A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor

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1 Identificação de Cônicas Uma equação do segundo grau ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 define de maneira implícita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação. Por exemplo, o conjunto dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação é uma elipse. O gráfico desta elipse é x 6xy + y 30 x + 8 y + 8 = 0. y x. Figura : Elipse de equação x 6xy + y 30 x + 8 y + 8 = 0. Nem sempre uma equação do segundo grau representa uma curva suave. Por exemplo, embora a equação x + y = represente o círculo com centro na origem e raio, a equação x + y = 0 representa apenas um ponto (a origem (0, 0)), a equação x + y = não representa nada (pois não existe nenhum ponto (x, y) que satisfaça esta equação; outra maneira de dizer isso é que ela representa o conjunto vazio), e a equação x y = 0 representa duas retas que se interceptam na origem (as retas de equações y = x e y = x). Por outro lado, os tipos de curvas no plano que uma equação do segundo grau pode representar são em número limitado. Dependendo dos valores dos coeficientes a, b, c, d, e, f a curva poderá ser um círculo, uma elipse, uma hipérbole, uma parábola ou um caso degenerado, que pode ser o conjunto vazio, um ponto ou um par de retas. Não há outras possibilidades. Desenvolveremos um método algébrico para identificar a curva representada pela equação, sem precisar traçar o seu gráfico. Para isso, realizaremos uma série de mudanças de coordenadas até que a curva esteja colocada na melhor posição possível, ou seja, onde a sua equação é simples e de fácil identificação. A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor posição possível.

2 Elipse Definição. Uma elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos (chamados focos) é constante. dist(p, F ) + dist(p, F ) = constante. Figura : Elipse e seus focos. Equação da Elipse: O sistema de coordenadas que escolhemos, a fim de que a equação da elipse assuma a forma mais simples possível é o seguinte: os eixos coordenados são escolhidos de maneira que os focos F, F da elipse tenham coordenadas ( c, 0) e (c, 0), respectivamente; em outras palavras, os focos estão situados no eixo x, ocupando posições simétricas em relação à origem. Deste modo, a distância entre os focos é dist(f, F ) = c. A constante que dá a soma das distâncias de um ponto da elipse aos focos é escolhida como sendo a. Note que necessariamente a > c, pois o comprimento do lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados (veja a Figura 3). Figura 3: dist(p, F ) + dist(p, F ) = a < c. Portanto, a equação da elipse neste sistema de coordenadas é dist(p, F ) + dist(p, F ) = a,

3 ou (x + c) + y + (x c) + y = a. Vamos eliminar os radicais para obter uma expressão mais simples. Observe que simplesmente elevar ambos os lados desta equação ao quadrado não é a melhor maneira de proceder; ao contrário, fazendo isso criaremos um novo radical cujo radicando é um polinômio do quarto grau. Temos que eliminar os radicais um por um, isolando cada um em um lado da equação e elevando a equação ao quadrado para eliminá-lo. Mais precisamente, isolamos o primeiro radical no lado esquerdo da equação, escrevendo (x + c) + y = a (x c) + y. Em seguida, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado, obtendo (x + c) + y = 4a 4a (x c) + y + (x c) + y x + cx + c + y = 4a 4a (x c) + y + x cx + c + y 4cx = 4a 4a (x c) + y, e conseguimos assim eliminar um dos radicais. Isolando o radical que sobrou novamente no lado esquerdo da equação, temos a (x c) + y = a cx, e elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos finalmente a (x c) + y = a 4 a cx + c x a x a cx + a c + a y = a 4 a cx + c x (a c )x + a y = a (a c ). Matematicamente não há como simplificar mais esta última equação, mas visualmente há. Chamando b = a c (como a > c, esta definição faz sentido porque a c > 0) e dividindo a última equação obtida por a b = a (a c ), obtemos a equação para a elipse neste sistema de coordenadas privilegiado x a + y =. () b Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, encontramos y = ±b. Isso dá uma interpretação geométrica para os números a e b: a é o comprimento do semieixo maior da elipse, enquanto que b é o comprimento do semieixo menor da elipse. Os pontos ( a, 0), (a, 0), (0, b) e (0, b) são chamados os vértices da elipse. 3

4 Outro sistema de coordenadas em que a equação da elipse assume uma forma simples é quando os seus focos estão localizados no eixo y; neste sistema de coordenadas, a equação da elipse passa a ser Exemplo. Determine os focos da elipse x b + y a =. x 6 + y =. Solução: Como, que é maior que 6, está localizado sob y, concluímos que os focos estão localizados no eixo y. Temos c = 6 = 9 = 3, logo os focos desta elipse são F = (0, 3) e F = (0, 3). Observe que o semieixo maior desta elipse, localizado no eixo y, tem comprimento, enquanto que o semieixo menor, localizado no eixo x, tem comprimento Figura 4: Elipse x 6 + y =. Hipérbole Definição. Uma hipérbole é o conjunto dos pontos P do plano tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos (chamados focos) é constante. dist(p, F ) dist(p, F ) = constante. Equação da Hipérbole: Como no caso da elipse, escolha eixos coordenados tais que os focos F, F da elipse tenham coordenadas ( c, 0) e (c, 0), respectivamente, de modo que a distância entre os focos é dist(f, F ) = c, e a constante do módulo da diferença entre as distâncias de um ponto da hipérbole aos focos é igual a a. Observe que no caso da hipérbole, desta vez temos a < c, pois o comprimento do lado de um triângulo é sempre maior que a diferença entre os comprimentos dos outros dois lados. A equação da hipérbole neste sistema de coordenadas é dist(p, F ) dist(p, F ) = a, ou (x + c) + y (x c) + y = ±a. 4

5 Figura : Hipérbole e seus Focos Para simplificar esta equação, procedemos da mesma maneira que no caso da elipse. Escrevendo (x + c) + y = ±a + (x c) + y, elevamos ambos os lados desta expressão ao quadrado, obtendo donde (x + c) + y = 4a ± 4a (x c) + y + (x c) + y x + cx + c + y = 4a ± 4a (x c) + y + x cx + c + y 4cx = 4a ± 4a (x c) + y ±a (x c) + y = a cx. Novamente elevamos ambos os lados desta expressão ao quadrado, obtendo a (x c) + y = a 4 a cx + c x a x a cx + a c + a y = a 4 a cx + c x (a c )x + a y = a (a c ). Chamando b = c a (como a > c, esta definição faz sentido porque c a > 0) e dividindo a última equação obtida por a b = a (a c ), obtemos a seguinte equação para a hipérbole x a y =. () b Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, não há solução y. Portanto, a hipérbole com focos no eixo x não intercepta o eixo y. Os pontos ( a, 0) e (a, 0) são chamados os vértices da hipérbole. Existe apenas um par de retas no plano que não intercepta a hipérbole, mas tal que existem pontos da hipérbole arbitrariamente próximos a pontos destas retas. Estas duas retas são chamadas as assíntotas da hipérbole. Quando a hipérbole está na posição privilegiada considerada acima, as assíntotas são as retas x a y b = 0,

6 isto é, y = ± b a x. ( ) x De fato, por exemplo, a distância entre um ponto x, b a da hipérbole situado na parte superior do ramo direito e um ponto da reta y = b x situado exatamente acima deste ponto tende a 0 quando x, a como pode ser visto através do cálculo do limite (use a regra de L Hôpital) lim x x b a b a x = b a lim x a x = 0. x Se os focos da hipérbole estão localizados no eixo y, então a equação da hipérbole passa a ser e ela não intecepta o eixo x. y a x b = Parábola Definição. Uma parábola é o conjunto dos pontos P do plano eqüidistantes de uma reta (chamada reta diretriz) e de um ponto não pertencente a esta reta (chamado foco). dist(p, F ) = dist(p, r). Equação da Parábola: Escolha os eixos coordenados de maneira que o foco F da parábola tenha coordenadas (0, p) e a reta diretriz seja a reta r : y = p; em outras palavras, o foco da parábola está situado no eixo y, acima da origem, a diretriz é paralela ao eixo x e eles são simétricos em relação à origem. Neste sistema de coordenadas, a equação da parábola é x + (y p) = y + p. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos x + y py + p = y + py + p, 6

7 3 0 x 3 Figura 6: Parábola com Foco e Reta Diretriz donde x = 4py. (3) Esta é uma parábola com vértice na origem (0, 0) e concavidade para cima. Outras equações simples para a parábola são x = 4py para uma parábola com vértice na origem e concavidade para baixo, y = 4px para uma parábola com vértice na origem e concavidade para a direita, y = 4px para uma parábola com vértice na origem e concavidade para a esquerda. Veja as figuras a seguir Figura 7: Parábola x = 4py Figura 8: Parábola x = 4py 7

8 Figura 9: Parábola y = 4px Figura 0: Parábola y = 4px Identificação de Cônicas Veremos agora que as curvas no plano representadas por uma equação do segundo grau podem ser completamente classificadas. Ou seja, dada uma equação do segundo grau, ela representa ou um círculo, ou uma elipse, ou uma hipérbole, ou uma parábola, ou um ponto, ou uma reta, ou um par de retas, ou o conjunto vazio. Não há outras possibilidades. O método que usaremos para provar isso será o mesmo método que empregaremos para identificar uma cônica a partir da equação dada. Em primeiro lugar, representando, como já é usual, vetores (x, y) do plano na forma de matrizes-coluna notamos que qualquer equação do segundo grau pode ser reescrita em forma matricial X = x y, ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 X t AX + BX + f = 0 para alguma matriz simétrica A. Para isso, basta escrever ax + bxy + cy = ax + b xy + b xy + cy = x (ax + b ) y + y (cy + b ) x = x y ax + b y cy + b x = x y b a x b, y c de modo que a equação do segundo grau fica representada em forma matricial por b a x y x b + d e x + f = 0. y y c 8

9 Denotando a A = b essa equação matricial pode ser denotada por b e B = d e, c X t AX + BX + f = 0 A matriz A é uma matriz simétrica, logo ela pode ser diagonalizada através de uma matriz ortogonal P, ou seja, A = P DP t, onde D é a matriz diagonal λ 0 D = 0 λ λ, λ sendo os autovalores de A. Daí, substituindo esta expressão de A na equação matricial acima, segue que (P t X) t D(P t X) + BX = f. Fazendo a mudança de coordenadas de modo que X = P t X, X = P X, obtemos a equação matricial correspondente no novo sistema de coordenadas: Denotando a = λ, b = λ e, (X ) t DX + (BP )X = f. BP = d e, segue que esta equação matricial corresponde à equação algébrica a (x ) + b (y ) + d x + e y = f. Ou seja, o efeito da mudança de coordenadas efetuada através da matriz ortogonal P é eliminar o termo misto em xy. Porque a mudança de coordenadas foi efetuada por uma matriz ortogonal, a cônica representada por esta equação é a mesma representada pela equação original; não houve deformações de nenhuma natureza e elas diferem apenas por uma rotação ou reflexão. Observe que não podemos ter simultaneamente a = b = 0 porque A não é a matriz nula (se A fosse a matriz nula, isso significaria que a equação original seria do primeiro grau), logo ela deve possuir pelo menos um autovalor não nulo. Esta equação algébrica pode ser simplificada mais ainda através do processo de completar quadrados. Se a 0 e b 0, escrevemos a (x ) + b (y ) + d x + e y = a (x ) + d a x + b (y ) + e b y ( ) = a (x ) + d d ( ) d a x + a a ( ) + b (y ) + e e ( ) e b y + b b ( ) ( ) = a x + d d ( ) ( ) a a + b y + e e b b. 9

10 Fazendo a mudança de coordenadas e denotando obtemos a equação algébrica x = x + d a, y = y + e b, ( d f = a ) ( e + b ) f a b a (x ) + b (y ) = f. Podemos facilmente identificar que cônica esta equação representa no novo sistema de coordenadas (x, y ). Observe que este sistema de coordenadas é obtido através de uma translação do sistema de coordenadas (x, y ), logo não ocorre nenhuma distorção de comprimentos nesta mudança de sistemas de coordenadas, apenas a posição da cônica é modificada por meio de um transporte paralelo. Agora, se a e b tem o mesmo sinal, mas f tem sinal oposto ao sinal destes, então não existem pontos (x, y ) que satisfazem esta equação; ela representa o conjunto vazio. Se a e b tem o mesmo sinal e f = 0, então o único ponto que satisfaz a equação é o ponto (0, 0); ou seja a equação representa um ponto. Se a, b, f tem o mesmo sinal, estamos diante de um círculo ou uma elipse. Se a, b tem sinais opostos e f 0, então estamos diante de uma hipérbole; se a, b tem sinais opostos e f = 0, então estamos diante de um par de retas concorrentes: a (x ) + b (y ) = 0 é equivalente a ( x + ) ( ) b b a y x a y = 0, b b que representa as retas x = a y e x = a y. Geometricamente, um ponto pode ser pensado como um caso degenerado de uma elipse (um círculo é o caso especial de uma elipse cujos eixos maior e menor coincidem, enquanto que duas retas concorrentes é um caso degenerado (ou o caso limite) de uma hipérbole. Se a = 0 ou b = 0 (como observado acima, as duas possibilidades não podem ocorrer ao mesmo tempo), então estamos diante de uma parábola, um par de retas paralelas, uma única reta, ou o conjunto vazio. Por exemplo, se b = 0, há apenas um quadrado para completar e escrevemos (se e 0) a (x ) + d x + e y + f = a (x ) + d a x + e y + f ( ) ( ) = a x + d d a a + e y + f ( ) = a x + d a + e y + e ( ) ) d (f a a e fazemos a mudança de coordenadas x = x + d a, ( y = y + ( ) ) d e f a a, para obter a equação algébrica a (x ) = e y. 0

11 Se b = 0 e e = 0, então obtemos a equação a (x ) = f, f que representa o par de retas paralelas x = ± se a, f têm sinais opostos, a reta x = 0 se f = 0, ou a o conjunto vazio se a, f têm o mesmo sinal. Geometricamente, uma reta é uma parábola degenerada (ou o caso limite de uma parábola). Por outro lado, duas retas paralelas são o caso limite de uma hipérbole. Exemplos Exemplo. x 4xy + 8y + 4 x 6 y + 4 = 0 A forma matricial desta equação é onde A = X t AX + BX + 4 = 0, 8 e B = 4 6. Os autovalores de A são λ = 4 e λ = 9; autovetores ortonormais correspondentes são, respectivamente ( ) ( ),,,. Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A é P = Substituindo X = P t X e X = P X, temos x y x y x y + 4 = 0. Como e x y x y = 4(x ) + 9(y ) = (x ) + 9(y ) 8x 36y + 4 = 0. Agora completamos os quadrados: 4(x ) + 9(y ) 8x 36y = 4(x ) x + 9(y ) 4y = 4(x ) x + + 9(y ) 4y = 4(x ) + 9(y ) 4,

12 obtendo ou Fazendo a mudança de coordenadas (translação) obtemos 4(x ) + 9(y ) = 0 4(x ) 4 + 9(y ) = 0, 4(x ) + 9(y ) = 36. x = x, y = y, 4x + 9y = 36. Dividindo esta equação por 36, obtemos finalmente x 9 + y 4 =. Concluímos que a cônica é uma elipse de semieixo maior 3 e semieixo menor. Exemplo. x 4xy y 4x 8y + 4 = 0 A forma matricial desta equação é onde A = X t AX + BX + 4 = 0, e B = 4 8. Os autovalores de A são λ = e λ = 3; autovetores ortonormais correspondentes são, respectivamente ( ) ( ),,,. Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A é P =. Substituindo X = P t X e X = P X, como 4 8 = 4 0 temos (x ) + 3(y ) 4 x + 4 = 0.

13 Completando os quadrados: obtemos (x ) + 3(y ) 4 x + 4 = (x ) x + 3(y ) + 4 Fazendo a mudança de coordenadas (translação) obtemos = (x ) x + + 3(y ) + 4 = (x ) + 3(y ) + 4 = (x ) (y ) + 4 = (x ) + 3(y ) + 4. (x ) + 3(y ) + 4 = 0. x = x, y = y x + 3y = 4. Dividindo esta equação por 4, obtemos finalmente Concluímos que a cônica é uma hipérbole. Exemplo 3. 4x 0xy + y x 6y = 0 A forma matricial desta equação é onde A = x y 8 =. X t AX + BX = 0, e B = 6. Os autovalores de A são λ = 0 e λ = 9; autovetores ortonormais correspondentes são, respectivamente ( ) ( ),,, Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A é P = Substituindo X = P t X e X = P X, como = temos ou 9(y ) 3 9x = 0, x = 3 9 (y ), uma parábola, portanto. 3

14 Exemplo 4. 9x + xy + 4y = 0 A forma matricial desta equação é onde X t AX = 0, A = Os autovalores de A são λ = 0 e λ = 3. Substituindo X = P t X, obtemos 3(y ) = 0,. donde ou seja, duas retas paralelas. y = ±, Esboço do Gráfico no Sistema Original de Coordenadas Podemos usar a equação da curva no sistema final de coordenadas x y ou x y (se for o caso) e as mudanças de coordenadas efetuadas no processo, para traçar um esboço do gráfico da curva no sistema de coordenadas original. Vamos considerar a curva do Exemplo da seção anterior. No sistema de coordenadas final x y sua equação é x 9 + y 4 =, ou seja, uma elipse de semi-eixo maior 3 e semi-eixo menor, centrada na origem (0, 0). Como 9 4 =, os focos da elipse no sistema x y têm coordenadas O seu gráfico no sistema de coordenadas x y é F = (, 0) e F = (, 0). y 3 0 x 3 Para encontrar os focos desta elipse no sistema de coordenadas anterior x y temos que realizar a translação reversa. Ou seja, para voltarmos do sistema de coordenadas x y para o sistema de coordenadas x y, basta notar que como X = X + 4

15 segue que X = X + Portanto, os focos da elipse no sistema x y têm coordenadas F = F + + =, F = F + + =. É claro que o efeito desta translação é mover toda a elipse unidade para a direita e unidades para cima. Logo, o gráfico da elipse no sistema de coordenadas x y é. 4 3 y x Por fim, para voltar do sistema de coordenadas x y para o sistema de coordenadas original xy, basta realizar a rotação reversa X = P X : F = P F = F = P F = + = + = + Em particular, o centro desta elipse, que é o ponto médio dos focos, tem coordenadas 0 no sistema original. O efeito de P é girar a elipse no sentido anti-horário de um ângulo de arccos 6, 6. O eixo maior da elipse (que no sistema x y corresponde ao eixo x ) é paralelo à direção do autoespaço correspondente ao autovalor 4, isto é, na direção do vetor (, ), enquanto que o eixo menor (que no sistema x y corresponde ao eixo y ) é paralelo à direção do autoespaço correspondente ao autovalor 9, isto é, na

16 direção do vetor (, ). O esboço do gráfico da elipse no sistema de coordenadas original é, portanto, 4 3 y 0 x 6

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