Humberto José Bortolossi [01] (a) (1.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Humberto José Bortolossi [01] (a) (1.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo"

João Henrique Barateiro
5 Há anos
Visualizações:

1 PRIMEIRA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Nome legível: Assinatura: [0] (a) (.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo ] , [ Solução. Note que o intervalo tem comprimento = Assim, para cada n N, os números da forma x n = n são racionais (como multiplicação e soma de números racionais) e pertencem ao intervalo ] , [. Como existem infinitos números naturais, os xn são em quantidade infinita.

2 (b) (.0) Verdadeira ou falsa? Se a é um número racional diferente de zero e b é um número irracional, então a/b é um número irracional. Apresente um contraexemplo caso a sentença seja falsa e uma demonstração caso ela seja verdadeira. Solução. A sentença é verdadeira. Vamos precisar demonstrar primeiro o seguinte lema: se p e q são dois números racionais, com q diferente de zero, então p/q também é um número racional. De fato: se p e q são racionais, com q 0, então existem números inteiros x, y, r e s, com y 0, r 0 e s 0 tais que p = x/y e q = r/s. Logo, x p q = y r = x s y r, s isto é, p/q é um número racional com numerador x s e denominador y r. Com este lema, podemos demonstrar que a sentença do enunciado da questão é verdadeira. Com efeito: suponha, por absurdo, que ela seja falsa. Então existem números a e b, com a racional diferente de zero, b irracional (logo, também diferente de zero) e a/b racional. Pelo lema, como a é racional e a/b é racional, segue-se que Mas a a/b é racional. a a/b = b. Assim, b é irracional e racional ao mesmo tempo, uma contradição.

3 [0] (.0) Os gráficos de duas funções reais f : [4, 8] R e g : [4, 8] R são dados na figura a seguir. (a) Calcule (f + g)(3), f(f(3)), g(f(3)) e f(g(3)). Solução. (f + g)(3) = f(3) + g(3) = + 3 = 5, f(f(3)) = f() =, g(f(3)) = g() = 3 e f(g(3)) = f(3) =. (b) Quantas soluções possui a equação g(x) = 3? Por quê? Solução. A equação g(x) = 3 tem infinitas soluções, a saber, todos os números no intervalo [, 4], pois a reta y = 3 intercepta o gráfico de g justamente nos pontos do gráfico de g com abscissas neste intervalo. (c) Determine os intervalos onde a função g é crescente e os intervalos onde a função g é decrescente. Solução. A função g é crescente nos intervalos [4, ], [, ] e [6, 8]. A função g é decrescente nos intervalos [, ] e [4, 6]. (d) Determine a imagem da função g. Solução. A imagem da função g é o intervalo [, 3]. 3

4 [03] (a) (0.5) Quando uma função real f : D R R é injetiva? Quando uma função real f : D R R é estritamente monótona? Dê as definições. Solução. Dizemos que f : D R R é injetiva se, para todo x, x D, se x x, então f(x ) f(x ). Dizemos que f : D R R é estritamente monótona se f é crescente ou decrescente. (b) (.5) Verdadeira ou falsa? Se f : D R R é injetiva, então f : D R R é estritamente monótona. Apresente um contraexemplo (que pode ser um gráfico) caso a sentença seja falsa e uma demonstração caso ela seja verdadeira. Solução. A sentença é falsa. Como contraexemplo, considere f : D = R {0} R definida por f(x) = /x. A função f é injetiva, mas ela não é estritamente monónota, pois f não é crescente e nem decrescente em D = R {0}. y x 4

5 [04] (.0) Considere uma função real f : ], [ R. Qual é o domínio natural (efetivo) da função g definida por ( ) g(x) = f. x Justifique sua resposta! Importante: eventuais inequações devem ser resolvidas usandose o método do quadro de sinais. Solução. x pertence ao domínio natural (efetivo) da função g se, e somente se, /(x ) pertence ao domínio da função f, isto é, se, e somente se, Agora, < x <. < x < x > e x < x > 0 e x < 0 (x ) x > 0 e (x ) (x ) < 0 x + x > 0 e x + 3 x Vamos resolver individualmente cada uma destas duas desigualdades usando o método do quadro de sinais: < 0. sinal de x + sinal de x sinal de (x + )/(x ) sinal de x + 3 sinal de x sinal de ( x + 3)/(x ) Assim, x pertence ao domínio natural (efetivo) da função f se, e somente se, x ], [ (], [ ]3/ + [=]3/, [. 5

6 [05] (a) (0.5) Quando uma função f : R R é crescente? Dê a definição. Solução. Dizemos que uma função f : R R é crescente se ela satisfaz a seguinte condição: para todo x, x R, se x < x, então f(x ) < f(x ). (b) (.5) Seja f : R R uma função crescente e suponha que exista uma função g : R R tal que f(g(x)) = g(f(x)) = x, para todo x R. Prove que g também é uma função crescente. Solução. Suponha, por absurdo, que g não seja uma função crescente Sendo assim, existem x, x R tais que x < x, mas g(x ) g(x ). Como f é, por hipótese, uma função e é crescente, segue-se que f(g(x )) f(g(x )). Mas f(g(x )) = x e f(g(x )) = x. Portanto, f(g(x )) f(g(x )) x x, uma contradição. Texto composto em L A TEXe, HJB, 0/06/06. 6

Documentos relacionados

Humberto José Bortolossi x 1 < 0 x2 x 12 < 0. x 1 x + 12 (x + 3)(x 4)

Humberto José Bortolossi x 1 < 0 x2 x 12 < 0. x 1 x + 12 (x + 3)(x 4) SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [0] (2.0) Resolva a inequação x 2 < x + 2 no conjunto dos