EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO MATEMATICA FUNÇÕES NUMEROS COMPLEXOS

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1 1. (Unicamp 01) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.. (Unifesp 01) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) 0,0t t. Nessa função, considera-se t 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira. a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez? b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose? 3. (Fuvest 01) A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n, x n 1, se n 1 x n f(x) n 1 x, se n x n 1 a) Esboce o gráfico de f para 0 x 6. b) Encontre os valores de x, 0 x 6, tais que 1 f(x). Página 1 de 1

2 4. (Unicamp 01) Considere a função 1x 1x f(x) 10 10, definida para todo número real x. a) Mostre que f(log 10( 3)) é um número inteiro. b) Sabendo que log10 0,3, encontre os valores de x para os quais f(x).. (Unicamp 01) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) ax 3a e g(x) 9 x, definidas para todo número real x. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) 0. b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) g(f(x)) para todo número real x. 6. (Fuvest 01) Resolva os três itens abaixo. cos 3 sen 3π. a) Calcule π e n b) Dado o número complexo z i, encontre o menor inteiro n 0 para o qual z seja real. c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que possua z como raiz e que não possua raiz real. 7. (Unifesp 01) Um tomógrafo mapeia o interior de um objeto por meio da interação de feixes de raios X com as diferentes partes e constituições desse objeto. Após atravessar o objeto, a informação do que ocorreu com cada raio X é registrada em um detector, o que possibilita, posteriormente, a geração de imagens do interior do objeto. No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X está sendo usada para mapear o ponto P, que está no interior de um objeto circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O raio X que passa por P se encontra também nesse plano. A distância entre P e a origem O do sistema de coordenadas é igual a 6. a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P. b) Determine a equação reduzida da reta que contém o segmento que representa o raio X da figura.. (Unicamp 014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma para todo x real. f(x) x a x b, definidas a) Sabendo que o gráfico de y f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a b 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. 9. (Unifesp 014) Chamando de y e y as equações das parábolas geradas quando a curva y = x 1x + 16 é refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine: a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y e y. b) y e y. 10. (Fgv 014) A quantidade de cópias vendidas de cada edição de uma revista jurídica é função linear do número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública. Uma edição com quatro matérias desse tipo vendeu 33 mil exemplares, enquanto que outra contendo sete matérias que abordavam aqueles julgamentos vendeu 7 mil exemplares. Página de 1

3 a) Quantos exemplares da revista seriam vendidos, caso fosse publicada uma edição sem matéria alguma que abordasse julgamento de casos com ampla repercussão pública? b) Represente graficamente, no plano cartesiano, a função da quantidade (Y) de exemplares vendidos por edição, pelo número (X) de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública. c) Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R$ 0,00. Determine qual será o faturamento, por edição, em função do número de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública. 11. (Fgv 014) Observe a notícia abaixo e utilize as informações que julgar necessárias. a) Suponha que a partir de 010 os índices de perdas no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser expressos por funções polinomiais do 1º grau, y ax b, em que x 0 representa o ano 010, x 1, o ano 011, e assim por diante, e y representa o índice de perdas expresso em porcentagem. Determine as duas funções. b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA, será de 1%, aproximadamente? Dê como solução os dois anos que mais se aproximam da resposta. 1. (Fuvest 014) Dados m e n inteiros, considere a função f definida por m f(x), x n para x n. a) No caso em que m n, mostre que a igualdade f( ) se verifica. b) No caso em que m n, ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados. c) No caso em que m n, esboce a parte do gráfico de f em que x, levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas. d) Existe um par de inteiros (m,n) (,) tal que a condição f( ) continue sendo satisfeita? 13. (Ita 014) Considere as funções αx f :, f(x) e, em que α é uma constante real positiva, e Determine o conjunto-solução da inequação g : 0,, g(x) x. g f x f g x. Página 3 de 1

4 14. (Unicamp 014) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) 0, log 3(t 1), onde o tempo t 0 é dado em anos. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0, m para 1, m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) h(3t ). Verifique que a diferença g(t) h(t) é uma constante, isto é, não depende de t. 1. (Unicamp 014) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 0 reais. Para um consumo superior, o preço é de 0 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água. a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30. b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E para um consumo mensal de metros cúbicos? 16. (Ita 014) a) Determine o valor máximo de z i, sabendo que z 1, z. b) Se zo satisfaz (a), determine z o. 17. (Unicamp 014) O polinômio a) Determine os valores de r e s. b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade imaginária. 3 p(x) x x 9x 1 tem três raízes: r, r e s. 1. (Fgv 014) Seja f uma função que, a cada número complexo z, associa f(z) iz, onde i é a unidade imaginária. Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais que f(z) z, onde z é o conjugado de z. Gabarito: Resposta da questão 1: t a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P t,. retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que Além disso, para todo 0 t 4, o triângulo T é Página 4 de 1

5 1 t t A(t) t (t 4). 4 O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (,1). b) As abscissas dos pontos de interseção da reta equação x k x 4x k 0. x x y com a função k sendo x 0, satisfazem a g(x), x Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja, Δ ( 4) 4 1 k 0, o que implica em k. Resposta da questão : a) Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem C(t) 40. Assim, temos 0,0t t 40 (t 0) 100 t 10 h ou t 30 h. A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez às h da segunda-feira. b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo após 0 horas. Portanto, o médico deverá prescrever a segunda dose para as 0 (4 11) 7 horas da ( 0,0) terça-feira. Resposta da questão 3: x, se 0 x 1 a) n 1 f(x) x, se 1 x x, se x 3 n 3 f(x) x, se 3 x 4 x 4, se 4 x 6 n f(x) 6 x, se x 6 De acordo com as funções acima, temos o seguinte gráfico. Página de 1

6 1 b) Considerando f(x), temos: 1 x 1 9 x x 1 11 x x x x 1 1 x 4 x x x Portanto, 1 x ou 9 x ou 11 x ou 19 x ou 1 x ou 9 x. Resposta da questão 4: a) Com efeito, temos 1 x x f(x) Logo, sabendo que loga b a b, com a e b reais positivos e a 1, vem log 10( 3) 1 f(log 10( 3)) 1010 log 10( 3) Portanto, segue que f(log 10( 3)) 40. b) Tem-se que Página 6 de 1

7 x 1 f(x) 1010 x 10 x x x x log10 ou x log10. Dado que log10 0,3, vem 10 log10 log10 log10 10 log10 1 0,3 0,7. Portanto, os valores de x para os quais f(x) são 0,7 e 0,7. Resposta da questão : a) Sendo a 0, temos 9 f(x)g(x) 0 a(x 3) x x. Portanto, segue que x {, 1, 0,1,, 3, 4}, ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras. b) Tem-se que f(g(x)) ag(x) 3a a(9 x) 3a ax 1a e g(f(x)) 9 f(x) 9 (ax 3a) ax 6a 9. Logo, vem f(g(x)) g(f(x)) ax 1a ax 6a 9 1 a. Resposta da questão 6: 3π 3π a) cos cos 4 Página 7 de 1

8 3π 3π cos sen 3π 3π cos 1 cos 3π cos 1 3π cos 4 3π cos Calculando agora o valor do 3π 3π sen 1cos 3π sen 1 3π sen 4 3π sen 3π sen : b) Teremos: a e b ρz a b, logo, ρz ρz. b tg z, a θ logo, tg θz. Do item [A], temos: 3π 3 π tgθz tg ou θz. Página de 1

9 Assim, na forma trigonométrica, temos: 3π 3π z ρz cosθz i sen θz z cos i sen n n 3π 3π z cos n i sen n. n 3π Se z é real: sen n 0 3π n 0 (não convém, pois n > 0) 3π n π n (não convém, pois n z) 3 3π 16 n π n = (não convém, pois n z) 3 3π n 3 π n resposta: n =. c) Do item [B], concluímos que z n é real para n = ou n = 16, ou n = 4, etc. Supondo n =, temos: n n 3nπ 3π z cos i sen n. π π z cos 3 i sen 3 z 6. Logo, o polinômio procurado é: z 6 0. Resposta da questão 7: Considere a figura, em que A e B são, respectivamente, os pontos de interseção do raio X com o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. π a) O ponto P é a imagem do número complexo de módulo 6 e argumento rad. 3 Desse modo, tem-se que π π P 6 cos, 6sen (3, 3 3). 3 3 b) Sendo BOP 60, temos POA e, portanto, OAP 7. Daí, segue que OP OA 6 e, assim, A (0, 6). Portanto, a equação reduzida da reta AP é y 6 (x 0) y ( 3 )x Página 9 de 1

10 Resposta da questão : a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0, 1), então b 1. Além disso, como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem Δ 0 a a. Portanto, a e b 1. b) Se a b 1b 1 a, então f(x) x ax 1 a. Agora, sem perda de generalidade, tomando a 0 e a 1, obtemos f 1(x) x 1 e f (x) x x, respectivamente. Ora, como os gráficos de f 1 e de f possuem um ponto em comum, tem-se x 1 x x x 1. Em consequência, o resultado pedido é (1, ). Resposta da questão 9: a) Observe o gráfico a seguir: Considerando V o vértice da parábola de equação y = f(x), V o vértice de y = f(x) e V o vértice de y = f( x) temos: V(3, ), V (3, ) e V ( 3, ) Portanto, a distância entre os pontos V e V será dada por: d ( 3 3) ( ) 13 b) Sendo y = f(x) = x 1x + 16, temos: y = f(x) = (x 1x + 16) = x + 1x 16 y = f( x) = ( x) 1( x) + 16 = x + 1x + 16 Página 10 de 1

11 Resposta da questão 10: Seja f: a função afim definida por f(x) ax b, em que f(x) é o número de cópias vendidas e x é o número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública. Sabendo que o gráfico de f passa pelos pontos (4, 33000) e (7, 7000), tem-se que a Logo, b b a) O valor inicial da função f, definida acima, é igual a b) O gráfico pedido é c) Seja g: a função definida por g(x) 0 f(x), em que g(x) é o faturamento por adição e f(x) é o número de cópias vendidas, conforme definido em (a). Portanto, segue-se que g(x) 0 (000x 1000) x Resposta da questão 11: a) Seja f :, a função que associa a cada ano x o índice de perdas y, no Brasil, expresso em porcentagem. Tem-se que a taxa de variação de f é dada por 1,76 1,7 0, Logo, dado que f(0) 1,7, vem f(x) 0,01 x 1,7. Analogamente, sendo g :, a função para os EUA, temos 1,4 1,49 0, Portanto, como g(0) 1,49, concluímos que g(x) 0,09 x 1,49. b) Tem-se que Página 11 de 1

12 f(x) g(x) 1 0,01 x 1,7 ( 0,09 x 1,49) 1 0,1 x 0,74 x 7,4. Assim, como 010 7,4 017,4, os dois anos que mais se aproximam da resposta são 017 e 01. Resposta da questão 1: a) Se m n, então f( ) ( ). b) Se m n, então f(x), com x. Tomando x 0, vem f(0) 1. Logo, o ponto de x 0 interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é (0, 1). Por outro lado, pondo f(x) 0, obtemos 0 x 1. x Portanto, o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abscissas é ( 1, 0). c) O gráfico de f, para x, pode ser obtido a partir do gráfico da função g :, definida por g(x), da x seguinte forma: (i) um deslocamento horizontal de duas unidades para a esquerda; (ii) uma reflexão em torno do eixo das abscissas; e (iii) um deslocamento vertical de duas unidades para cima. d) Se f( ), então m m n n m n n m n ( n). Sendo m, n, tem-se que m n e n. Logo, a igualdade é verificada se, e somente se, m n 0 e n 0, o que ocorre apenas para m n. Página 1 de 1

13 Resposta da questão 13: αx αx α x x α αx gof(x) fog(x) e e e e α x x x 0 x x 0 x 0 não convém ou x x 4 S 4, Resposta da questão 14: a) O valor de t para o qual se tem h(t) 0, é 0, 0, log 3(t 1) t 0. Para h(t) 1,, obtemos 1, 0, log 3(t 1) t13 t. Portanto, serão necessários anos para que a altura aumente de 0, m para 1, m. b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma g(t) h(3t ) 0, log 3(3t 1) 0, log3 3 (t 1) 0, log33 log 3(t 1) 1h(t). Por conseguinte, g(t) h(t) 1 h(t) h(t) 1, para todo t 0. Resposta da questão 1: a) A lei da função c é dada por 0, se 0 x 10 c(x) (x 10) 4 0, se x 10 0, se 0 x 10. 4x 0, se x 10 Logo, o gráfico de c, para 0 x 30, é Página 13 de 1

14 b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por metro cúbico é dado por c(4) 0 R$, Para um consumo mensal de metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por metro cúbico é dado por c() 4 0 R$ 3,0. Resposta da questão 16: a) Desde que z 1, com z x yi e x, y, vem z 1 x yi 1 (x ) y 1 (x ) y 1, ou seja, os números complexos z que satisfazem z 1, pertencem à circunferência de centro em (, 0) e raio 1. Lembrando que z i denota a distância do complexo z x yi ao complexo w i, considere a figura. Queremos calcular a medida do segmento AB. Como AB AC CB e CB 1, falta calcular AC. Daí, AC ( 0) (0 ( 1)) Página 14 de 1

15 e, portanto, AB 1. b) Os triângulos CBD e CAO são semelhantes por AA. Logo, CD CB CD OC AC e BD CB 1 BD. OA AC Portanto, 1 10 z0 i i. Resposta da questão 17: a) Fatorando p(x), obtemos 3 p(x) x x 9x 1 x (x ) 9(x ) (x )(x 9). Portanto, r 3 e s. b) Se z 1 i, então p(z) (1 i )(i 9) i 9i i i. z (1 i) i. Logo, Resposta da questão 1: Seja z a bi, com a, b, tal que a b 4. Logo, vem f(z) z iz z i (a bi) a bi b ai a bi a b. Desse modo, ( b) b 16 b b. Portanto, os complexos que satisfazem as condições são i e i. Página 1 de 1