Função do 2º Grau Nível Básico

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1 Função do º Grau 016 Nível Básico 1. (G1 - cftmg 016) Dadas as funções reais f e g, definidas por correto afirmar que 1 a) f(x) g 0, 4 para todo x. b) f(x) 0, para todo x. f(x) 3x e g(x) 4x 1, é c) f(x) g(x), para 1 x 1. 3 d) f(x) g(x) 0, para todo x 0.. (Uemg 016) O lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L R C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma fábrica de tratores produziu n unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função C(n) n 1000n e a receita representada por R(n) 5000n n. Com base nas informações acima, a quantidade n de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo corresponde a um número do intervalo a) 580 n 70 b) 860 n 940 c) 980 n 1300 d) 1350 n (Pucpr 016) Um terreno tem a forma de um trapezoidal retangular, como mostra a figura abaixo. Sabendo que a altura desse trapézio mede x e que as bases medem 0 m e 44 4x. O valor de x, para que esse terreno tenha área máxima, é: a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 7 m. Página 1 de 15

2 4. (Efomm 016) De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L R C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria produziu x peças e verificou que o custo de produção era dado pela função C(x) x 500x 100 e a receita representada por R(x) 000x x. Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. a) 65 b) c) 1000 d) 50 e) (Uece 016) No sistema de coordenadas cartesianas usual, o gráfico da função f :, f(x) x 8x 6 é uma parábola cujo vértice é o ponto M. Se P e Q são as interseções desta parábola com o eixo das abscissas, então, a medida da área do triângulo MPQ, em u.a. (unidade de área), é igual a a) 1,5. b),0. c),5. d) 3, (Ucs 016) Dada a função f definida por f(x) x 4x 40, analise as proposições a seguir, quanto à sua veracidade (V) ou falsidade (F). ( ) A função é decrescente em todo o seu domínio. ( ) A função tem um máximo que ocorre em x 4 e é igual a 48. ( ) A função não tem zeros reais. Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente os parênteses, de cima para baixo. a) V V F b) V F V c) F V V d) V F F e) F V F 7. (G1 - cftmg 016) O saldo S de uma empresa A é calculado em função do tempo t, em meses, pela equação S(t) 3 t 39t 66. Considerando essa função, o saldo da empresa é negativo entre o a) º e o 11º mês. b) 4º e o 16º mês. c) 1º e 4º e entre o 5º do 16º mês. d) º e 5º e entre o 7º do 14º mês. 8. (Ufjf-pism 1 016) Uma função quadrática f(x) ax bx c assume valor máximo igual a, em x 3. Sabendo-se que 0 é raiz da função f, então f(5) é igual a: a) b) 0 c) 1 d) e) Página de 15

3 9. (Pucrs 016) Sejam a e b dois números reais positivos, com a b, e p(x) mx nx q, m 0. Se p(a) 0 e p(b) 0, então podemos afirmar que o número a) positivo b) negativo c) zero a d) igual a p b e) Igual a p a b p é 10. (Fepar 016) O número de atendimentos N(d) num pronto-socorro, num dia d da semana, é dado pela função N(d) d 16d 14, conforme o gráfico a seguir. (Considere 0 d 7) Analise os dados e avalie as afirmativas. ( ) No segundo dia da semana não houve nenhum atendimento. ( ) O maior número de atendimentos ocorreu no quarto dia da semana. ( ) O maior número de atendimentos num dia foi 1. ( ) Em dois dias da semana não ocorreram quaisquer atendimentos. ( ) A frequência de atendimento foi maior nos fins de semana. 11. (Unifesp 015) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) 0,05t t 5. Nessa função, considera-se t 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira. a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez? b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose? 1. (Upe 015) Se escrevermos a função quadrática f(x) a (x m) n, o valor de a m n é igual a a) 19 4 b) 7 4 c) 41 8 d) 33 8 f(x) x x 3 na forma e) Página 3 de 15

4 13. (Uepa 015) Leia o texto para responder à questão. A utilização de computadores como ferramentas auxiliares na produção de conhecimento escolar tem sido uma realidade em muitas escolas brasileiras. O GeoGebra é um software educacional utilizado no ensino de Matemática (geometria dinâmica). Na ilustração acima se tem a representação dos gráficos de duas funções reais a valores reais, definidas por g(x) x x e f(x) x 5. Fonte: Nestas condições, a soma das ordenadas dos pontos de interseção dos gráficos que representam as duas funções polinomiais acima ilustradas é: a) b) 5 c) 7 d) 11 e) (Unisc 015) Sejam as funções definidas por y x 5 e y x 3x 6. A respeito da representação gráfica destas funções no sistema cartesiano podemos afirmar que a) se interceptam em um único ponto localizado no 1º quadrante. b) se interceptam em um único ponto localizado no 4º quadrante. c) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e 4º quadrantes. d) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e º quadrantes. e) Não se interceptam. Página 4 de 15

5 15. (Enem 015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) h h 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Intervalos de temperatura ( C) Classificação T 0 Muito baixa 0 T 17 Baixa 17 T 30 Média 30 T 43 Alta T 43 Muito alta Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como a) muito baixa. b) baixa. c) média. d) alta. e) muito alta. 16. (Fgv 015) Seja f : 15, tal que f(x) x bx, com b sendo uma constante real 4 positiva. Sabendo que a abscissa do ponto de mínimo do gráfico dessa função é igual a ordenada desse ponto, então, b é igual a a) 11 b) 5 c) 9 d) 4 e) (Uece 015) Se a função real de variável real, definida por f(1), f() 5 e f(3) 4, então o valor de f(4) é a). b) 1. c) 1. d). f(x) ax bx c, é tal que 18. (Uerj 015) Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo. Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y P A indica o valor da diferença entre os números P e A. O maior valor de Y é igual a: a) 3 b) 3 3 c) 4 3 d) Página 5 de 15

6 19. (Insper 015) O número n de pessoas presentes em uma festa varia ao longo do tempo t de duração da festa, em horas, conforme mostra o gráfico a seguir. Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a função n(t) é a) n(t) 10t 4t 50. b) n(t) 10t 40t 50. c) n(t) 10t 4t. d) n(t) t 40t. e) n(t) 10t 40t. 0. (Ufsc 015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar que: 01) A probabilidade de as duas seleções sul-americanas, apresentadas nas tabelas abaixo, terem se classificado em primeiro lugar nos seus grupos na Copa do Mundo de 014 é de 50%. 0) A cartomante, conto que compõe o livro Várias histórias, de Machado de Assis, retrata um tema clássico das obras do autor: o adultério. Rita, que é casada com Vilela, mantém um caso com Camilo, amigo do marido traído. Curiosamente o nome da traidora, RITA, permite formar o anagrama TRAI. Além desses dois anagramas, o nome da personagem permite formar exatamente mais anagramas. 04) Na Copa de 1970, Pelé quase marcou um gol antológico contra a Tchecoslováquia; do ponto inicial até o gol, a bola cruzou 60 metros de distância em um chute que chegou a 105 km / h. Pelé estava com a bola em seu campo, ainda dentro do círculo central, quando percebeu o goleiro adiantado e chutou. A bola passou rente à trave esquerda e mesmo sem entrar ficou na história das Copas. Um artilheiro localizado em um ponto diretamente alinhado com o centro do gol, a uma distância de 0 m, tenta encobrir um goleiro de m de altura que está adiantado m em relação ao centro da linha do gol. Sabe-se ainda que o artilheiro, o goleiro, o centro do gol e o centro do campo estão posicionados em linha reta. A bola descreve uma trajetória parabólica que está contida num plano perpendicular ao solo e alcança 5m no ponto máximo, no meio do caminho entre o jogador e a linha do gol. Nessa situação, a bola deverá encobrir o goleiro e será GOL! Página 6 de 15

7 08) O Maracanã, que já foi considerado o maior estádio do mundo, com seu campo de jogo medindo 110 m de comprimento por 75 m de largura, teve que se adaptar para a Copa de 014. O campo de jogo foi reduzido, medida esta determinada pela FIFA, que padroniza as dimensões dos gramados para o Mundial em 105 m por 68 m. Portanto, houve uma redução na área do campo de jogo de aproximadamente 13,45%. 16) Os 3 países participantes da Copa de 014 tinham grandes disparidades na economia e no clima. Segundo o Banco Mundial, os Estados Unidos possuem o maior PIB (Produto Interno Bruto), US$ 16,8 trilhões, enquanto que a Bósnia-Herzegóvina tem o menor PIB, US$ 17,8 bilhões. Com base nestes dados, é possível afirmar que o PIB da Bósnia- Herzegóvina representa aproximadamente 1,05% do PIB dos Estados Unidos. 1. (G1 - cftmg 014) Sobre a função real f(x) k x 4x 5 assinale (V) para as afirmativas verdadeiras ou (F) para as falsas. ( ) O gráfico de f(x) é uma parábola para todo k ; ( ) Se k 1, então f(x) é negativa para todo x ; ( ) Se k, então f(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima; ( ) Se k 3, então f( 5) 1. A sequência correta encontrada é a) V F F F. b) F V F V. c) V F V V. d) F V V F.. (Uea 014) A figura mostra um quadrado de lado igual a 10 m. A região assinalada é constituída de dois quadrados que não se intersecionam e cujos lados medem x metros. A área da região não assinalada pode ser obtida pela lei A 100 x. Desse modo, quando x assumir o maior valor inteiro permitido, a área da região não assinalada será igual, em metros quadrados, a a) 84. b) 36. c) 48. d) 68. e) Página 7 de 15

8 3. (Ucs 014) O lucro obtido por um distribuidor com a venda de caixas de determinada 6 0,01 mercadoria é dado pela expressão L(x) x x 0,6x, 5 5 em que x denota o número de caixas vendidas. Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o lucro seja máximo? a) 60 b) 10 c) 150 d) 600 e) (Upe 014) A empresa SKY transporta 400 passageiros por mês da cidade de Acrolândia a Bienvenuto. A passagem custa 0 reais, e a empresa deseja aumentar o seu preço. No entanto, o departamento de pesquisa estima que, a cada 1 real de aumento no preço da passagem, 0 passageiros deixarão de viajar pela empresa. Nesse caso, qual é o preço da passagem, em reais, que vai maximizar o faturamento da SKY? a) 75 b) 70 c) 60 d) 55 e) (Fgv 014) Um restaurante francês oferece um prato sofisticado ao preço de p reais por unidade. A quantidade mensal x de pratos que é vendida relaciona-se com o preço cobrado através da função p 0,4x 00. Sejam k 1 e k os números de pratos vendidos mensalmente, para os quais a receita é igual a R$1.000,00. O valor de k1 k é: a) 450 b) 500 c) 550 d) 600 e) (Unifor 014) Na figura abaixo, temos a representação geométrica do gráfico de uma parábola, cuja equação é y ax bx c. Para esta parábola representada no gráfico abaixo, os sinais dos produtos a b, a c e b c são, respectivamente a) negativo, negativo e positivo. b) negativo, positivo e negativo. c) negativo, negativo e negativo. d) positivo, positivo e positivo. e) positivo, negativo e negativo. Página 8 de 15

9 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] 1 [A] Verdadeira. De fato, pois g 0. 4 [B] Falsa. Tem-se que f(0) [C] Falsa. Basta tomar x, pois f e g [D] Falsa. Considere x. Temos f 0 e g Resposta da questão : [C] Tem-se que L 5000n n (n 1000n) (n 1000). Portanto, deverão ser produzidas peças para que o lucro seja máximo. Resposta da questão 3: ANULADA Questão anulada no gabarito oficial. Tem-se que a área A(x) do terreno é dada por x A(x) x x 3x. Portanto, o valor de x que maximiza a área é 3 8 m. ( ) Resposta da questão 4: [A] De acordo com as informações, temos: L(x) 000x x (x 500x 100) x 500x 100. Por conseguinte, o lucro é máximo quando 500 x 65. ( ) Página 9 de 15

10 Resposta da questão 5: [B] Tem-se que f(x) x 8x 6 (x 1)(x 3) (x ). Daí, como yv, vem M (, ), P (1, 0) e Q (3, 0). Portanto, segue que a resposta é 1 (MPQ) (xq x P ) y M 1 (3 1) u.a. Resposta da questão 6: [E] Supondo que o domínio de f seja o conjunto dos números reais, e sendo o coeficiente dominante negativo, tem-se que f é crescente no intervalo ], x v] ], 4]. A função f possui valor máximo igual a 1 f(x v ) f(4) Sendo o discriminante da lei de f igual a 96, podemos concluir que f possui dois zeros reais e distintos. Observação: Para que uma função esteja bem definida, devem ser conhecidos o seu domínio, o contradomínio e a lei de associação. Resposta da questão 7: [A] Tem-se que S(t) 3 t 39t 66 3(t )(t 11). Portanto, S(t) 0 para todo t ],11[. Resposta da questão 8: [D] A forma canônica de f é gráfico de f. Logo, temos 10 f(5) (5 3). 9 9 Resposta da questão 9: [B] f(x) a (x k) m, com (k, m) sendo as coordenadas do vértice do 0 a (0 3), implicando em a. Portanto, a resposta é 9 Se p(a) p(b) 0, então a e b são raízes de p. Ademais, sendo m 0, tem-se que a concavidade do gráfico de p é voltada para cima. Portanto, como a b vértice do gráfico de p, segue que p 0. a b x é a abscissa do Página 10 de 15

11 Resposta da questão 10: F V F V F. Vamos supor que N: {d 1 d 7}, sendo d 1 o primeiro dia, d o segundo dia, e assim por diante, até d 7, o último dia. No segundo dia da semana houve 10 atendimentos, pois N() O maior número de atendimentos ocorreu no quarto dia da semana, pois 16 dy 4. ( ) O maior número de atendimentos num dia foi 18, pois N(4) Nos dias d 1 e d 7 não ocorreram quaisquer atendimentos, pois N(1) N(7) 0. Não foi informado quais são os dias que correspondem ao final de semana. Resposta da questão 11: a) Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem C(t) 40. Assim, temos 0,05t t 5 40 (t 0) 100 t 10 h ou t 30 h. A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez às h da segunda-feira. b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo após 0 horas. Portanto, o médico deverá prescrever a segunda dose para as ( 0,05) 0 (4 11) 7 horas da terça-feira. Resposta da questão 1: [C] Tem-se que f(x) x x 3 x x x x. 4 8 Por conseguinte, vem a m n Página 11 de 15

12 Resposta da questão 13: [E] As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g correspondem às raízes da equação f(x) g(x). Logo, temos x x x 5 x x 3 0 x 1 ou x 3. Portanto, a resposta é f( 1) f(3) Resposta da questão 14: [A] Vamos supor que o domínio das funções seja o conjunto dos números reais. As abscissas dos pontos de interseção das curvas y x 5 e y x 3x 6 são as raízes da equação x 3x 6 x 5, ou seja, x 1. Daí, como a imagem de x 1 é y 1 5 4, segue-se que as curvas se intersectam em um único ponto, localizado no primeiro quadrante. Resposta da questão 15: [D] Escrevendo a lei de T na forma canônica, vem T(h) h h 85 (h h 85) [(h 11) 36] 36 (h 11). Assim, a temperatura máxima é 36 C, ocorrendo às 11 horas. Tal temperatura, segundo a tabela, é classificada como alta. Resposta da questão 16: [B] Escrevendo a lei de f na forma canônica, obtemos b 15 b f(x) x. 4 Portanto, sendo b 0, vem b 15 b b b 15 0 b Página 1 de 15

13 Resposta da questão 17: [B] Desde que f(1), f() 5 e f(3) 4, vem a b c c a b 4a b c 5 4a b c 5 9a 3b c 4 9a 3b c 4 c a b 3a b 3 4a b 1 a b 9. c 5 Portanto, temos Resposta da questão 18: [B] f(x) x 9x 5 e, assim, f(4) Seja a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que Y P A ( 3). 4 Portanto, para 3, Y atinge o seu maior valor, ou seja, 3 3. Resposta da questão 19: [E] Seja n: a função dada por n(t) a (t t 1) (t t ), com t 1 e t sendo os zeros da função n. Logo, sabendo que t 1 0, t 4 e (, 40) pertence ao gráfico de n, vem 40 a ( 0)( 4) a 10. Portanto, a lei de n é n(t) 10 (t 0)(t 4) 10t 40t. Resposta da questão 0: = 10. [01] Incorreta. A probabilidade é 1 100% 6,5%. 4 [0] Correta. O número total de anagramas é P4 4! 4. Descontando-se os dois mencionados, tem-se 4 anagramas. [04] Incorreta. Adotando, convenientemente, um sistema de eixos cartesianos com origem situada na posição em que se encontra o jogador, temos a função h :, dada por Página 13 de 15

14 h(x) ax(x 0), com h(x) sendo a altura da bola para um deslocamento horizontal de x metros em relação à origem. Sabendo que h(10) 5, vem 1 5 a 10 (10 0) a. 0 Logo, tem-se 1 h(x) x(x 0). 0 Para que a bola possa encobrir o goleiro, é necessário que h(18) m. Contudo, segue que 1 h(18) 18 (18 0) 1,8 m. 0 [08] Correta. Antes da redução a área do campo de jogo era m. Após a redução, passou a ser m. Portanto, a variação percentual da área do campo de jogo foi de % 13,45%. 850 [16] Incorreta. O PIB da Bósnia-Herzegóvina representa, aproximadamente, 9 17, % 0,11% 1 16,8 10 do PIB dos Estados Unidos. Resposta da questão 1: [D] O gráfico de f não é uma parábola para k. De fato, para k tem-se f(x) 4x 5, cujo gráfico é uma reta. Se k 1, então f(x) x 4x 5 (x ) 1. Portanto, f(x) 0 para todo x real. Se k, então o coeficiente dominante de f é positivo e, por conseguinte, o gráfico de f é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Se k 3, então Resposta da questão : [D] f( 5) ( 5) 4 ( 5) 5 0. O maior valor inteiro para o lado do quadrado, de acordo com as condições acima, é 4m. Portanto, a área da região não assinalada é: A m. Página 14 de 15

15 Resposta da questão 3: [C] Reescrevendo a lei de L, obtemos 1 3 L(x) x x Portanto, o resultado pedido é igual a Resposta da questão 4: [B] Seja n o número de aumentos de 1 real no preço da passagem. Logo, se f é o faturamento da empresa, então f (n 0)(400 0n) 0(n 0)(n 10). Donde podemos concluir que o número de aumentos de 1 real que maximiza f é Portanto, o resultado pedido é 0 50 R$ 70,00. Resposta da questão 5: [B] Desde que p 0,4x 00, temos p x 1000 ( 0,4x 00) x 1000 x 500x Portanto, pelas Relações de Girard, segue-se que k1k 500. Resposta da questão 6: [D] Como a parábola tem concavidade para baixo e intersecta o eixo das ordenadas em um ponto de ordenada negativa, temos a 0 e c 0. Além disso, a abscissa do vértice também é negativa. Daí, só pode ser b 0. Em consequência, a b 0, a c 0 e bc 0. Página 15 de 15