LISTA DE EXERCÍCIOS. Humberto José Bortolossi

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1 GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi 09 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), funções monótonas, injetivas, sobrejetivas, bijetivas, composição de funções, funções inversíveis [01] Para cada uma das figuras abaixo, determine se a curva dada éográfico de uma função de x Se for o caso, obtenha o domínio e a imagem da função (a) (b) (c) (d) f(x + h) f(x) [02] Para cada uma das funções abaixo, calcule f(2 + h), f(x + h) e h (a) f(x) =x x 2, (b) f(x) =x/(x +1) [03] Seja f(x) =x 2 Determine f(a), f(f(a)) e f(f(f(a))) [04] Sejam f(x) =1/(x 2 +1)eg(x) =2x + 3 Determine f(f(a)), g(g(a)), f(g(a)) e g(f(a)) [05] Quando duas funções são iguais? [06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes com domínio [1, 2] e imagem [ 2, 3] [07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1, 2] e imagem [ 2, 1] [3, 4] [08] Considere a função f(x) =1/x cujo domínio é o intervalo (1, 2) Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de f e as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f [09] Mostre que a função f(x) = 1/x é decrescente no intervalo (0, + ) [10] Mostre que a função f(x) =x 3 é crescente em R Dica: use o produto notável x 3 1 x 3 2 =(x 1 x 2 ) (x x 1 x 2 + x 2 2) [11] Mostre que a função f(x) =x 4 é crescente em [0, + ) Dica: use o produto notável x 4 1 x4 2 =(x 1 x 2 ) (x x2 1 x 2 + x 1 x x3 2 ) 1

2 [12] Mostre que se y = f(x) é uma função crescente em um intervalo [a, b], então y = g(x) = f(x) é uma função decrescente neste mesmo intervalo [13] Verdadeiro ou falso? Se f é uma função crescente em um intervalo I =[a, b] e crescente em um intervalo J =[c, d], então f é crescente no conjunto I J =[a, b] [c, d] Apresente uma demonstração caso a sentença seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa [14] Verdadeiro ou falso? Apresente uma demonstração caso a sentença seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa (a) Se f : D R e g : D R são duas funções crescentes, então f + g : D R também éuma função crescente (b) Se f : D R e g : D R são duas funções crescentes, então f g : D R também éuma função crescente (c) Se f : D R e g : D R são duas funções crescentes, então f g : D R também éuma função crescente (d) Se f : D R é uma função crescente e f(x) 0 para todo x D, então g(x) =1/f(x) é uma função decrescente em D [15] (a) Desenhe o gráfico de uma função f :[3, 4] [1, 2] injetiva (b) Desenhe o gráfico de uma função f :[3, 4] [1, 2] sobrejetiva (c) Desenhe o gráfico de uma função f :[3, 4] [1, 2] não injetiva (d) Desenhe o gráfico de uma função f :[3, 4] [1, 2] não sobrejetiva (e) Desenhe o gráfico de uma função f :[3, 4] [1, 2] não injetiva e não sobrejetiva (f) Desenhe o gráfico de uma função f :[3, 4] [1, 2] inversível (g) Desenhe o gráfico de uma função f :[3, 4] [1, 2] não inversível [16] Seja f :[a, b] R uma função real definida no intervalo [a, b] Mostre que se f é crescente em [a, b], então f éinjetiva [17] Seja f :[a, b] R uma função real definida no intervalo [a, b] Mostre que se f é decrescente em [a, b], então f éinjetiva [18] Mostre que a função f : R R definida por y = f(x) =x 3 éinjetiva [19] Considere a função f : (0, + ) (0, + ) x f(x) = 1 x Mostre que f é injetiva, sobrejetiva e, portanto, inversível Determine a lei de associação para f 1 [20] Considere a função f : R {0} R {0} x f(x) = 1 x Mostre que f é injetiva, sobrejetiva e, portanto, inversível Determine a lei de associação para f 1 [21] Seja f(x) = 3 x x Determine: 2

3 (a) h(x) =f (x 2 ) (f(x)) 2, (b) h(x) =f ( ) 1 1 x f(x), (c) h(x) =(f f)(x) [22] Use os gráficos de f e g dados na figura abaixo para determinar o valor de cada uma das expressões ou explique por que elas não estão definidas (a) f(g(2)), (b) g(f(0)), (c) (f g)(0), (d) (g f)(6), (e) (g g)( 2), (f) (f f)(4) [23] Para cada uma das funções abaixo, escreva h(x) =(f g)(x), com f e g funções diferentes da função identidade (a) h(x) =(x 3 +4x) 7, (b) h(x) =(x 2 x +1) 3, (c) h(x) = 4 1+2x + x 3, (d) h(x) =(1+x 4 ) 2/3, (e) h(x) =cos(a 3 + x 3 ), (f) h(x) =a 3 +cos 3 (x), (g) h(x) =e x cos(x), (h) h(x) = tg(cos(x)), (i) h(x) =1/(x 4 +1) 3, (j) h(x) = 3 1+tg(x) [24] Seja H : R R uma função tal que H(H(7)) = 7 Calcule (H H H) (7) }{{} 79 composições [25] A fórmula C = 5(F 32)/9, com F 45967, expressa a temperatura C em graus Celsius como uma função da temperatura F em graus Fahrenheit Encontre uma fórmula a função inversa e interprete-a Qual éodomínio da função inversa? [26] Use o gráfico da função f dado na figura a seguir para esboçar o gráfico da função inversa f 1 3

4 [27] Use o gráfico da função f dado na figura a seguir para esboçar o gráfico da função inversa f 1 [28] Use o gráfico da função f dado na figura a seguir para esboçar o gráfico da função inversa f 1 Qual é o valor de f 1 (0)? [29] Na figura a seguir, os eixos x e y foram construídos usando uma mesma escala, P =(x, y) e Q =(y, x) y y x P M Q 0 x y x y = x 4

5 Mostre que o segmento de reta PQ é perpendicular a reta y = x e que os segmentos PM e MQ possuem a mesma medida Conclua que os gráficos de uma função inversível e de sua inversa são simétricos com relaçãoaretay = x, istoé, o gráfico de f 1 é obtido por uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x [30] Seja f : D C uma função inversível Mostre que se f é uma função crescente, então sua inversa f 1 : C D também é crescente [31] Seja f : D C uma função inversível Mostre que se f é uma função decrescente, então sua inversa f 1 : C D também é decrescente 5

6 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas Você deve escrevê-las! [01] (a) Sim, a curva égráfico de uma função que depende de x O domínio da função éoconjunto [ 3, 2 ] e sua imagem é o conjunto [ 2, 2] (b) Não, a curva não égráfico de uma função que depende de x, pois a reta vertical x =0 intercepta a curva em dois pontos (c) Não, a curva não égráfico de uma função que depende de x, pois a reta x = 1 intercepta a curva em mais de um ponto (na verdade, em infinitos pontos) (d) Sim, a curva égráfico de uma função que depende de x O domínio da função éoconjunto [ 3, 2 ] e sua imagem é o conjunto { 2} (0, 3] [02] (a) Temos que f(2 + h) = (h 2 +3h +2),f(x + h) =x + h x 2 2 xh h 2 e f(x + h) f(x) h =1 2 x h (b) Temos que f(2 + h) = 2+h x + h, f(x + h) = 3+h x + h +1 e f(x + h) f(x) h = 1 (x + h +1)(x +1) [03] f(a) =a 2, f(f(a)) = a 4 e f(f(f(a))) = a 8 [04] Temos que f(f(a)) = (a2 +1) 2 a 4 +2a 2 +2, g(g(a)) = 4 a +9, f(g(a)) = 1 (2 a +3) 2 +1 e g(f(a)) = 3 a2 +5 a 2 +1 [14] (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Falsa (d) Falsa Como contraexemplo, considere f(x) =x definida em D = R {0} [21] (a) y = h(x) =(6x 2x 2 6)/(x 2 ), com D h = R {0} (b) y = h(x) =(9x 3x 2 3)/(3 x), com D h = R {0, 3} (c) y = h(x) =(4x 3)/(3 x), com D h = R {0, 3} [22] (a) 4, (b) 3, (c) 0, (d) não está definida, pois f(6) = 6 não está nodomínio de g, (e)4,(f) 2 [23] (a) f(x) =x 7 e g(x) =x 3 +4x, (b) f(x) =x 3 e g(x) =x 2 x +1, (c) f(x) = 4 x e g(x) =1+2x + x 3, (d) f(x) =x 2/3 e g(x) =1+x 4, (e) f(x) =cos(x) eg(x) =a 3 + x 3, (f) f(x) =a 3 + x 3 e g(x) =cos(x), (g) f(x) =e x e g(x) =x cos(x), (h) f(x) =tg(x) eg(x) =cos(x), (i) f(x) =1/x 3 e g(x) =x 4 +1, (j)f(x) = 3 x e g(x) =1+tg(x) [24] (H H H) (7) = 7 }{{} 79 composições [25] F = 9 C/5 + 32; esta fórmula expressa a temperatura em graus Fahrenheit como uma função da temperatura em graus Celsius; o domínio da função inversa é o intervalo [ 27315, + ) 6

7 [26] Um esboço do gráfico da função inversa f 1 de f édadonafiguraaseguir [27] Um esboço do gráfico da função inversa f 1 de f édadonafiguraaseguir [28] Um esboço do gráfico da função inversa f 1 de f é dado na figura a seguir Como f( 1) = 0, segue-se que f 1 (0) = 1 [30] Sejam y 1,y 2 C, comy 1 <y 2 Comof é bijetiva, existem únicos x 1,x 2 D tais que f(x 1 )=y 1 e f(x 2 )=y 2 Uma vez que f é uma função, certamente x 1 x 2 Logo, x 1 <x 2 ou x 1 >x 2 Como f é crescente, não pode ocorrer x 1 >x 2 pois, caso contrário, teríamos: x 1 >x 2 x 2 <x 1 f(x 2 ) <f(x 1 ) y 2 <y 1, 7

8 uma contradição Assim, y 1 <y 2 x 1 <x 2 Mas x 1 = f 1 (y 1 )ex 2 = f 1 (y 2 ) Seguese então que x 1 < x 2 f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ) Mostramos assim que para todo y 1,y 2 C, y 1 <y 2 f 1 (y 1 ) <f 1 (y 2 ) Isto mostra que f 1 é uma função crescente Texto composto em L A TEX2e, HJB, 19/06/2012 8