Mat.Semana 5. PC Sampaio Alex Amaral Gabriel Ritter (Roberta Teixeira)

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1 Semana 5 PC Sampaio Alex Amaral Gabriel Ritter (Roberta Teixeira) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 09/03 Múltiplos e Divisores: MMC e MDC / Regra de Divisibilidade Múltiplos e Divisores: MMC e MDC / Regra de Divisibilidade - continuação 11:00 21:00 10/03 Exercícios de Revisão 8:00 16/03 Introdução ao estudo das funções Introdução ao estudo das funções - continuação 11:00 21:00 17/03 Função afim - definição, taxa de crescimento e gráficos

3 23/03 Função afim - gráfico e estudo do sinal Exercícios de Função do 1º grau 11:00 21:00 24/03 Função Quadrática: definição e fórmula quadrática, gráficos e vértice 30/03 Função Quadrática: definição e fórmula quadrática, gráficos e vértice Função Quadrática: estudo do sinal e problemas com máximo e mínimo. 11:00 21:00 31/03 Exercícios de função de 2º grau

4 Introdução ao estudo das funções Continuação 16 mar 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Nesta aula iremos dar continuidade ao estudo das funções, vamos classificá-las. Função inversa Classificação Função sobrejetora: É aquela que tem o conjunto imagem igual ao contradomínio. Função injetora: É aquela que, para cada elemento da imagem, existe apenas um elemento no domínio. Ou seja, em uma função injetora, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio. Definimos função inversa (f -1 ) de uma função f do seguinte modo: (,) ab f (, ba) f Ou seja, para todo par ordenado (a,b) pertencente à função f, existe um par ordenado (b,a) correspondente na função inversa f -1. Dica: A relação inversa de f: A B é uma função f -1 : B A, se e somente se, f é uma função bijetora. 1 Função bijetora: Uma função é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora. OBS: É importante saber que existem funções que não são nem injetoras, nem sobrejetoras. Elas simplesmente não apresentam classificação sob esse critério. Função par: Uma função é dita par, se e somente se f(-x) = f(x). Ou seja, valores simétricos de x possuem a mesma imagem. Dica: o gráfico de uma função par apresenta simetria em relação ao eixo y. Função ímpar: Uma função é dita par, se e somente se f(-x) = - f(x). Ou seja, valores simétricos de x possuem imagens simétricas. Dica: o gráfico de uma função par apresenta simetria em relação à origem. OBS: Existem funções que não podem ser classificadas quanto a paridade, ou seja, não são nem pares nem ímpares. Lei de formação: Para encontrarmos a lei de formação de uma função inversa, devemos seguir os seguintes passos: I) Na lei de formação de f, devemos trocar o y por x e o x por y. II) Depois, devemos isolar o novo y. Ex: Vamos achar a inversa de f(x) = x + 1. y = x + 1 x = y + 1 (trocando x por y e y por x) y = x 1 = f-1(x) Gráfico: O gráfico de uma f -1 é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y = x, chamada de função identidade. Função constante É aquele que, qualquer que seja o valor da abscissa, terá sempre a mesma ordenada. 95 Função composta Função composta é aquela que tem como abscissa a imagem de outra função. h( x) = f [ g( x)] = fog Ou seja, a abscissa de f(x) é a imagem de g(x). Ex: f(x) = 3. No exemplo acima fica claro que a função independe da variável x, ou seja, qualquer que seja o valor de x, a função sempre valerá 3. Condição de existência: Para que haja a função composta da função g com a função f, o domínio de g deve ser igual ao contradomínio de f.

6 EXERCÍCIOS DE AULA 1. Em uma competição para cães foram convocados 6 cachorros: - Totó e Baby, que pertenciam a Cláudio. - Lili e Júnior, que pertenciam a Bruno. - Rex e Fifi, que pertenciam a Denise. A competição consistia em cada cão completar um percurso no menor tempo possível, em 3 etapas. Sabendo que Rex ganhou a primeira etapa, Totó ganhou a segunda e Júnior ganhou a terceira, considere o conjunto formado pelos 6 cães, o conjunto dos 3 donos e o conjunto das 3 etapas. Classifique cada função abaixo como injetora, sobrejetora ou bijetora, quando possível. 2. a) A que associa cada cão ao seu dono. b) A que associa cada etapa ao seu vencedor. c) A que associa cada dono à etapa que venceu. Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. 96 A imagem que representa a nova figura é: a) b)

7 c) d) e) 3. x 2 f( x) = + x 2 Determine a função inversa de, para x Para a função f: IN* IN* que a cada número natural não nulo associa o seu número de divisores, considere as afirmativas: I) existe um natural não nulo tal que f(n) = n. II) f é crescente. III) f não é injetiva. Assinale a opção que contém a(s) afirmativa(s) correta(s). a) Apenas II b) Apenas I e III c) I, II, III d) Apenas I e) Apenas I e II. 5. Na figura estão representados os gráficos de uma função polinomial g, e da função f(x) = x. A partir da figura pode-se determinar que g(g(6)) vale aproximadamente:

8 a) -2 b) 4 c) 0 d) -1 e) 1 98

9 EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Seja a função f : R R definida por f(x) = 4x 3. Se f -¹ é a função inversa de f, então f - ¹(5) é a) 17 b) 1/17 c) 2 d) 1/2 2. Uma função é constante. Se f(π) = π, então f(2) vale: a) π b) 2π c) π 2 d) π + 2 e) 2 3. Se f : R R é uma função definida pela expressão f(x-1) = 3x, então o valor de f(3) é igual a: a) 0 b) 1 c) 6 d) 15 e) O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1980 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Nas questões a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. a) ( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. b) ( ) 20 foi o ano de maior lucro. c) ( ) 25 foi um ano deficitário. d) ( ) 15 foi um ano de lucro. e) ( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15.

10 5. Para um número real fixo a, a função f(x) = 2x + a é tal que f(f(1))= 10. O valor de a é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Analise o gráfico da função f e assinale a única alternativa falsa: a) f(1) > 0 b) f(0) = 3 c) - 4 D(f) d) f(1) < f(2) e) f(2) = f(4) = O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é: a) b)

11 c) d) e) 8. QUESTÃO CONTEXTO Em relação à função polinomial f(x) = 2x³ - 3x, é correto afirmar que: a) f(-x) = f(x) b) f(-x) = -f(x) c) f(x²) = (f(x))² d) f(ax) = a.f(x) e) f(ax) = a².f(x) Além do reajuste das passagens de ônibus municipais, o carioca começa 2016 com mais um aumento de tarifa. Desta vez, dos táxis, que a partir deste sábado (2), sofrem aumento de 10,5%. Com isso, a bandeirada dos táxis convencionais passa de R$ 5,20 para R$ 5, De acordo com os novos preços, cada quilômetro rodado custará R$ 2,30, na bandeira 1, que é aplicada de segunda a sábado, das 6h às 21h. Na bandeira 2, que vale de segunda a sábado, das 21h às 6h e nos domingos e feriados, passa a valer R$ 2,76. Rodrigo, um carioca que ama praia, pretende passar alguns dias em sua casa de praia para aproveitar o feriado da páscoa. Entretanto, como não sabe dirigir, ele pretende fazer sua viagem de taxi. Preocupado com o aumento dos preços das corridas de táxi no Rio de Janeiro, ele quer fazer as contas de quanto gastará para ir e para voltar. Ele sabe que: - Em uma velocidade constante de 80 Km/h, ele chega em sua casa de praia em 1 hora e 15min. s - A Quilometragem é dada pela equação Vm = t - O preço da corrida de taxi é dado pela equação P(x) = x.preço do quilômetro rodado + bandeirada, onde x é a quilometragem. Calcule o preço dessa viagem para Rodrigo, sabendo que ele vai viajar exatamente no dia do feriado de páscoa.

12 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. a) função sobrejetora 2. e b) função bijetora c) função bijetora x 2, para x 1. f ( x) = + x 1 4. b 5. b 03. Questão contexto R$ 562, Exercícios para casa 1. c 2. a 3. c 4. F, V, F, F, V 5. b 6. d 7. a 8. b 102