FUNÇÕES(1) FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

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1 FUNÇÕES(1) FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU 1. (Uece 015) Se a função real de variável real, definida por f(1) =, f() = 5 e f(3) =, então o valor de f() é a). b) 1. c) 1. d). f(x) = ax + bx + c, é tal que. (Unisc 015) Sejam as funções definidas por y = x + 5 e y = x 3x + 6. A respeito da representação gráfica destas funções no sistema cartesiano podemos afirmar que a) se interceptam em um único ponto localizado no 1º quadrante. b) se interceptam em um único ponto localizado no º quadrante. c) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e º quadrantes. d) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e º quadrantes. e) Não se interceptam. 3. (Uea 01) A figura mostra um quadrado de lado igual a 10 m. A região assinalada é constituída de dois quadrados que não se intersecionam e cujos lados medem x metros. A área da região não assinalada pode ser obtida pela lei A = 100 x. Desse modo, quando x assumir o maior valor inteiro permitido, a área da região não assinalada será igual, em metros quadrados, a a) 8. b) 36. c) 8. d) 68. e) 6.. (Unifor 01) Na figura abaixo, temos a representação geométrica do gráfico de uma parábola, cuja equação é y = ax + bx + c.

2 Para esta parábola representada no gráfico abaixo, os sinais dos produtos a b, a c e b c são, respectivamente a) negativo, negativo e positivo. b) negativo, positivo e negativo. c) negativo, negativo e negativo. d) positivo, positivo e positivo. e) positivo, negativo e negativo. 5. (Ufrgs 013) Dada a função f, definida por ( ) f x = x + 9 6x, o número de valores de x que satisfazem a igualdade f ( x) = f ( x) é a) 0. b) 1. c). d) 3. e). 6. (Pucrj 013) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = + x e g(x) = + x. Os valores de x tais que f(x) = g(x) são: a) x = 0 ou x = 1 b) x = 0 ou x = c) x = 0 ou x = 1 d) x = ou x = 1 e) x = 0 ou x = 1/ 7. (Uern 013) Sejam as funções f(x) = x 3 e g(x) = x x +. Para qual valor de x tem f(g(x)) = g(f(x))? a) b) 3 c) d) 5 8. (Ufrgs 01) Considere as funções f e g tais que f(x) = x x 1 e g(x) = 3 x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) é a). b). c) 0. d) 3. e). 9. (Uern 01) Seja uma função do º grau y = ax + bx + c, cujo gráfico está representado a seguir.

3 A soma dos coeficientes dessa função é a). b) 3. c). d) (Uepb 013) Dada a) 56 b) 85 c) 9 d) 9 e) 85 f(x) = x + x + 5, o valor de f(f( 1)) é: 11. (Espcex(Aman) 01) O domínio da função real f ( x) a) ], [ b) ], 6 [ c) ], 6 ] d) ], ] e) ], [ x = x 8x + 1 é 1. (G1- ifce 011) Sabendo-se que a expressão ax + bx + c, onde a, b e c são números reais, é positiva, para qualquer x real, é correto afirmar-se que a) a > 0 e b > ac. b) a > 0 e b < ac. c) a < 0 e b > ac. d) a < 0 e b < ac. e) a < 0 e b ac. 13. (Ufjf 011) Seja f : R R uma função dada por f(x) = µ x + 10x + 5, onde µ 0. Sabendo que f(x) > 0 para todo x R, é correto afirmar que µ pertence ao intervalo: a) ] 0, + [ b) ] 5, + [ c) ] 0,10 [ d) ], 0[ e) ], 0[ ] 0, + [

4 1. (Uerj 015) Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo. Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y = P A indica o valor da diferença entre os números P e A. O maior valor de Y é igual a: a) 3 b) 3 3 c) 3 d) (Upe 015) Se escrevermos a função quadrática f(x) = a (x m) + n, o valor de a + m + n é igual a f(x) = x x + 3 na forma a) 19 b) 7 c) 1 8 d) 33 8 e) (Fgv 015) Seja f : R R, tal que f(x) = x + bx +, com b sendo uma constante real positiva. Sabendo que a abscissa do ponto de mínimo do gráfico dessa função é igual a ordenada desse ponto, então, b é igual a a) 11 b) 5 c) 9 d) e) (G1- cftmg 01) Sobre a função real f(x) = ( k ) x + x 5 assinale (V) para as afirmativas verdadeiras ou (F) para as falsas. ( ) O gráfico de f(x) é uma parábola para todo k R ; ( ) Se k = 1, então f(x) é negativa para todo x R ; ( ) Se k >, então f(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima; ( ) Se k = 3, então f( 5) = 1. A sequência correta encontrada é a) V F F F. b) F V F V.

5 c) V F V V. d) F V V F. 18. (Ucs 01) O lucro obtido por um distribuidor com a venda de caixas de determinada mercadoria é 6 0,01 dado pela expressão L(x) = x x 0,6x, 5 5 em que x denota o número de caixas vendidas. Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o lucro seja máximo? a) 60 b) 10 c) 150 d) 600 e) (Ibmecrj 013) O gráfico da função quadrática definida por ( ) f x = x + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é a) 7/8 b) 7/16 c) 7/3 d) 7/6 e) 7/18 0. (Fgv 011) O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes características: O vértice é o ponto (,-1). Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0). O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é: a) (0,1) b) (0,15) c) (0,16) d) (0,17) e) (0,18) 1. (Unb 011) Em 177, o matemático Euler observou que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x + x + 1, obtém-se uma lista de 0 números primos. No plano de coordenadas cartesianas xoy, considerando y = g(x) = x + x + 1, conclui-se que os pares (N, g(n)), para 0 N 39, pertencem a uma parábola que a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto. b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39]. c) intercepta o eixo das abscissas em dois números primos. d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler. 1.[B] RESPOSTAS E SOLUÇÕES Desde que f(1) =, f() = 5 e f(3) =, vem

6 a + b + c = c = a b a + b + c = 5 a + b + c = 5 9a 3b c + + = 9a + 3b + c = c = a b 3a + b = 3 a + b = 1 a = b = 9. c = 5 Portanto, temos f(x) = x + 9x 5 e, assim, f() = = 1..[A] Vamos supor que o domínio das funções seja o conjunto dos números reais. As abscissas dos pontos de interseção das curvas y = x + 5 e y = x 3x + 6 são as raízes da equação x 3x + 6 = x + 5, ou seja, x = 1. Daí, como a imagem de x = 1 é y = 1+ 5 =, segue-se que as curvas se intersectam em um único ponto, localizado no primeiro quadrante. 3. [D] O maior valor inteiro para o lado do quadrado, de acordo com as condições acima, é m. Portanto, a área da região não assinalada é: A = 100 = 68m..[D] Como a parábola tem concavidade para baixo e intersecta o eixo das ordenadas em um ponto de ordenada negativa, temos a < 0 e c < 0. Além disso, a abscissa do vértice também é negativa. Daí, só pode ser b < 0. Em consequência, a b > 0, a c > 0 e b c > 0. 5.[B] Temos f(x) = f(x) f(x) = 0 (x 3) = 0 x = 3. Portanto, x = 3 é o único valor de x para o qual se tem f(x) = f(x). 6.[C] Os valores de x para os quais f(x) = g(x) são tais que

7 7.[B] + x = + x x x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 ou x = 1. Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f : R R e g : R R. Além disso, por exemplo, a função g f está definida apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g. Desse modo, o valor de x para o qual se tem f(g(x)) = g(f(x)) é x x + 3 = (x 3) (x 3) + x x 3 = x 6x + 9 x [C] f(x) = g(x) x + x 1 = 3 x x + 6x = 0 6x = x = 3. x 1 = 1 e x =. Portanto: f(1) + f() = (1) + (1) 1 + () + () 1 = 0. 9.[C] Do gráfico, temos que os zeros da função quadrática são e 5. Logo, a lei da função é dada por y = a (x ) (x 5), com a R. Então, como a parábola intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 10), segue que 10 = a (0 ) (0 5) a = 1. Portanto, y = (x ) (x 5) e a soma pedida é igual a (1 ) (1 5) =. 10.[D] Como f( 1) = ( 1) + ( 1) + 5 =, segue que f(f( 1)) = f() = = [E] Os valores de x para os quais f está definida são tais que x 0 x e e x < x 8x x e x 6 Portanto, o domínio de f é D = ], [.

8 1.[B] Se ax + bx + c > 0 para qualquer x real, então devemos ter b ac < 0 b < ac e a > [B] A função f é estritamente positiva para todo x real se < 0 10 µ 5 < 0 µ > 5. Portanto, µ pertence ao intervalo ]5, + [. 1.[B] Seja l a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que Y = P A l = 3l 3 3 = 3 3 ( l 3). Portanto, para l = 3, Y atinge o seu maior valor, ou seja, [C] Tem-se que f(x) = x x + 3 x = x = x = x Por conseguinte, vem a + m + n = + + = [B] Escrevendo a lei de f na forma canônica, obtemos b 15 b f(x) = x + +. Portanto, sendo b > 0, vem b 15 b = b b 15 = 0 b = 5.

9 17.[D] O gráfico de f não é uma parábola para k =. De fato, para k = tem-se f(x) = x 5, cujo gráfico é uma reta. Se k = 1, então f(x) = x + x 5 = (x ) 1. Portanto, f(x) < 0 para todo x real. Se k >, então o coeficiente dominante de f é positivo e, por conseguinte, o gráfico de f é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Se k = 3, então f( 5) = ( 5) + ( 5) 5 = [C] Reescrevendo a lei de L, obtemos 1 3 L(x) = x + x Portanto, o resultado pedido é igual a 3 5 = [E] 1 Os zeros da função f são x1 = 1 e x =. O vértice do gráfico de f é o ponto 5 9 V, Portanto, a área do triângulo AVB é dada por = [B] Seja f : R R a função quadrática definida por f(x) = a(x p) + q, em que (p, q) é o vértice do gráfico de f. Logo, f(5) = a(5 ) + ( 1) 0 = a 1 a = 1. Assim, como (p, q) = (, 1), segue que f(x) = (x ) 1. O ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é dado por:

10 f(0) = (0 ) 1= 16 1= 15 (0, 15). 1.[B] Escrevendo a função g na forma canônica, obtemos: g(x) = x + x = x = x +. 1 Assim, para N = x > a função g é crescente e, portanto, g é crescente para N [0, 39].