Prof. Ewerton Paiva. Aulas 19 e 20 Função constante e função afim 01) (Insper-adaptado) O gráfico a seguir representa a função reais positivos.

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1 Prof. Ewerton Paiva Aulas 19 e 0 Função constante e função afim 01) (Insper-adaptado) O gráfico a seguir representa a função reais positivos. f( x) 4, definida no conjunto dos números x Sobre a função g(x) = xf(x), é correto afirmar que ela é: a) constante. b) estritamente crescente. c) estritamente decrescente. d) negativa. e) identicamente nula. 0) (Unicamp) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 0 reais. Para um consumo superior, o preço é de 0 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos metros cúbicos. Considere C(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água. a) Esboce o gráfico da função C(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30. C x b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico E para um consumo mensal de 5 metros cúbicos 1

2 03) (Insper-adaptado) Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 0 dias antes da exibição do filme, sendo que: nos dez primeiros dias desse período, as vendas foram feitas exclusivamente nas bilheterias; nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet. Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. Durante as vendas exclusivas nas bilheterias, a capacidade de atendimento dos guichês dos cinemas do mundo todo, ao longo do tempo, era sempre a mesma, totalizando a venda de milhões de ingressos por dia. Assim, o gráfico que melhor descreve v(t) para esse período, em função de t, é a) b) c) d) e) 04) (FGV) Observe a notícia abaixo e utilize as informações que julgar necessárias.

3 a) Suponha que a partir de 0 os índices de perda no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser expressos por funções polinomiais do 1º grau, y = ax + b, em que x = 0 representa o ano 0, x = 1 o ano 011, e assim por diante, e y representa o índice de perdas expresso em porcentagem. Determine as duas funções. b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA, será de 1%, aproximadamente Dê como solução os dois anos que mais se aproximam da resposta. 05) (Vunesp) Um operário ganha R$ 3,00 por hora de trabalho de sua jornada semanal regular de trabalho, que é de 40 horas. Eventuais horas extras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para expressar seu salário bruto semanal S, para as semanas em que trabalha h horas, com h 40. 0) (Unicamp) Em 14 de outubro de 01, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo. Tempo (segundos) Velocidade (km/h) b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.0 km/h. 07) (Unicamp) Uma placa retangular de madeira, com dimensões x0 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura ao lado. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por 5 x CG ( w) = w 80 - w e ( w - 0) ycg ( w) = 80 - w 0 w a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm. b) Determine uma expressão geral para w(x CG ), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada x CG, e calcule y CG quando x CG = 7/ cm. 3

4 08) (FGV) Considerando um horizonte de tempo de anos a partir de hoje, o valor de uma máquina deprecia linearmente com o tempo, isto é, o valor da máquina y em função do tempo x é dado por uma função polinomial do 1º grau y = ax + b. Se o valor da máquina daqui a dois anos for R$ 400,00, e seu valor daqui a cinco anos e meio for R$ 4 300,00, seu valor daqui a sete anos será: a) R$ 3 0,00 b) R$ 3 00,00 c) R$ 3 300,00 d) R$ 3 400,00 e) R$ 3 500,00 Texto para as duas próximas questões (PAS-UnB-adaptado) Suponha que o consumo normal diário de energia de um trabalhador seja de.0 kcal e que o total de calorias correspondentes aos alimentos ingeridos que excede esse valor seja armazenado no organismo, na forma de gordura. O gráfico abaixo representa a evolução da massa corporal desse indivíduo em um período de 0 dias; a tabela descreve situações relativas a consumo de alimentos e gasto de energia período 1 30 período 540 período ) A função cujo gráfico corresponde ao período 1 é: a) f ( x) = 1 x b) f ( x) = 1 x c) f(x) = 4x + 70 d) f(x) = 4x + 85 ) Considerando-se que a tendência de perda de peso apresentada no período 3 seja mantida, o indivíduo voltará a ter massa corporal igual a 70 kg no: a) 70º dia b) 80º dia c) 90º dia d) 700º dia 11) (UFMS) Suponha que numa bicicleta, o raio da roda dentada da coroa (conectada ao pedal) seja quatro vezes maior que o raio da roda dentada da catraca (conectada à roda da bicicleta) e que o raio da roda (incluindo o pneu) seja 35 cm. Conforme ilustração a seguir: ro da c o m pn e u co ro a c a tra c a p ed a l Nas condições descritas, qual é a função que melhor define a velocidade da bicicleta V (em quilômetros por hora) em relação ax (número de rotações por minuto da coroa)? 4

5 (Use, se necessário, = 3) a) V(x) = 0,504x b) V(x) = 0,40x c) V(x) = 0,45x d) V(x) = 0,x e) V(x) = 0,05x Aulas 1, e 3 Função quadrática 1) (Insper) Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 0 dias antes da exibição do filme, sendo que: nos dez primeiros dias desse período, as vendas foram feitas exclusivamente nas bilheterias; nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet. Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. No período de vendas simultâneas nas bilheterias e pela internet, a função v(t) é dada por: v(t) = 0,1t + 4t. O número de ingressos vendidos apenas nos dias que antecederam a exibição do filme foi a) milhões. b) 0 milhões. c) 30 milhões. d) 40 milhões. e) 50 milhões. 13) (Insper) O ponto Q da figura indica a posição de um avião que voa de P para R, no instante em que libera uma caixa com suprimentos que deverá cair no ponto O. Cada unidade do plano cartesiano corresponde a um quilômetro. A caixa descreve no ar a trajetória de uma parábola, com vértice sobre o ponto Q, no sistema de coordenadas apresentado. Se alguns instantes após o lançamento a caixa passar pelo ponto S indicado na figura, é correto afirmar que a) irá cair um quilômetro para a esquerda do ponto O. b) irá cair meio quilômetro para a esquerda do ponto O. c) irá atingir exatamente o ponto O. d) irá cair meio quilômetro para a direita do ponto O. e) irá cair um quilômetro para a direita do ponto O. 5

6 14) (Unicamp) Seja r a reta de equação cartesiana x + y = 4. Para cada número real t tal que 0 < t < 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto de abscissa x = t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 < t < 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. k b) Seja k um número real não nulo e considere a função gx ( ), definida para todo número real x x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r. 15) (Insper) Considere dois polinômios do 1º grau P(x) e Q(x), ambos de coeficientes reais, tais que P(3) = Q(3) = 0, P() > 0 e Q() < 0. Sendo f a função definida para todo x, por f(x) = P(x)Q(x), a única figura, dentre as apresentadas a seguir, que pode representar o gráfico de f é:

7 1) (Insper) f(x) e g(x) são duas funções do 1º grau, tais que: f(1) = g(5) = 0. f(4)g(4) = Se (h, k) são as coordenas do vértice da parábola y = f(x)g(x), então necessariamente a) h = 3 e k < 0 b) h = 3 e k = c) h = 3 e k > 0 d) h = 4 e k = e) h = 4 e k < 0 17) (Enem) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira: a nota zero permanece zero. A nota permanece. A nota 5 passa a ser. A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é a) 1 7 y x x 5 5 b) 1 y x x c) 1 7 y x x 4 1 d) 4 y x 5 e) y = x 18) (Unicamp) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x + ax + b, definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto comum. Determine as coordenadas desse ponto comum. 19) (FGV) Ao cobrar dos produtores um imposto de t reais por unidade vendida de um produto, o número x de unidades vendidas mensalmente é dado por x = 50 0,5t. A receita tributária mensal (imposto por unidade vezes a quantidade vendida) máxima que o governo consegue arrecadar é a) R$.0,00 b) R$.300,00 c) R$.400,00 d) R$.500,00 e) R$.00,00 0) (Fuvest) A função f: tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) f(x) = x, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: a) 11 b) 7 c) 5 5 d) 0 e) 1) (Fuvest) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A(0, 0); B(3, 4) e C(8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 7

8 a) 1 4, 5 b) 17,3 4 c) 1 5, 5 d) 11, e) 8, 5 ) (FGV) Uma única linha aérea oferece um único vôo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse vôo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do 1º grau. Quando o preço da passagem é R$ 00,00, comparecem passageiros e, para cada aumento de R$,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada vôo? a) R$ 0,00 b) R$ 30,00 c) R$ 40,00 d) R$ 50,00 e) R$ 0,00 3) (FGV) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 01. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquiridos pelos consumidores em função do preço de cada exemplar. Preço de Venda Quantidade Vendida R$ 0,00 30 R$ 90,00 40 R$ 85,00 45 R$ 80,00 50 Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau y = ax + b, em que x representa a quantidade de livros vendidos e y, o preço de cada exemplar. a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por que? 4) (FGV) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130x + 70y (x + y ) exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b) Nas condições do item a), quantos exemplares a editora estima vender no total? 5) (Insper) Para alcançar um suculento mosquito, um sapo deu dois saltos, partindo do ponto (0, 0) de um sistema de coordenadas, cuja unidade representa 1 cm. A trajetória do sapo pode ser descrita como se segue: obedeceu ao gráfico da parábola dada por 1 ( ) x p x x para pousar sobre uma cadeira de 50 cm (já na parte descendente do gráfico, após o ponto de máximo); no mesmo ponto onde aterrisou na cadeira tomou um impulso e seguiu sobre o gráfico da parábola p (x) = x + bx 3.00; no ponto de altura máxima de p (x), laçou o mosquito com seu tradicional golpe de língua. Quando apanhou o mosquito o sapo voava a uma altura que está entre a) 1,50 e,00 metros b),00 e 3,00 metros c) 4,00 e,00 metros 8

9 d),00 e,00 metros e),00 e 18,00 metros ) (Unifesp) Chamando de y e y as equações das parábolas geradas quando a curva y = x 1x + 1 é refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine: a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y e y. b) y e y. 7) (Insper) Considere a função f, definida no intervalo [1; 7[, dada pela lei ìï x - 4x + 4, se 1 x p f( x) = ï í. f(p) será o valor mais alto de f(x) somente se ï x ïî - 1x + 3, se p < x < 7 a) 1 p < b) 1 p < 3 c) p < 5 d) 3 p < e) 4 p < 7 Aula 4 Inequação do º grau 8) (FGV) A quantidade mensal vendida x de um produto relaciona-se com seu preço p por meio da equação: p = 0 0,0x. A receita mensal será maior ou igual a , se e somente se: a) x.000 b) x.500 c).000 x d) x e) x ) (Ufac) Sejam a um número real negativo e as funções f(x) = ax e g(x) = ax, com x percorrendo o conjunto dos números reais. Considere os seguintes itens em romanos: I. f(x) > g(x) para x no intervalo ] 0, 1 [. II. f é crescente em. III. g é decrescente em. Relativamente aos itens, podemos dizer que: a) todos são verdadeiros. b) todos são falsos. c) I e III são verdadeiros. d) I é falso. e) I e II são falsos. 30) (Fuvest) Considere a parábola de equação y = x + mx + 4m. a) Ache a intersecção da parábola com o eixo Ox, quando m =. b) Determine o conjunto dos valores de m para os quais a parábola não intercepta o eixo Ox. 31) (Cesgranrio) O conjunto dos valores de p para os quais a inequação x + x + p > é verdadeira para qualquer x pertencente a é dado por: a) p > 9 b) p < 11 c) P > 11 d) p < 9 e) n.d.a. 9

10 3) (PUC-RS) O domínio da função definida por f(x) = a) 1 x 1 b) x 1 ou x 1 c) x < ou x > 3 d) < x < 3 e) x 1 ou x 1 e x e x 3 x x 1 x é o conjunto dos números reais x, tais que: 33) (Fuvest) Para que a parábola y = x + mx + 5 não intercepte a reta y = 3, devemos ter: a) 4 < m < 4 b) m < 3 ou m > 4 c) m > 5 ou m < 5 d) m = 5 ou m = 5 e) m 0 GABARITO 01) A 0) a) C(x) = 4x 0, para 0 < x < 30 C x Observação: Caso a intenção do examinador fosse 0 x 30, os pontos (0, 0) e (30, 0) pertenceriam ao gráfico da função e o enunciado deveria ser Esboce o gráfico da função C(x) no plano cartesiano para x variando de 0 a 30. b) R$ 5,00 por m 3 e R$ 3,0 por m 3.

11 03) C 04) a) Brasil: y = 0,01x + 1,75 e EUA: y = 0,09x + 1,49 b) entre 017 e ) S(h) = 0 + 4,5h, para h 40 0) a) km/h b) 37 segundos 30) a) (, 0) e (4, 0) b) m 0 < m < 1 31) C 3) E 33) A 07) a) A(w) = 00 5w x ( ) 5 CG w = e y ( ) CG w = x b) wx CG ( CG) = 15 - xcg 7 17 w 15 e y (15) CG 08) D 09) A ) C 11) A 1) A 13) E 14) a) A() t At () t t t b) k = 15) E 1) C 17) A 18) a) a = ou a = e b = 1 b)(1, ) 19) D 0) C 1) D ) D 3) a) R$ 5,00 b) A decisão do gerente foi incorreta, pois o preço que maximiza os lucros é R$ 9,00 4) a) versão capa dura: R$,00 versão capa de papelão: R$ 33,00. b) livros 5) A ) a) 11 b) y = x + 1x 1 e y = x + 1x + 1 7) E 8) E 9) C 11