LISTA DE REVISÃO DE ÁLGEBRA 3ºANO

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1 LISTA DE REVISÃO DE ÁLGEBRA 3ºANO. (Espcex (Aman)) Considerando a função real definida por a) 8 b) 0 c) d) e) 4 x 3, se x, x x, se x o valor de f(0) f(4) é. (Enem) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$,00 para os clientes que fazem até 00 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 00 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,0 por ligação, a partir da 0ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$ 3,00. Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a relação entre o valor mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas é: a) d) b) e) c) 3. (Fuvest) Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do faturamento quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após a inauguração: Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à metade do que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do faturamento obtido ao final do terceiro mês. Considerando que, na ordenada, o faturamento quinzenal está representado em unidades desconhecidas, porém uniformemente espaçadas, qual dos gráficos é compatível com a descrição do comerciante?

2 a) d) b) e) c) 4. (Enem (Libras)) A base de cálculo do imposto de renda é a parte dos rendimentos recebidos pelo contribuinte sobre a qual incide o imposto. Ela é obtida após serem descontadas, dos rendimentos, as deduções legais. No ano de 008, se a base de cálculo de um contribuinte teve um valor de até R$ 6.473,7, o contribuinte foi isento do imposto de renda. Se a base de cálculo ficou entre R$ 6.473,7 e R$ 3.99,00, o imposto devido foi de 5% sobre o que excedeu R$ 6.473,7. Por fim, se a base de cálculo ultrapassou R$ 3.99,00, o imposto devido é dado pela soma de R$.466,79 (correspondendo a 5% da diferença 3.99, ,7) mais 7,5% do que excedeu R$ 3.99,00. O gerente de um escritório de contabilidade pediu a um estagiário que identificasse o gráfico que descrevia o valor imposto devido, para o ano de 008, como função da base de cálculo, apresentando-lhe cinco gráficos, sem qualquer outra informação ou valores numéricos.

3 Admitindo que um desses gráficos corresponda ao pedido do gerente, qual é esse gráfico? a) I b) II c) III d) IV e) V 5. (Ueg) Sabendo-se que o gráfico da função y f(x) é o gráfico que melhor representa a função y 3f(x 3) é a) b) c) d) e)

4 6. (Unicamp) A figura abaixo exibe o gráfico de uma função y f(x). Então, o gráfico de y f(x ) é dado por a) b) c) d)

5 7. (Epcar (Afa)) A função real f definida por abaixo. x f(x) a 3 b, sendo a e b constantes reais, está graficamente representada Pode-se afirmar que o produto (a b) pertence ao intervalo real a) [ 4, [ b) [, [ c) [, 5[ d) [5, 8] 8. (Unesp) Admita que um imposto sobre a renda mensal bruta fosse cobrado da seguinte forma: Renda mensal bruta (R) Até R$.000,00 Acima de R$.000,00 e até R$ 5.000,00 0% Acima de R$ 5.000,00 e até R$ 8.000,00 5% Acima de R$ 8.000,00 5% Nos planos cartesianos abaixo: Taxa de imposto sobre a rend mensal bruta (T) Isento - esboce o gráfico de T (em %) em função de R (em milhares de reais); - esboce o gráfico do imposto mensal cobrado C (em centenas de reais) em função da renda mensal bruta R (em milhares de reais) no intervalo de R que vai de R$ 0,00 a R$ 8.000,00.

6 9. (Fuvest) A figura mostra o gráfico de uma função f. a) Encontre todos os valores de x tais que f(x). b) Encontre todos os valores de x tais que f(x). c) No sistema cartesiano abaixo, desenhe o gráfico da função y f(x ). 0. (Uff) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir: Pode-se afirmar que: a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva.

7 . (Puccamp) Seja f a função de IR em IR, dada pelo gráfico a seguir É correto afirmar que a) f é sobrejetora e não injetora. b) f é bijetora. c) f(x) = f(-x) para todo x real. d) f(x) > 0 para todo x real. e) o conjunto imagem de f é ] - ; ].. (Udesc) Considere a função f cujo gráfico está representado na figura abaixo. É correto afirmar que: a) f : [, 4] [, ] é injetora, mas não é sobrejetora. b) f : [, 4] [, ] é bijetora. c) f : [, ] [, ] é injetora, mas não é sobrejetora. d) f : [, ] [, ] é bijetora. e) f : [, ] [, ] é sobrejetora, mas não é injetora. 3. (Udesc) A função f definida por e a imagem (Im(f)) são: f(x) x é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o domínio (D(f)) a) D(f) e lm(f) [, [ b) D(f) ],0] e lm(f) c) D(f) e lm(f) d) D(f) [0, [ e lm(f) [0, [ e) D(f) [0, [ e lm(f) [, [

8 4. (Unigranrio - Medicina) Sabe-se que a) 4 b) 3 c) d) e) 0 f x 3 x. 3 Desta forma, pode-se afirmar que f( ) vale: 5. (Uerj) Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por números, foi utilizado um sistema no qual cada letra do alfabeto está associada a um único número n, formando a sequência de 6 números ilustrada na tabela: Letra A B C D E... W X Y Z Número n Para utilizar o sistema, cada número n, correspondente a uma determinada letra, é transformado em um número f(n), de acordo com a seguinte função: f n n 3, se n 0 50 n, se n 6 na qual n As letras do nome ANA, por exemplo, estão associadas aos números [ 4 ]. Ao se utilizar o sistema, obtém-se a nova matriz [f() f(4) f()], gerando a matriz código [5 36 5]. Considere a destinatária de uma mensagem cujo nome corresponde à seguinte matriz código: [ ]. Identifique esse nome. 6. (Ufpr) Responda às seguintes perguntas a respeito da função 3x 4 g(x) : 4x a) Qual é o domínio de g? b) Qual é a inversa de g? x a 7. (Fuvest) A figura a seguir representa o gráfico de uma função da forma f(x) = bx c, para - x 3. Pode-se concluir que o valor de b é: a) - b) - c) 0 d) e)

9 8. (Uece) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por composta f g no elemento x é igual a a). b) 8. c). d) (Uepb) Dada a) 56 b) 85 c) 9 d) 9 e) 85 f(x) x x 5, o valor de f(f( )) é: 0. (Unicamp) Seja a função h(x) definida para todo número real x por x f(x) e g(x) x x. O valor da função x se x, h(x) x se x. Então, h(h(h(0))) é igual a a) 0. b). c) 4. d) 8.. (Mackenzie) Se a função f : {} é definida por a) 5 f(x) e x f a sua inversa, então f ( ) é igual a b) 9 9 c) d) e) 5 4. (Espm) O conjunto imagem de uma função inversível é igual ao domínio de sua inversa. Sendo f : A B tal que x f(x) uma função real inversível, seu conjunto imagem é: x a) {} b) { } c) { } d) {0} e) {}

10 x 3 3. (Uece) A função real de variável real definida por f(x), para 4x ax b expressa na forma g(x), onde a, b, c e d são números inteiros. cx d x é invertível. Sua inversa g pode ser 4 Nessas condições, a soma a b c d é um número inteiro múltiplo de a) 6. b) 5. c) 4. d) (G - ifce) Sendo f(x) = 3x a, onde a é um número real fixado, a expressão f(a) f(a ) é equivalente a a) a 3. b) a. c) 3(a + ). d) a. e) a. 5. (Uern) Sejam as funções f(x) x 3 e a) b) 3 c) 4 d) 5 g(x) x x 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? 6. (Espm) Sejam f e g funções reais tais que f x x 4 e gx x para todo x R. Podemos afirmar que a função fog(x) é igual a: a) x b) x + c) 3x + d) x e) x 3 7. (Uern) Sejam as funções compostas f(g(x)) x e g(f(x)) x. Sendo g(x) x, então f(5) g() é a) 0. b) 8. c) 7. d) (Fuvest) Se a função f : {} é definida por g(x) f(f(x)), então g(x) é igual a x f(x) x e a função g : {} é definida por a) x b) x c) x d) x 3 e) x

11 9. (Uepb) Uma função inversível f, definida em R 3 por conjunto dos números reais. O valor de y 0 é: a) b) 3 c) d) e) zero Gabarito: Resposta da questão : [D] f(0) 0 0 f(4) 4 3 Portanto, f(0) f(4). x 5 f x, x 3 R y, tem contradomínio 0 onde R é o Resposta da questão : [B] Seja que f: a função que relaciona o valor mensal pago, f(x), com o número de ligações, x, efetuadas no mês. Tem-se, se 0 x 00 f(x) 0, (x 00), se 00 x 300 3, se 300 x 500, se 0 x 00 0, x, se 00 x , se 300 x 500 Portanto, dentre os gráficos apresentados, só pode ser o da alternativa [B]. Resposta da questão 3: [E] Os únicos gráficos que apresentam faturamento 50% acima do verificado ao final do terceiro mês são os das alternativas [C], [D] e [E]. Destes, os únicos que apresentam faturamento no mês 3,5 igual à metade do verificado ao final do terceiro mês são os das alternativas [D] e [E]. Finalmente, o único que mais se aproxima de um segmento de reta até o terceiro mês é o da alternativa [E]. Resposta da questão 4: [E] Seja i a função i :, em que i é o valor do imposto devido relativo à base de cálculo b. Tem-se que

12 0; se b 6473,7 i 0,5(x 6473,7); se 6473,7 b ,79 0,75(x 399); se b 399 0; se b 6473,7 0,5x 47,06; se 6473,7 b 399 0,75x 6585,94; se b 399 Portanto, não havendo pontos de descontinuidade no gráfico de i e sendo 0,75 0,5 podemos concluir que a resposta é o gráfico V. Resposta da questão 5: [C] O gráfico da função g, dada por g(x) f (x 3 ), corresponde ao gráfico de y f(x) deslocado de três unidades no sentido positivo do eixo das abscissas. Ademais, o gráfico da função h, dada por h(x) dilatado verticalmente por um fator igual a 3. Portanto, o gráfico da alternativa [C] é o que melhor representa a função h. Resposta da questão 6: [B] 3g(x), corresponde ao gráfico de g Supondo f, g, h :, tais que g(x) f(x ) e h g(x), segue-se que o gráfico de g é obtido a partir do gráfico de f, mediante uma translação horizontal de uma unidade no sentido positivo do eixo das abscissas. Além disso, o gráfico de h é obtido por meio de uma dilatação vertical do gráfico de g por um fator igual a. Portanto, o gráfico da função h é o da alternativa [B]. Resposta da questão 7: [A] Calculando: x f(x) a 3 b 0 f(0) a3 b a b b a 9 a 8 53 f() 8 a3 b 8 9a b 8 9a a 8 a b [ 4, [ 7 64 b 8 Resposta da questão 8: Calculando: 0, se 0 R 0,0R, se R 5 C(R)= 0,5R, se 5 R 8 0,5R, se R 8

13 Resposta da questão 9: a) Do gráfico, temos f(x) se x 3 ou x 7. b) Sendo f(x) f(x) f(x) 0, podemos concluir, do gráfico, que x 4 ou 6 x 8. c) O gráfico da função g(x) f(x ) corresponde ao gráfico da função f deslocado de duas unidades no sentido negativo do eixo das abscissas. O gráfico da função h(x) g(x) f(x ) corresponde ao gráfico da função g refletido em relação ao eixo das abscissas.

14 Finalmente, o gráfico da função y f(x ) corresponde ao gráfico da função h deslocado de uma unidade no sentido positivo do eixo das ordenadas. Resposta da questão 0: [A] Resposta da questão : [A] Resposta da questão : [D] Analisando cada alternativa: [A] Falsa. (i) Essa função não é injetora, pois a reta y α,3, o que indica que α f f, sendo α. (ii) A função é sobrejetora, pois qualquer reta y β, indicando que para qualquer β no contradomínio de f :,4,, f γ β. intercepta o gráfico da função nos pontos, e α,, sendo com β, intercepta o gráfico em pelo menos um ponto, existe ao menos um,4 γ tal que [B] Falsa. Pela mesma explicação apresentada na alternativa [A], f :,4, é sobrejetora, mas não é injetora. Logo, não pode ser bijetora. [C] Falsa. (i) Qualquer reta y β, com β, intercepta o gráfico da função em apenas um ponto, indicando que para cada β,, existe um, e apenas um α,, tal que α (ii) Como toda reta y β, com β no contradomínio, menos um α,, tal que f α β. f é também sobrejetora. f β, o que confirma que a função é injetora., intercepta o gráfico em pelo menos um ponto, existe ao Logo, todos os pontos do contradomínio pertencem à imagem da função, e então

15 [D] Verdadeira. Pela mesma explicação da alternativa [C], f :,, é injetora e sobrejetora, logo é bijetora. [E] Falsa. (i) A função f :,, não é sobrejetora. Basta verificar que para qualquer valor β,, não existe α, tal que f α β. (ii) Mas a função é injetora, uma vez que, para β Imf,, a reta y β intercepta o gráfico da função em apenas um ponto, de modo que se f α f α, α e α, então α α. Resposta da questão 3: [E], Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o domínio, o contradomínio e a lei de formação, vamos supor que o contradomínio da função seja o conjunto, e que o enunciado pede o maior subconjunto dos números reais para o qual f está definida. Desse modo, como f é uma função quadrática bijetiva, segue-se que D(f) [0, [ e, sendo y v a ordenada do vértice do gráfico de f, Im(f) [y v, [ [, [. Resposta da questão 4: [A] Calculando: f x 3 x 3 x 3 x 3 3 f x 3 f(3) 3 f( ) 4 3 Resposta da questão 5: De acordo com as informações, temos que f(n ) 7 n 3 7 n, f(n ) 3 n 3 3 n 5, f(n 3 ) 5 n3 3 5 n3, f(n 4 ) n4 30 n4 0, f(n 5 ) 3 50 n5 3 n5 8, f(n 6 ) n6 3 n6 9 e f(n 7 ) 4 50 n7 4 n7 6. Portanto, o nome da destinatária é Beatriz. Resposta da questão 6: a) A função g será definida quando:

16 4x 0 x 4 Portanto o domínio da função será dada por: D x x 4 b) Trocando g(x) por x e x por g (x), temos: 3 g (x) 4 x x 4 g (x) x 3 g (x) 4 x 4 3 g (x) 4 g (x) x 4 g (x) x 4 g (x) 3 4x x 4 g (x) 3 4x Resposta da questão 7: [D] Resposta da questão 8: [C] Queremos calcular f(g()). Assim, como Resposta da questão 9: [D] Como f( ) ( ) ( ) 5 4, segue que f(f( )) f(4) g() ( ), segue que f(g()). Resposta da questão 0: [C] Desde que h(0) temos, h() e, portanto, vem Portanto, a resposta é h(h(h(0))) h(h()) h() 4. h() 4. Resposta da questão : [B] Impondo f(x), temos 5 9 x 4 5 x. x Portanto, segue que 9 f ( ). Resposta da questão : [E]

17 x Lembrando que é possível definir tantas funções quanto queiramos por meio da lei f(x), x domínio de f seja o conjunto dos números reais x, tal que x { }. Assim, temos x y yx y x x x(y ) (y ) y x. y vamos supor que o x Portanto, sendo f (x) x tal que y {}. a lei da inversa de f, podemos afirmar que a imagem de f é o conjunto dos números reais y Resposta da questão 3: [C] Se x 3 f(x), 4x então x 3 y 4xy y x 3 4x x(4y ) y 3 y 3 x. 4y x 3 Portanto, temos g(x) e, assim, desde que 3 4 ( ) (4), podemos afirmar que a soma a b c d é 4x um número inteiro múltiplo de 4. Resposta da questão 4: [C] f(a) f(a ) = 3.(a) a (3.(a ) a) = 5a a + 3 = 3a + 3 = 3.(a + ). Resposta da questão 5: [B] Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f: e g :. Além disso, por exemplo, a função g f está definida apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g. Desse modo, o valor de x para o qual se tem f(g(x)) g(f(x)) é x x 4 3 (x 3) (x 3) 4 x x 3 x 6x 9 x 6 6x 5 3 x 3. Resposta da questão 6: [D] Fazendo t x, vem

18 x x t t (x). Logo, x x f 4 f(x) x 3. Por outro lado, se u x, então x u u (x) x. Desse modo, g(x ) (x ) g(x) x 3. Portanto, f g(x) f(g(x)) g(x) 3 x 3 3 x. Resposta da questão 7: [A] Sabendo que g(f(x)) x e g(x) x, vem g(f(x)) f(x) x f(x) f(x) x 3. Portanto, f(5) g() Resposta da questão 8: [E] Tem-se que g(x) f(f(x)) x f x x x x x 5x 5 x. Resposta da questão 9: [D] Determinando a função inversa de f, temos:

19 f (x) 5 x x f (x) 3 f (x) 5 x f (x) 3x f (x) 5 f (x) x 5 3x f (x) 3 5 3x f (x) com domínio x R/x x O contradomínio de uma função inversível é o domínio de sua inversa, portanto, y0.