-se em < x < 3 (que é um intervalo à volta de ) e usar a disegualdade x x x x 3 x < ε e depois resolver 3 x < ε, que é bem mais simples. Graficamente isto significa ter encontrado uma reta mais pendente da curva no ponto x = e calcular o δ em "função"de ε para esta reta. Terminologia: quando dizemos "a propriedade P é verificada à volta de x 0 "significa que existe um intervalo aberto (a, b) tal que x 0 (a, b) tal que a propriedade P é verificada em (a, b) \ {x 0 }. Notação: quando é evidente ou claro o ponto x 0 onde se toma o ite, escrevaremos f λ para indicar x x0 f = λ. Teoremas sobre ites: Unicidade do Limite: Se x x0 f = λ e x x0 f = µ, então λ = µ. Demonstração grafica. x x0 f = λ se e somente se x x0 (f λ) = 0. Demonstração: translação vertical Y = y λ. x x0 f = 0 se e somente se x x0 f = 0. Corolário: x x0 f = λ se e somente se x x0 f λ = 0 se e somente se x x0 (f λ) = 0. Se x x0 f = λ, entào x x0 f = λ. Demonstração grafica considerando os casos λ > 0 ou λ < 0. Soma de dois funções infinitesimas é infinitesima. Se x x0 f = 0 e se x x0 g = 0, então f + g = 0. (Soma de dois funções infinitesimas (por x x 0 ) é infinitesima (por x x 0 ). x x0 mx + q = mx 0 + q x x0 k = k se k é uma constante; Teorema dos dois Policiais: Sejam f(x), g(x), h(x) funções tais que (pelo menos à volta de x 0 ) satisfaçam g(x) f(x) h(x) Se então g = λ = h = λ f = λ. 3

4 Se x x0 f = λ e k R é uma constante, então Demonstração: dilatação do eixo y. kf(x) = kλ Definição: dizemos que uma função é itada no intervalo (a, b) se existe uma constante M R, M > 0 tal que M f(x) M por todo x (a, b), ou seja se e somente se f(x) M por todo x (a, b). Equivalentemente uma função é itada no intervalo (a, b) se existem duas constantes M, M tais que M f(x) M por todo x (a, b). Limitada vezes Infinitesima é Infinitesima. : Se g é itada à volta de x 0 e f = 0, (ou seja f é infinitesima por x que tende a x 0 ), então gf = 0 (Infinitesima vezes itada é infinitesima). Demonstração: Usamos a disegualdade 0 g(x)f(x) M f(x), o que significa Mf(x) g(x)f(x) Mf(x) e depois o fato f 0. Mas então, pelo teorema acima Mf(x) 0 e Mf(x) 0, e dado que Mf(x) g(x)f(x) Mf(x) onde ±Mf(x) 0, concluimos que g(x)f(x) 0 pelo Teorema dos Dois Policiais. Se uma função admite ite finito em x 0 então é itada à volta de x 0. Se x x0 f = λ R então f é itada à volta de x 0. Demonstração: Se x x0 f = λ, tomado ε =, temos que existe δ > 0 tal que, em (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } temos o que significa que é itada à volta de x 0. λ f(x) λ + Soma de ites. Se x x0 f = λ e x x0 g = µ, então f + g = λ + µ. Demonstração: é equivalente provar que f + g (λ + µ) 0. Mas f + g (λ + µ) = (f λ) + (g µ) e temos que f λ 0 porque f λ e que g µ 0 porque g µ. Então f λ e g µ são funções infinitesimas, e então f + g (λ + µ) = (f λ) + (g µ) é soma de funções infinitesimas, e então infinitesima: ou seja f + g (λ + µ) 0 ou seja f + g = λ + µ = f + g. Produto de Limites. Se x x0 f = λ e x x0 g = µ, então fg = λµ. Demonstração. Para mostrar que x x0 fg = λµ é suficiente mostrar que (f(x)g(x) λµ) 0. Mas f(x)g(x) λµ = f(x)g(x) f(x)µ + f(x)µ λµ = f(x)[g(x) µ] + µ[f(x) λ] Agora temos que 4

5 f λ, e então (f(x) λ) 0 e então µ[f(x) λ] 0 por teoremas acima; ou seja µ(f(x) λ) é infinitesima; g(x) µ então (g(x) µ) 0, ou seja, g(x) µ é infinitesima. f(x) λ, mas então f(x) é itada à volta de x 0 f(x)[g(x) µ] 0 porque é produto de itada e de infinitesima, ou seja, f(x)[g(x) µ] é infinitesima. Então f(x)g(x) λµ = f(x)[g(x) µ]+µ[f(x) λ] é infinitesima, porquê soma de infinitesimas. Então f(x)g(x) λµ 0 e então f(x)g(x) λµ. Reciproco do Limite. Se x x0 g = µ e se µ 0, então g = µ. Demonstração. É suficiente mostrar que g µ, ou seja, que g µ é infinitesima, o que é equivalente ao facto que g µ é infinitesima. Mas g µ = µ g gµ = µ g Agora µ g = g µ é facilmente infinitesima, porque g µ e então (g µ) 0. É então suficiente mostrar que é itada. Mas se g µ, então g µ. Mas isto significa, que tomando ε = µ /, existe δ > 0 tal que em (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }, temos µ µ / < g(x) < µ + µ / ou seja µ / < g(x) < 3 µ Mas então o que significa que é itada. Mas então g µ 3 < g(x)µ < = µ g é infinitesima vezes itada, e então infinitesima. = g µ Razão de Limites. Se x x0 f = λ e x x0 g = µ, e µ 0, então f g = λ µ Demonstração: Escrevemos f g como f g = f g e usamos que f λ, g µ e o teorema do produto dos ites. Limite de uma potencia: Se x x0 f = λ, então x x0 f n = λ n. Demonstração. Se aplica a regra do produto un número n de vezes. Limite de uma raiz. Se x x0 f = λ e se λ 0, então x x0 n f = n λ. O mesmo enunciado val por λ qualquer se n for impar. Demonstração: não vamos ve-la agora. Primeiros exemplos de formas indeterminadas. 5

6 . (06/08: aula ): Outros exemplos de formas indeterminadas 0/0. Formula a n b n = (a b)(a n + a n b+a n 3 b + +a b n 3 +ab n +b n ). (Demonstração via a formula de soma de uma PG). Limites laterais: definição de ite esquerdo/direito. Teorema: x x0 f = λ se e somente se x x f e 0 x x + f existem e são iguais a λ. Exemplos de cálculo de ites laterais e de discussão sobre a 0 existencia do ite bilateral. Exemplo f(x) definida por sin(/x) por x < 0 e f(x) = 3x + onde o ite lateral f(x) não existe. Definição de ites Prova, com a definição que f = + f = f = x = + = x x = Definição de ites infinitos laterais em x 0. Prova que x =, + x = +.. (/08: aula ): ites infinitos 3. (3/08: aula 3): 4. (8/08: aula 4): Continuidade de uma função num ponto x 0. Exemplos de discontinuidades de primeira, segunda e terceira especie (einaveis). Continuidade das funções polinomiais e racionais no dominio delas. Continuidade da raiz no dominio dela. Limites de uma composição de funções; mudanção de variável no ite: Teorema. Seja f : D f R e g : Dg R, tais que (x0 r, x 0 + r) \ {x 0 } D f, (λ s, λ + s) \ {s} D g, por certos r, s > 0, e que f = λ e que x λ g = µ. Supomos além disso que ou. g é continua em λ ou que. por x suficientemente perto de x 0, mas x x 0, f(x) não assuma nunca o valor λ. Então (g(f(x))) = µ. Observação. A condição que. é essencial. Por exemplo: se tomamos e g(x) = f(x) = x sin x { x + se x 0 3 se x = 0 temos certamente que f(x) = 0 e que g(x) =, mas o ite não pode existir. g(f(x)) 5. (0/08: aula 5). Estabelecimento da disegualdade sin x x tan x : é suficiente faze-lo por x 0; considerar, no interior do circulo unitario C, o setor circular A α determinado por um angulo α, 0 α < π/. É claro que a area de A α é A α = α sin α cos α. Então 6

7 α/ tan α. Multiplicando por a segunda se obtem α tan α; Multiplicando por a primeira se sin α obtem α o que fornece sin α α. Prova que sin x = 0. Fórmula de prostaferesi: sin x sin x 0 = sin((x x 0 )/) cos((x + x 0 )/); cos x cos x 0 = sin((x x 0 )/) sin((x+x 0 )/). Prova que x x0 sin x = sin x 0 (continuiade de sin x) e de que x x0 cos x = cos x 0. Prova do ite fundamental da disegualdade por 0 < x < π/, dividimos por sin x e obtemos sin x x = 0 < sin x < x < tan x < x sin x < cos x e então, dado que sin x > 0, cos x > 0 cos x < sin x x < Dado que as funções que aparecem são pares, a disegualdade val também para π/ < x < 0, ou seja, a disegualdade val para 0 < x < π/. Se conclui com o teorema dos dois policiais. Exemplos de ites reconductiveis ao ite fundamental. 7