Limites. 2.1 Limite de uma função

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1 Limites 2 2. Limite de uma função Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 x + 2 para valores próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x próximos de 2, mas não iguais a dois. x f(x) x f(x),0 3,0,5 2,5,8 2,2,9 2,,95 2,05,99 2,0,995 2,005,999 2,00

2 2. Limite de uma função 4 Da Tabela vemos que quando x difere de 2 de ±0, 00 (x =, 999 ou x = 2, 00), f(x) difere de 4 de ±0, 003 (f(x) = 3, 997 ou f(x) = 4, 003). Considerando os valores de f(x) primeiro, concluímos que podemos tornar os valores de f(x) tão próximos de 4 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 2. Por simbologia, usando letras gregas, enunciamos que para todo número ε dado positivo existe um número δ escolhido apropriadamente, tal que se x 2 for menor do que δ e x 2 0 (x ), então f(x) 4 será menor do que ε; dito de outra forma, dado um ε > 0, existe δ > 0 suficientemente pequeno, tal que se 0 < x 2 < δ, então f(x) 4 < ε. (2.) Em particular, se ε = 0, 003, tomamos δ = 0, 00 e afirmamos que se 0 < x 2 < 0, 00, então f(x) 4 < 0, 003. Expressamos isso dizendo que o ite da função f(x) = x 2 x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4. A notação para isso é x 2 x2 x + 2 = 4. A seguir, veremos o significado geométrico. Veja Definição 2... Seja f um função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O ite de f(x) quando x tende a a será L, escrito como f(x) = L se a afirmação for verdadeira: Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < x a < δ, então f(x) L < ε.

3 2.2 Teoremas 5 Exemplo 2... Encontre o valor de x x x 2. sin x Exemplo Encontre x 0 x. Exemplo Seja f definida por f(x) = 4x 7 e suponha que (a) Para ε = 0, 0, determine δ > 0, tal que f(x) = 5. x 3 se 0 < x 3 < δ, então f(x) 5 < 0, 0. (b) Usando as propriedades de desigualdades, determine δ > 0, tal que a afirmativa na parte (a) seja verdadeira. Exemplo Usando a definição, prove que 4x 7 = 5. x 3 Teorema 2... Se f(x) = L e f(x) = L 2, então L = L Teoremas Teorema Se m e b forem constantes quaisquer, (mx + b) = ma + b. Teorema Se c for uma constante, então para qualquer a, Teorema x = a. c = c. Teorema Seja c uma constante e suponha que existam os ites. Então f(x) e g(x). [f(x) ± g(x)] = f(x) ± g(x). 2. cf(x) = c f(x). 3. [f(x)g(x)] = f(x) g(x). 4. f(x) g(x) = f(x) g(x), se g(x) 0.

4 2.3 Limites Laterais 6 [ ] n. 5. [f(x)] n = f(x) Teorema Seja n um inteiro positivo e f(x) = L, então com a restrição de que se n for par L > 0. Exemplo (a) x 2 3x + 5 (b) x 5 7 (c) x 6 x (d) x 3 x(2x + ) (e) (5x + 7)4 x 2 (f) x 4 3 (g) x 4 x 7x + x 7x + (h) x 2 + 7x 5 x 3 x 3 + 2x + 3 (i) x 2 x n f(x) = n L Teorema f(x) = L se, e somente se, [f(x) L] = 0. Teorema f(x) = L se, e somente se, t 0 f(t + a) = L. Exemplo Encontre o valor de x x x 2. (3 + h) 2 9 Exemplo Calcule. h 0 h t Exemplo Calcule. t 0 t Limites Laterais Definição Seja f um função definida para todo número em algum intervalo aberto (a, c). O ite de f(x) quando x tende a a pela direita será L, escrito como f(x) = L + se a afirmação for verdadeira: Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < x a < δ, então f(x) L < ε.

5 2.3 Limites Laterais 7 Definição Seja f um função definida para todo número em algum intervalo aberto (d, a). O ite de f(x) quando x tende a a pela esquerda será L, escrito como f(x) = L se a afirmação for verdadeira: Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < a x < δ, então f(x) L < ε. Exemplo A função sinal é definida por, se x < 0; sgn(x) = 0, se x = 0;, se x > 0. (a) Faça o esboço do gráfico dessa função. (b) Determine sgn(x) e sgn(x). x 0 x 0 + Teorema f(x) = L se, e somente se, f(x) = L = f(x). + Exemplo Seja g definida por { x, se x 0; g(x) = 2, se x = 0. (a) Faça o esboço do gráfico dessa função. (b) Determine g(x). x 0 Exemplo Seja g definida por { 4 x 2, se x ; h(x) = 2 + x 2, se x >. (a) Faça o esboço do gráfico dessa função. (b) Determine h(x). x Teorema Se f(x) g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os ites de f e g existem quado x tende a a, então f(x) g(x). Teorema (Teorema do Confronto). Se f(x) g(x) h(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e f(x) = h(x) = L,

6 2.4 Limites infinitos 8 então g(x) = L. ( ) Exemplo Mostre que x 2 sin = 0. x 0 x 2.4 Limites infinitos Exemplo Encontre se existir o x 0 x 2. x ± ±0, 5 ±0, 2 ±0, ±0, 05 ±0, 0 ±0, 00 x 2

7 2.4 Limites infinitos 9 Definição Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em A. Então, f(x) = significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos) por meio de uma escolha adequada de x nas proximidades de a, mas não igual a a. Exemplo Encontre se existir o x 0 x 2. Definição Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então, f(x) = significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes, porém negativo, por meio de uma escolha adequada de x nas proximidades de a, mas não igual a a.

8 2.4 Limites infinitos 20 Definição A reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: f(x) = f(x) = f(x) = + f(x) = + f(x) = f(x) = 2 Exemplo Encontre x 3 + x 3 e 2 x 3 x 3. Exemplo Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tan(x). Figura 2.: y = tan(x) Veremos agora definições mais precisas. Definição Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a, exceto possivelmente em a. Então, f(x) = significa que para todo número positivo M há um número positivo correspondente δ tal que f(x) < N sempre que 0 < x a < δ.

9 2.5 Limites no infinito e assíntotas horizontais 2 Definição Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a, exceto possivelmente em a. Então, f(x) = significa que para todo número positivo M há um número positivo correspondente δ tal que f(x) > M sempre que 0 < x a < δ. 2.5 Limites no infinito e assíntotas horizontais Vamos considerar a função f definida por f(x) = x2 x 2 +.

10 2.5 Limites no infinito e assíntotas horizontais 22 x x 2 0 ± ±2 ±3 ±4 ±5 ±0 ±50 ±00 ±000 Assim simbolicamente escrevemos x ± x 2 x 2 + =. Logo, definimos Definição Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ). Então, f(x) = L x significa que para dos ε > 0, existe um correspondente número N tal que f(x) L < ε sempre que x > N.

11 2.5 Limites no infinito e assíntotas horizontais 23 Definição Seja f uma função definida em algum intervalo (, a). Então, f(x) = L x significa que para dos ε > 0, existe um correspondente número N tal que f(x) L < ε sempre que x < N. Definição A reta y = L é chamada de assíntota horizontal da curva y = f(x) se f(x) = L ou f(x) = L. x x Exemplo Determine as assíntotas horizontais da curva y = arctan(x). Exemplo Encontre x x e x x. Teorema Se r > 0 for um número racional, então x x r = 0. Se > 0 for um número racional tal que x r for definida para todo x, então x Exemplo Calcule x 3x 2 x 2 5x 2 + 4x +. x r = 0.

12 2.6 Continuidade 24 Exemplo Determine as assíntotas horizontal e vertical do gráfico da função f(x) = 2x2 + 3x 5. Exemplo Calcule x ( x 2 + x). Exemplo Calcule x ex. Exemplo Calcule x 0 e x. Exemplo Calcule x sin(x). Exemplo Calcule x x 2 x. Exemplo Calcule x x 2 + x 3 x. Exemplo Esboce o gráfico de y = (x 2) 4 (x+) 3 (x ) achando seus interceptos e seus ites quando x ±. Exemplo Usando a definição, mostre que x x = Continuidade Definição Dizemos que a função f é contínua no número a se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f(a) existe; (ii) f(x) existe; (iii) f(x) = f(a). Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em a, a função f será descontínua em a. Exemplo Verifique se f definida por é contínua em x =. f(x) = Exemplo Verifique se F definida por é contínua em x = 3. F(x) = { 2x + 3, se x, 2, se x =, { x 3, se x 3, 2, se x = 3,

13 2.6 Continuidade 25 Exemplo A função definida por f(x) = x 2 x 4 é descontínua em x = 4. Mostre que a descontinuidade é removível e redefina f(4) de tal modo que a descontinuidade seja removida. Teorema Se f e g são funções contínuas em x = a e se c for uma constante, então (i) f ± g (ii) fg (iii) cf (iv) f, se g(a) 0 g são contínuas em x = a. Teorema Uma função polinomial é contínua em R. Teorema Uma função racional é contínua em todos os números do seu domínio. Exemplo Encontre x 2 x 3 + 2x x Teorema Se f é contínua em b e g(x) = b, então f(g(x)) = f(b); isto é, ( ) f(g(x)) = f g(x). Exemplo Calcule x arcsin ( ) x. x Teorema Se g for conínua em a e f em g(a), então a função composta f g dada por (f g)(x) = f(g(x) é conínua em a. Exemplo Onde as seguintes funções são contínuas? (a) h(x) = sin(x 2 ) (b) F(x) = ln( + cos(x)) Teorema A função f é contínua em x = a se f estiver definida em algum intervalo aberto contendo a e se para todo ε > 0, existir um δ > 0 tal que se x a < δ então f(x) f(a) < ε. Definição Dizemos que uma função é contínua em um intervalo aberto se, e somente se, ela for contínua em todos os números desse intervalo.

14 2.6 Continuidade 26 Definição Dizemos que a função f é contínua à direita no número a se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f(a) existe; (ii) f(x) existe; + (iii) f(x) = f(a). + Definição Dizemos que a função f é contínua à esquerda no número a se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f(a) existe; (ii) f(x) existe; (iii) f(x) = f(a). Definição Dizemos que uma função é contínua em um intervalo fechado [a, b] que está em seu domínio se, e somente se, ela for contínua no intervalo aberto (a, b), à direita de a e à esquerda de b.

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