GABARITO COMENTÁRIO PROVA DE MATEMÁTICA (IV SIMULADO ITA/2007) QUESTÕES OBJETIVAS 3 ( 2) ( 2) = 3. 5 m. 64 x
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- Elza Bergmann Morais
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1 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela o Ensino Médio PROVA DE MATEMÁTICA (IV SIMULADO ITA/00) GABARITO COMENTÁRIO QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÃO 0 LETRA D Como a equação é do quinto grau (portanto de grau ímpar), possui, pelo menos, uma raiz real. Observando a representação geométrica do conjunto P (figura abaio) vemos que as raízes que são números imaginários puros deverão ser i e i, pois, pelo gráfico abaio, a interseção de P com o conjunto dos números compleos imaginários puros se reduz a estes dois números. Como a representação de P é simétrica em relação ao eio, e eatamente três raízes da equação estão em P, a única saída é que a outra raiz pertencente a P seja real e igual a, que é o único número real pertencente a P. Portanto, o polinômio é divisível por ( + )( + ). Efetuando esta divisão, obtemos ( + ) ( + )( + 5). Portanto, as raízes da equação que não pertencem a P são as soluções da equação + 5 0, que são ( + i) e ( - i), cujo produto ( + i)( i) 5. Portanto, a opção correta é a D. y QUESTÃO 0 LETRA C Na hipérbole y, temos a, b e protanto c. Assim r e r Como r r r, então r Temos assim, que ( ) ( ) P(t) (t )(t ) P(t) t t + t P(t) t t t + a + b + c + QUESTÃO 0 LETRA A m + 6 tem como termo independente de, o quartermo, onde p T (m) m 5 m 6 y Na hipérbole, temos a, e b assim c Distância focal: c 0 Portanto 5 m 0 6 Equação da reta y m + n y + n A reta passa por (, ), logo m m + n n Equação da reta y y + 0
2 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM QUESTÃO 0 LETRA C S(t) t λ λ + + λ> 9 t, 0. Como a função S(t) é par, então eistem duas raízes positivas e duas simétricas e portanto negativas. Assim as raízes são: t, t, t, t t t t t 9 λ 9t λ 9 t λ 8 λ t Não esite problema quanto ao sinal, pois as raízes são simétricas. λ t t + t t + t t + t t + t t + t t + t t t t λ 9t + t + λ 0t + λ 0t + 0 λ λ λ 9 9 λ 8 λ 9 QUESTÃO 05 LETRA B I) Foco da parábola y II) (y 0) ( 0) Vértice V(0, 0) Foco F,0 Distância entre as retas. r : y + 0 e r : y 0 r passa por (, ) Centro: E,0 P F,0
3 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM y + d + ( ) III) P() é divisível por + / / / / / / P() pode ser escrito como P() P() ( + ) ( ) Quadrilátero A(, ) B(, ), C(, 5) e D(, 5) Perímetro: Equação da elipse ( ) o (y y) o + a b (y 0) + y + + y QUESTÃO 06 LETRA B Observe que deve ser maior ou igual a zero assim ( 5)( ) , pois (, ) ( ) + ( 5)( ) ( )(6 ) (6 + )
4 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM ( + 8 ) Assim a equação original pode ser escrita como ( ) Como (, ) ± Apenas é solução! 5 6 QUESTÃO 0 LETRA A Para o polinômio P(), considere [ m ] P() o coeficiente de m em P(). Temos ainda que n n n k ( + ) k 0 k n [ m ] ( + ) n m [ m ] ( 000 k ( + ) k ) [ m (000 k) ] ( + ) k k m (000 k) No polinômio, temos k k k 0 Assim ( + ) k 000 m 000 m 000 k k [ ] ( + ) k k k [ ]( ( + )) k k 0 k 000 m m m 00 Portanto o coeficiente de 50 é 50
5 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM 5 QUESTÃO 08 LETRA C sec 0 o + sec 80 o + sec 60 o + o 0 o cos0 cos80 cos0 o o cos80 + cos0 cos0 cos80 cos60 o o cos0 cos0 cos0 cos80 cos0 cos 0 cos0 cos80 cos0 cos0 cos80 cos0 cos80 cos0 + cos0 cos0 cos80 cos0 cos0 + cos0 + cos0 cos0 cos80 + cos0 cos0 cos80 O O O QUESTÃO 09 LETRA C Assim, temos QUESTÃO 0 LETRA B Se r, r, r e r são as quatro raízes, temos: r r rrrr 98 Assim r r 6 rr Assim temos: 8 + k ( p ) ( q + 6) De onde teremos: p + q 8 e 6p + q 00 De onde temos p, q e k 86 QUESTÃO LETRA A (I) Verdadeiro. O conjunto A\B é formado por todos os elementos de A que não estão em B. (II) Falso. n(a B) n(a) n(b) é composto. (III) Falso. B\A {; 5} não é unitário. QUESTÃO LETRA E Como ƒ( ) ( ) ƒ(), segue que ƒ é ímpar. Além disso, g( ) 0 cos( 5) 0. cos 5 g(), de modo que g é par. Logo, (g º ƒ)( ) g(ƒ( )) g( ƒ()) g(ƒ()) (g º ƒ)() implica que g º ƒ é par.
6 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM 6 QUESTÃO LETRA D Suponha A {,,..., k}. Representando o conjunto S no sistema cartesiano, obtemos um conjunto de pontos de coordenadas inteiras que são interiores a um quadrado de lado k limitados pelas retas y, y 0 e k. Logo, o total de pontos é (k ) k(k ). QUESTÃO LETRA B Devemos encontrar todos os y R tais que a equação ƒ() y tenha solução R. Para isso, a equação do segundo grau em dada por y + y + 0 deve ter solução real. Logo, y 8y 0. Daí, obtemos y 8y y(y 8) y(y )(y + y + ) 0. Como y + y + (y + ) + > 0, a inequação acima equivale a y(y ) 0. Dessa forma, devemos ter 0 y ou y. QUESTÃO 5 LETRA B Da equação inicial, obtemos: + log log + log ( + ) + log + log ( + ) log ( + ) + log + log ( + ) + log. + log Daí, ou + log 0 ou log ( + ). log + log + No primeiro caso, obtemos. 9 No segundo, ficamos com + log log + log ( + ), de onde concluímos que. Porém, este resultado não satisfaz à condição de eistência da equação. Logo, a única solução é /9, que pertence ao intervalo (0; /). QUESTÃO 6 LETRA B Veja que os triângulos ABC e DEC são semelhantes (pois ABC DEC e ACB DCE). Então, a razão entre suas áreas ao quadrado da razão de semelhança. Se [ABDE], então daí, obtemos (/0).
7 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM QUESTÃO LETRA A Denote por S A, S B, S C, T e S as áreas dos triângulos ADF, BED, CFE, DEF e ABC, respectivamente. Dessa forma, podemos escrever S A + S B + S C + T S. Veja que AD AF sena SA AD AF α ( γ). S AB AC sena AB AC Com o mesmo raciocínio, obtemos: T S S S C S S S α ( λ) β ( α) γ ( β) (α + β + γ) + (αβ + βγ + γα). A B S S B S β ( α )e C γ ( β ), e da igualdade T S S S S A S B S C, obtemos Do enunciado, ainda obtemos αβ + βγ + γα [(α + β + γ) (α + β + γ )] Logo, T + 6. S 5 5 QUESTÃO 8 LETRA E Seja AB. Veja que APB PBC PBA. Logo, o triângulo ABP é isósceles e AP. Também, veja que PCB PBC, de modo que ABP ~ PBC. Portanto,
8 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM 8 QUESTÃO 9 LETRA D Veja que α log log(/5) log /5 log /5 /. Logo, 5 α /, de modo que nossa desigualdade resume-se a sen /, daí, devemos ter sen. No intervalo [0; π), o conjunto solução desta inequação é [0, π/6] [ [5π/6, π). QUESTÃO 0 LETRA E Calculando os discriminantes das equações dadas, obtemos a e b a. Daí, a 6b 6a a 6. Logo, a. Também, b a 8b b 8. Logo, b. Portanto, a + b 6. A igualdade ocorre quando a e b. QUESTÕES SUBJETIVAS QUESTÃO Fazendo tg a tg b tg c k, temos: tg a k tg a tg a + k 0 tg b k tg b tg b + k 0 tg c k tg c tg c + k 0 Portanto tg a, tg b, tg c são as raízes da equação: k + k 0 De onde podemos supor tg a, tg b e tg c. Então podemos calcular o valor da epressão (tg a + tg b + tg c) (cotg a + cotg b + cotg c) Usando, as relações de Girard ( + + ) ( + + ) (k) ( ) (tg a + tg b + tg c) (cotg a + cotg b + cotg c) 9 k QUESTÃO Considere a equação cujas raízes são: tan r π, r,,. Para encontrar essa equação, primeiro encontraremos a equação cujas raízes sejam tan r π, onde r,,,, 5, 6. Se tan(θ) 0 θ r π θ r π, r 0,,,,, 5, 6. Temos ainda que: tan(θ) 0 tan θ 5 tan θ + tan 5 θ tan θ 0 Fazendo y tan θ, temos y 6 y + 5y 0 onde as raízes são r π yr tan, r,,,, 5, 6. Fazendo agora y, temos a equação: + 5 0, cujas raízes são: r π tan, r,,.
9 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM 9 Utilizando a identidade: sec θ + tan θ + tan θ, temos n π n π n π sec tan tan + + n n n n π sec n + + ( 5) n π sec n 6 QUESTÃO a) Seja z e, com θ (0, π). Logo, s z z + e + e θ i e (+ e ) θ i (+ e )(+ e ) (e + ) + + θ i (e e ) + cosθ+ isenθ + cosθ senθ + i + cos θ Logo, as partes real e imaginária de s são tais que Re(s) senθ Im(s) > 0, θ (0, π) + cosθ de modo que s B. b) Seja w + ki, com k > 0. Logo, forçando as relações k a b k ( b) b a + b e assim + b k m k (k )(k ) k m (k + ) k + Desprezando a opção b, têm-se para k > 0 que k < b cosθ < + k k 0 < a sen θ + k a senθ z w + ik + i + i + b + cosθ z +
10 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM 0 QUESTÃO A B C Considerando o máimo de segmentos. Total de circunferências: C, C, C, C 5, Como cada dois centros determinam um segmento, temos então como resposta C 05, 090 QUESTÃO 5 ANTES ANTES ATUALMENTE DEPOIS MARIA y 8y 8 ANA y 9 A 6y Usando as variáveis 8, 8y pois são múltiplo dd e de. As diferenças são constantes, assim: 9 y 8y y 9 y 6y 9 0y De onde temos 8 0y Assim Soma das idades A 9 8 8y A + 8 0y,5 A 0y 0y 8y y + 0y 8,5 anos A y y + 5y A y 6,5 anos 8y y 5,5 QUESTÃO 6 Suponha que eista tal função. Então, ƒ deve ser injetiva, pois ƒ() ƒ(y) ƒ(ƒ()) ƒ(ƒ(y)) + y + y. Além disso, para todo Z, temos ƒ( + ) ƒ(ƒ(ƒ())) ƒ() +. Daí, mostramos por indução que ƒ( + n) ƒ() + n, para todo n Z. Assim, fazendo ƒ(0) a e escolhendo n, obtemos ƒ(0) ƒ() a, de modo que ƒ() + a, para todo Z. Agora, ƒ( + a) ƒ(ƒ()) +. Mas, por outro lado, ƒ( + a) ( + a) + a + a. Daí, obtemos + a +, ou ainda, a, o que é um absurdo, já que α Z. Logo, não eiste tal função. QUESTÃO Sejam h e h as distâncias de O aos lados AB e AC, respectivamente. Como os triângulos OAB e OCD são semelhantes, obtemos h a, h h a ou ainda,. Fazendo h b h + h a + b + h h (altura do trapézio), ficamos com: [OAB] (a h)/ a h a. [ABCD] (a + b)h/ a + bh a + b
11 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela DE SETEMBRO Prova de Matemática (IV SIMULADO ITA/00) / o ANO/EM QUESTÃO 8 Seja α ( 8). Veja que Se a ± 8, obtemos Se a ± 8, obtemos Logo, S {, }. ( 8). Logo, a + a a, ou seja, a a + 0. Logo, a ± 8. ( 8) + 8 ( 8). ( 8) 8. Neste caso,. QUESTÃO 9 a) A função ƒ está bem denida se, e somente se, e > 0 e > e > > 0. Logo, o domínio da função e e ƒ é o intervalo (0, + ). b) Fazendo e z, para > 0, obtemos z >. Então, queremos encontrar todos os y reais tais que ln z z y, para algum z >. Como a imagem da função z z, para z >, é o intervalo (0, + ), então a imagem da função z z Inz y z é o intervalo (,+ ), ou seja, Im(ƒ) R. QUESTÃO 0 Sejam AB BC e CD DE y. Se ACE α, observe que BCD 90 o + α. Veja que [ABCDE] [ABC] + [CDE] + [ACE] o o sen50 + y sen0 + AC CE sen α. Agora, observe que nos triângulos ABC, BCD e CDE, pela lei dos cossenos, obtemos: AC + cos 50 o AC CE y + y y cos 0 o CE Logo, AC CE ( + ) ; y( ). y( + )( ) y AC CE y. Portanto, a área de ABCDE é dada por [ABCDE] ( + y + y sen α) (**). Finalmente, no triângulo BCD, temos: + y y cos(90 o + α). Como cos(90 o + α) cos(90 o α) sen α, segue que +y +y sen α, e em (**) ficamos com [ABCDE].
Solução Comentada Prova de Matemática
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