MATEMÁTICA I FUNÇÕES. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

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1 MATEMÁTICA I FUNÇÕES Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br

2 Conteúdo Função Variáveis Traçando Gráficos Domínio e Imagem Família de Funções Funções Polinomiais Funções Exponenciais Funções Logarítmicas Funções Trigonométricas

3 FUNÇÕES Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o termo função para indicar a dependência de uma quantidade em relação a uma outra, conforme a definição a seguir. DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Três maneiras usuais de representar funções são: Numericamente com tabelas Geometricamente com gráficos Algebricamente com fórmulas

4 denotada por ƒ(x) (leia-se ƒ de x ). FUNÇÕES Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas. Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com a matéria seca Tratamento x (adição de nitrogênio no solo) Matéria Seca y Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para a planta que atua no processo do substrato DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é

5 FUNÇÕES - VARIÁVEIS Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada valor de f em x, ou imagem de x por f. Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra, digamos y, e escrevemos y = f(x) A variável x é denominada variável independente ou argumento de f A variável y é denominada variável dependente de f. o Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o valor correspondente de y está determinado.

6 FUNÇÕES - VARIÁVEIS Se f for uma função de uma variável real a valores reais, então o gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o gráfico da equação y = ƒ(x). Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da equação y = x

7 FUNÇÕES - VARIÁVEIS

8 FUNÇÕES - VARIÁVEIS Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre uma função. Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o gráfico da equação y = f(x), os pontos do gráfico são da forma x, f x ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada x correspondente

9 FUNÇÕES - VARIÁVEIS Os valores de x para os quais f(x) = 0 são as coordenadas x dos pontos nos quais o gráfico de f intercepta o eixo x. Esses valores são denominados zeros de f raízes de f(x) = 0 pontos de corte de y = f(x) com o eixo x.

10 FUNÇÕES - VARIÁVEIS

11 FUNÇÕES TRAÇANDO GRÁFICOS

12 FUNÇÕES TRAÇANDO GRÁFICOS O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no Cálculo, assim como na Álgebra e na Trigonometria. As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo x e o eixo y. y x

13 FUNÇÕES TRAÇANDO GRÁFICOS A um par (a, b) de números associamos o ponto P localizado na interseção da reta perpendicular ao eixo x em a e a reta perpendicular ao eixo y em b. Os números a e b são as coordenadas x e y de P. A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).

14 FUNÇÕES TRAÇANDO GRÁFICOS Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados de I a IV, determinados pelos sinais das coordenadas. Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (x, y) tais que x < 0 e y < 0.

15 FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM

16 FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Se x e y estão relacionados pela equação y = f(x), então: o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de x) é denominado domínio de f. o conjunto de todas as saídas (os valores de y) que resultam quando x varia sobre o domínio é denominado imagem de f. Exemplo 1. Se f é a função definida pela tabela ao abaixo, então: o domínio é o conjunto D f ={0, 1, 2, 3} a imagem é o conjunto Im f ={3, 4, 1, 6}.

17 FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem restrições sobre as entradas permissíveis de uma função. Exemplo 2. Se y denota a área de um quadrado de lado x, então essas variáveis estão relacionadas pela equação y = x 2. Embora essa equação produza um único valor de y para cada número real x, o fato de que os comprimentos devem ser números não-negativos impõe a exigência que x 0. D f = x: x 0

18 FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Em alguns casos explicitamos o domínio ao definir uma função. Por exemplo, se f x = x 2 é a área de um quadrado de lado x, então podemos escrever f x = x 2, x 0 para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o conjunto dos números reais não-negativos

19 FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre as entradas permissíveis. Exemplo 3. se y = 1, então x = 0 não é uma entrada válida, pois x divisão por zero não está definida. D f = x: x 0 se y = x, então valores negativos de x não são entradas válidas, pois produzem valores imaginários de y. D f = x: x 0

20 FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM O domínio e a imagem de uma função f podem ser identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os eixos coordenados

21 FAMÍLIA DE FUNÇÕES As funções são, frequentemente, agrupadas em famílias de acordo com a forma das fórmulas que as definem ou outras características comuns.

22 FUNÇÕES FAMÍLIA DE CURVAS O gráfico de uma função constante f(x) = c é o gráfico da equação y = c, que é a reta horizontal. Se variarmos c, obteremos um conjunto ou uma família de retas horizontais.

23 FUNÇÃO LINEAR Uma função linear é uma função do tipo f x = mx + b, sendo m e b constantes reais O gráfico de f x é uma reta de inclinação m e, como f 0 = b, o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, b). Usamos os símbolos Δx e Δy para denotar a variação (ou incremento) em x e y = f x ao longo do intervalo x 1, x 2.

24 FUNÇÃO LINEAR Uma função linear se caracteriza por representar um crescimento ou decrescimento constantes. Assim, qualquer mudança na variável independente causa uma mudança proporcional na variável dependente.

25 FUNÇÃO LINEAR Dada uma função linear f x = mx + b, se m > 0, o gráfico será inclinado para a direita, ou seja, será uma função crescente; y f x x se m < 0, o gráfico será inclinado para a y esquerda, ou seja, será uma função decrescente; f x x se m = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja, será uma função constante; y f x x

26 Observações FUNÇÃO LINEAR Se mantivermos b fixo e tratarmos m como um parâmetro, obteremos uma família de retas cujos membros têm, todos, o mesmo corte em b com o eixo y. Se mantivermos m fixo e tratarmos b como um parâmetro, obteremos uma família de retas paralelas cujos membros têm, todos, a mesma declividade m.

27 OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS FUNÇÕES LINEARES Não confunda m com θ: Considere o gráfico abaixo: O ângulo θ é formado pela reta r e pelo ponto P. y Q r Esse ângulo θ é a inclinação da reta tangente e é o valor do seu P θ x coeficiente angular. Assim, m = tg θ Exemplo. Se θ = 60 então o coeficiente angular da reta é: m = tg 60 = 3

28 FUNÇÕES QUADRÁTICAS

29 FUNÇÃO QUADRÁTICA Uma função quadrática é uma função definida por um polinômio quadrático f x = ax 2 + bx + c sendo a, b e c constantes, com a 0. O gráfico de f x é uma parábola A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante a for positivo a > 0. A parábola tem concavidade para baixo se a for negativo a < 0. O discriminante de f x é a quantidade Δ = b 2 4ac

30 FUNÇÃO QUADRÁTICA Se f x = ax 2 + bx + c, as raízes de f x são dadas pela fórmula quadrática ou de Bhaskara. b ± 2a Δ O sinal de Δ determina se f x tem ou não tem raízes reais a > 0 e Δ > 0 a > 0 e Δ = 0 a > 0 e Δ < 0 a < 0 e Δ > 0

31 FUNÇÃO QUADRÁTICA Quando f x tem duas raízes reais e r 1 e r 2, então f x pode ser fatorado como f x = a x r 1 x r 2 Exemplo 4. Escreva a função abaixo na forma fatorada. f x = 2x 2 3x + 1 Solução. Uma vez que f x = tem a = 2, b = 3 e c = 1, seu discriminante é: Δ = b 2 4ac = = 9 8 = 1 > 0 pela fórmula quadrática, suas raízes são raízes de f x = b ± Δ = 3 ± 1 2a 2 2 = 3 ± 1 4 assim, r 1 = = 4 4 = 1 e r 2 = = 2 4 = 1 2 Portanto f x = 2x 2 3x + 1 = 2 x 1 x 1 2

32 FUNÇÕES POLINOMIAIS

33 FUNÇÕES POLINOMIAIS Para todo número real n, a função f x = x n é denominada função potência de expoente n. Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência de expoentes naturais. Exemplo: f x = x 5 5x 3 + 4x OBS.: A função f x função potência x 1 de expoente negativo. Gráfico da função f x = x 5 5x 3 + 4x = x + x 1 não é um polinômio, pois inclui uma

34 FUNÇÕES POLINOMIAIS O polinômio geral na variável x pode ser escrito P x = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e é denominado função polinomial de grau n. Os números a 0, a 1,, a n 1, a n são denominados coeficientes. O grau de P x é n (supondo que a n 0). O coeficiente a n é denominado coeficiente dominante. O domínio de P x é R.

35 FUNÇÕES POLINOMIAIS Note que: A função f x = mx + b é uma função polinomial de grau 1, sendo: a 1 = m 0 e a 0 = b, com m e b constantes. A função f x = ax 2 + bx + c é uma função polinomial de grau 2, sendo: a 2 = a 0, a 1 = b e a 0 = c, com a, b e c constantes.

36 FUNÇÕES EXPONENCIAIS

37 FUNÇÕES EXPONENCIAIS A função f x = b x onde b > 0, é denominada função exponencial de base b. Alguns exemplos são A função f x = b x é crescente se b > 1 e decrescente se b <

38 FUNÇÕES EXPONENCIAIS

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40 FUNÇÕES LOGARITMICAS

41 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Considere a > 0 e a 0, assim a função logarítmica com base a é: denotada por f x = log a x ou y = log a x a relação inversa da função exponencial a y = x Os gráficos de y = log a x quando variamos os valores da base a > 1 são: Note que sempre que x = 1 log a x = 0, assim o gráfico de todas as funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0.

42 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Propriedades. Se x e y forem números positivos, então: Exemplo 5. Calcule log 2 80 log 2 5

43 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases a para os logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é e. O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma notação especial: log e x = ln x Propriedades 1) ln x = y e y = x 2) ln e x = x, para todo x R 3) e ln x = x, para todo x > 0 4) ln e = 1 5) Para todo número positivo a 1, log a x = ln x ln a

44 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

45 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois sistemas de medição de ângulos: radianos e graus. Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre ângulos e rotação. Utilizamos a letra grega minúscula teta (θ), para denotar ângulos e rotação.

46 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Cada ângulo tem uma medida em radianos única satisfazendo 0 θ 2π. Com essa escolha, o ângulo θ subentende um arco de comprimento θ r num círculo de raio r.

47 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Para converter: Radianos em graus: multiplique por 180 Graus em radianos: multiplique por π Exemplo 6. Converta: (a) 55 o em radianos. π 180 Radianos Graus 0 0 o π 30 o 6 π 45 o 4 π 60 o 3 π 90 o 2 Solução: 55 o π 180 (b) 0,5 rad em graus. 0,9599 rad Solução: 0,5 rad 180 π 28,648o

48 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As funções trigonométricas sen θ e cos θ são definidas em termos de triângulos retângulos. Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e denotemos os lados então

49 Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo θ FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS então cos θ = coordenada x de P sen θ = coordenada y de P Note que:

50 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos θ e sen θ. Tabulando esses dados, temos que:

51 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Seno: f θ = sen θ O gráfico de y = sen θ é gerado quando o ponto percorre o círculo unitário. O gráfico de y = sen θ é a conhecida onda senoidal ou, simplesmente, senóide

52 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Cosseno: f θ = cos θ O gráfico de y = cos θ tem o mesmo formato do gráfico da seno, mas é transladado π 2 unidades para a esquerda. Os sinais de sen θ e cos θ variam quando o ponto P = (cos θ, sen θ ) do círculo unitário muda de quadrante

53 Função Periódica FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Uma função f x é dita periódica de período T se f x + T = f x (para cada x) e T é o menor número positivo com essa propriedade. As funções seno e cosseno são periódicas com período T = 2π Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de 2πk correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário

54 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

55 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

56 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Identidades Trigonométricas

57 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

58 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS