FUNÇÕES QUADRÁTICAS. Mottola. 1) A lei da função do gráfico é 3/2 3

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1 FUNÇÕES QUADRÁTICAS 1) A lei da função do gráfico é y 3/ 3 9 (a) y = (b) y = (c) y = (d) y = (e) y = ) O vértice da parábola y = + b + 6 está no ponto (, k). O valor de k é (a) 1 (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 3) (UFES) O vértice da parábola de equação y = t será um ponto do eio das abscissas se o valor de t for igual a (a) (b) 1 (c) -1 (d) - (e) -3 4) A imagem da função f definida por f ( ) p Então p é igual a (a) -6 (b) -1 (c) 1 (d) 4 (e) 5 é (-, 6]. 1

2 5) Quanto a uma função quadrática definida por y = a + b + c, podemos afirmar que (a) poderá ter como imagem. (b) poderá ser bijetora. (c) nunca poderá assumir valores eclusivamente positivos. (d) o esboço do seu gráfico poderá nunca interceptar o eio Y. (e) nunca será injetora 6) Dada a função f: R R definida por f() = a + b + c com a 0 e c 0, podemos afirmar que (a) o seu gráfico não intercepta o eio OX. (b) o seu gráfico intercepta o eio OX em um único ponto. (c) o seu gráfico intercepta o eio OX em dois pontos. (d) f tem um ponto de máimo. (e) é uma função injetora. 7) O conjunto { R / f() < 0}, onde f :R R é definida por f() = a + a + a 3, com a < 0, é (a) (b) (-, -a) (-a, + ) (c) (-, -a) (a, + ) (d) (-, a) (a, + ) (e) (-a, a) 8) (UFPA) A parábola de equação y = é simétrica em relação à reta (a) y = (b) = - (c) = 7 (d) = -5/ (e) y = - 9) (CESGRANRIO) Um fio de arame de 100 m é cortado em duas partes. Com elas são formados dois quadrados, cuja diferença de áreas vale 5 m². Então, o lado do menor quadrado mede (a) 5 m (b) 8 m (c) 9 m (d) 10 m (e) 1 m

3 10) Quer-se construir um galinheiro utilizando-se uma parede, conforme a figura. Parede y frente O material das laterais custa R$ 6,00 por metro e o da frente, R$ 3,00 por metro. Para caber o maior número de galinhas possível, gastando no máimo R$ 10,00, a área o galinheiro, em metros quadrados, deve ser: (a) 80 (b) 90 (c) 100 (d) 110 (e) 10 11) O número de soluções reais do sistema (a) 1 (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 y 6 5 y 1 0 é 1) (ESPM) A figura abaio mostra os gráficos das funções reais f()= ; g()= -8+16; h()=a +b+c, com a, b e c reais e a 0. O valor de h(1) é (a) (b) 5/ (c) 10/3 (d) 15/4 (e) 3 y f g h 3

4 13) (UCS) O Lucro obtido pela produção, comercialização e venda de unidades de uma determinada mercadoria, denotado por L(X), é igual a R() C(), em que R() representa a receita obtida com a venda e C() representa os custos de produção e venda de unidades da mercadoria. Se R() = e C() = , para obter lucro máimo, devem ser vendidas n unidades da mercadoria, para n igual a (a) 0 (b) 30 (c) 15 (d) 18 (e) 4 14) (UFSC) Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 3cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. O valor, em centímetros, que deve medir, para que a área da região hachurada seja a maior possível, é (a) 11 (b) 1 (c) 13 (d) 14 (e) 15 15) Se y=a + b + c define uma função quadrática e = b 4ac, então é impossível ocorrer: (a) =0, a 0, b<0, c 0. (b) 0, a<0, b 0, c 0. (c) 0, a 0, b 0, c=0. (d) 0, a<0, b 0, c<0. (e) =0, a 0, b<0, c<0. 16) Um móvel em movimento retilíneo parte do quilômetro d 0 =3, com uma velocidade v 0 = km/h e com uma aceleração a=- km/h, que manterá ao longo de todo o percurso. Sabendo que a função, que a cada hora t, associa o quilômetro d em que o móvel se encontra, é definida por d(t)= d 0 + v 0 t + at /. O móvel inicia o retorno no quilômetro (a),5 (b) 3 (c) 3,5 d (e) 4 (e) 4,

5 17) (UFRGS) A partir de dois vértices opostos de um retângulo de dimensões 7 e 5, marcam-se quatro pontos que distam de cada de um desses vértices. Ligando-se esses pontos, como indicado na figura abaio, obtém-se um paralelogramo P. 5 7 Considere a função f, que a cada pertencente ao intervalo (0, 5) associa a área f() do paralelogramo P. O conjunto imagem da função f é o intervalo (a) (0, 10] (b) (0, 18) (c) (10, 18] (d) [0, 10] (e) (0, 18] 18) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade + 1 > são os números, tais que (a) 0 (b) 1 (c) 1 (d) 1 (e) 1 19) (MOTTOLA) As raízes reais da equação 4 = - 1 (a) são todas positivas. (b) são todas negativas. (c) não ecedem 1. (d) não ecedem -1. (e) são ineistentes. 0) (UFRGS) O gráfico da função quadrática f()= + p + 1 intercepta o eio das abscissas em dois pontos distintos, se e somente se (a) p < - (b) p < 0 (c) < p < (d) p < 0 ou p > (e) p < - ou p > 5

6 Resolução 1) y Seja y = a + b + c a lei da função. 3/ 3 9 O gráfico corta Y no ponto 9, logo c = -9. y = a + b 9 3 é zero da função, logo, substituindo por 3, y tem que ser zero: 0 = a 3 + b = 9a + 3b 9. ( 3) 9a + 3b = 9 3a + b = 3 3/ é zero da função, logo, substituindo por 3/, y tem que ser zero: 0 = a (-3/) 9a 3b + b (-3/) a 6b 36 4 ( 4) 9a 6b = 36 3a b = 1 ( 3) 3a + b = 3 3a b = 1-3b = -9 b = -3 f() = 3b 9 Substituindo b = -3 em 3a + b = 3, temos: 3a 3 = 3 a = Obs.: Sabendo que a 0, b<0, c<0, analisando as alternativas, vemos que só pode ser (c). b b b ) V Como V, temos que a. Logo, b= 4. Então, a equação da parábola fica: y = (, k) Parábola. Logo, substituindo por e y por k, temos: k = k=. 6

7 3) Se uma parábola tem o vértice no eio das abscissas, então há uma raiz dupla, ou seja, =0. = b 4ac = (-4) 4 t = 16 8t. Para ser zero, só se t =. 4) f ( ) p b ( ) V 1 a ( 1) Se (-, 6] é a imagem da função, então a parábola tem concavidade para baio e y 6. V Como y 6 é a imagem de 1, substituindo na lei da função V V f ( ) p, temos: 6 ( 1) ( 1) p 6 1 p p 5 5) (a) é F: A imagem de uma função quadrática é [y v, + ) ou (-, y v ]. (b) é F: Uma função quadrática nunca será injetora, pois no seu gráfico, uma parábola, podem retas horizontais interceptar em dois pontos. (c) é F: No gráfico a seguir, os valores assumidos (y) são eclusivamente positivos: (d) é F: Sempre o gráfico interceptará Y, no ponto C. c A curva infinita irá interceptar Y em algum ponto c. (e) é V: Veja o item (b). 7

8 6) f() = a + b + c com a 0 e c 0. O gráfico tem a forma: c (a) é F: o seu gráfico intercepta o eio OX. (b) é F: o seu gráfico intercepta o eio OX em dois pontos. (c) é V: o seu gráfico intercepta o eio OX em dois pontos. (d) é F: tem um ponto de mínimo. (e) é F: há retas horizontais que cortam o gráfico em dois pontos. 7) Como a<0, vamos supor que a= 1. A lei da função fica f() = + 1. As alternativas ficam: (a) (b) (-, 1) (1, + ) (c) (-, 1) (-1, + ) (d) (-, -1) (-1, + ) (e) (1, -1) Observando as alternativas, (c) e (e) estão meio estranhas. Vamos achar as raízes: + 1 = 0 ( 1) + 1 = 0 ( 1) = 0 1 é raiz dupla. O gráfico da função original, f() = + 1, é o seguinte: 1 Os afastamentos com alturas negativas são todos os reais, eceto =1, que tem altura nula. Resposta: (-, 1) (1, + ) 8

9 8) As raízes e de = 0 são tais que a soma é 5 e o produto é 14. = e = V é o ponto médio das raízes 7 e : V Todos os pontos do eio de simetria têm afastamento igual a -5/. -7 V Assim, a equação do eio de simetria é = 5/. 9) Sejam e y os lados dos quadrados que serão formados. 100 Os perímetros dos quadrados são 4 e 4y. y Estes perímetros somados é o comprimento do arame: 4 + 4y = 100. Dividindo por 4, temos: + y = 5. A diferença entre as áreas dos quadrados é 5. Assim, y = 5 y 5 Temos o sistema: y 5 Isolando y na primeira equação, temos: y = 5. Substituindo y = 5 na segunda equação, temos: (5 ) = = = = 50 = 1. 9

10 10) Sejam e y as metragens dos lados. y O custo da cerca é y = 1 + 3y. Gastando R$10,00, temos: 1 + 3y = y = 40 y = 40 4 Para caber o máimo de galinhas, deve-se ter a maior área possível. Área = y = (40 4). Raízes: 0 e 10. Área A maior área ocorre quando =5. y = 40 4 = = 0. Área = y = 5 0 = 100 m. 11) Vamos fazer os gráficos das funções: y = tem raízes e tais que a soma é 6 e o produto é 5. Logo, =1 e =5. V =3 e y V = = = y = y = Na equação y + 1 = 0, isolando y, temos: identidade deslocada 1 para baio. y = 1, que é a função Traçando os dois gráficos em um mesmo sistema de eios, observamos que há 3 pontos de intersecção. 10

11 ) f y g P Q h h corta o eio Y em c=0, logo h()=a +b. Vamos achar o ponto P de intersecção dos gráficos das funções f e g: y y 8 16 Igualando os y, temos: = = = y = = 4 Logo, P(, 4). Se uma raiz da h é 0 e é a abscissa do vértice, a outra raiz é 4. Logo Q(4,0). Como P(,4) e Q(4,0) pertencem ao gráfico da h, vamos substituir as coordenadas na sua equação y=a + b. P(,4) h 4 = a + b 4 = 4a + b Q(4,0) h 0 = a 4 + b 4 0 = 16a + 4b 0 = 4a + b 4 4a b 0 4a b 4 = b Substituindo b=4 em 0 = 4a + b, temos: 0 = 4a + 4. Logo, a=-1. h() = h(1)= = 3. 11

12 13) L() = R() C() = ( ) = L() = b 600 O lucro máimo é obtido para o do vértice: V 30. a ( 10) 14) A área da região hachurada é calculada por: A = (3-) + (3-) + (56-) + (56-) = A = = b 176 A área máima ocorrerá em V 11. a ( 8) 15) =0, a 0, b<0, c 0 0, a<0, b 0, c 0 0, a 0, b 0, c=0 0, a<0, b 0, c<0 (a) é possível (b) é possível (c) é possível (d) é possível Se =0, a 0, b<0, então a figura tem a forma: Sendo impossível c<0. 1

13 16) A equação do movimento é d(t) = 3 + t t. As raízes da equação são: b b 4ac a 4 ( 1) 3 ( 1) ' 1 " d O afastamento do vértice é a média das raízes: (-1+3)/=1. A altura do vértice é a imagem de 1: d(1) = = t Desconsiderando tempo e espaço negativos, o gráfico fica: d O móvel parte do quilômetro 3 e avança até o quilômetro 4. Neste ponto muda o sinal da sua velocidade, ou seja, começa a voltar. 1 3 t 17) Na figura observa-se que tem que estar entre 0 e P 7 A área do paralelogramo P é a área do retângulo maior de lados 7 e 5, que é 7 5=35, descontando-se as áreas de 4 triângulos. Os dois triângulos de lados, juntos, formam um quadrado de área. 13

14 Os outros dois triângulos, juntos, formam um retângulo menor de base 7- e altura 5-, cuja área vale (7-)(5-) = = f() é a área do paralelogramo P. Logo, f()= (35-1+ ) Área do retângulo maior Área do quadrado Área do retângulo menor. f()= (35-1+ ) = = = (- +6). f é uma função quadrática com raízes 0 e 6 e com concavidade para baio. Como tem que estar entre 0 e 5, f tem o gráfico: f()=área y V =18 V y V = f(3) = 3 (-3+6) = Logo a maior área é 18. A imagem desta função é (0, 18]. 18) + 1 > > 0 Os zeros da função f() = são =1 e = No gráfico observamos que a função é sempre positiva, eceto para =1. Logo, > 0 ocorre para 1. 14

15 19) 4 = = 0 y = e y = 4 y y + 1 = 0 = b 4ac = (-) = 0 b 0 y 1 a 1 y = = 1 =1 e =-1 As duas raízes não são maiores do que 1, não ecedem 1. 0) f()= + p + 1 intercepta o eio das abscissas em dois pontos distintos. Logo =b -4ac = p - 4 > 0. Vamos fazer o gráfico da função y = p 4: Observamos que y>0 para <- ou >

16 RESPOSTAS 1) C ) B 3) A 4) E 5) E 6) C 7) B 8) D 9) E 10) C 11) C 1) E 13) B 14) A 15) E 16) D 17) E 18) D 19) C 0) E 16