SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM. Nome legível: Assinatura:

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1 SEGUNDA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Matemática Básica Humberto José Bortolossi Nome legível: Assinatura: [01] (2.0) Resolva a desigualdade 1 x 2 2 x 3 0 usando a técnica do quadro de sinais. Dê sua resposta usando a notação de intervalos. Observação: esta desigualdade tem origem em um problema de Cálculo I -A-. Solução. Temos que 1/x 2 2/x 3 = (x 2)/x 3. Fazendo o estudo do sinal, temos: Assim, 1/x 2 2/x 3 0 se, e somente se, x ], 0[ [2, + [. 1

2 [02] (a) (0.5) Prove [PA21]: a, b R, (a + b) = a b. Lembre-se: você só pode usar os axiomas e as propriedades anteriores. Solução. Temos que (a + b) [PA13] = ( 1) (a + b) (C4) = ( 1) a + ( 1) b [PA13] = a b. (b) (1.5) Prove [PO02]: a, b, c R, a < b a + c < b + c. Lembre-se: você só pode usar os axiomas e as propriedades anteriores. Solução. Temos que a < b (1) = b a > 0 = (2) b + 0 a > 0 = (3) b + (c c) a > 0 (4) = (b + c) (c + a) > 0 = (5) (b + c) (a + c) > 0 (6) = a + c < b + c, onde, em (1) usamos a definição de <, em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em (6) usamos a definição de <. 2

3 [03] (a) (0.5) O que representam os símbolos 3 7 e 3 7? Dê as definições. Solução. 3 7 representa o único número real a tal que a elevado a 3 dá 7: a 3 = representa o único número real b tal que b elevado a 3 dá 7: b 3 = 7. (b) (1.0) Usando as definições que você deu no Item (a), prove que 3 7 = 3 7. Solução. Se mostrarmos que c = 3 7 é tal que c 3 = 7, por unicidade, teremos que b = c, isto é, 3 7 = 3 7. Agora: c 3 = ( 3 7) 3 = ( 1) 3 ( 3 7) 3 = a 3 = 7. 3

4 [04] (a) (0.5) Quando uma função f : ], 0[ R é descrescente? Dê a definição. Solução. Dizemos que f : ], 0[ R é decrescente se, para todo x 1, x 2 ], 0[, x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). (b) (1.5) Usando a definição que você deu no Item (a), prove que f : ], 0[ R definida por f(x) = 1/x é decrescente. Note que a função está definida no conjunto dos números reais negativos! Solução. Devemos mostrar que, para todo x 1, x 2 ], 0[, se x 1 < x 2, então 1/x 1 > 1/x 2. Agora, como x 1 e x 2 são números negativos, vale que: x 1 < x 2 1 > x 2 x 1 1 x 2 < 1 x 1 1 x 1 > 1 x 2. 4

5 [05] (a) (0.5) O que representam os símbolos ln(π 2 ) e 2 ln(π)? Solução. ln(π 2 ) representa o único número real c tal que e c = π 2. 2 ln(π) representa o dobro do número ln(π). ln(π), por sua vez, representa o único número real d tal que e d = π. (b) (1.0) Usando as definições que você deu no Item (a), prove que ln(π 2 ) = 2 ln(π). Solução. Seja p = 2 ln(π). Se mostrarmos que e p = π 2, por unicidade, teremos que ln(π 2 ) = 2 ln(π). Agora: e p = e 2 ln(π) = (e ln(π) ) 2 = π 2. 5

6 [06] (1.0) Faça um esboço dos gráficos das funções f(x) = x 1/2, g(x) = x 1/3 e h(x) = x 2 em um mesmo sistema de eixos coordenados. No seu desenho você deve deixar bem claro qual gráfico é de qual função. y 2 h(x) = x 2 f(x) = x 1/2 1 g(x) = x 1/ x 1 Texto composto em L A TEX2e, HJB, 16/03/

7 R é um corpo O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) e multiplicação ( ) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades: (C1) Fechamento: a + b R e a b R, a, b R. (C2) Comutatividade: a + b = b + a e a b = b a, a, b, R. (C3) Associatividade: a +(b + c) =(a + b)+c e a (b c) =(a b) c, a, b, c R. (C4) Distributividade: a (b + c) =a b + a c, a, b, c R. (C5) Existência dos elementos neutros: 0 R tal que a + 0 = a, a R. 1 R tal que a 1 = a, a R. (C6) Existência do elemento simétrico: a R, b R tal que a + b = 0. Notação: b = a. (C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero: a R {0}, b R tal que a b = 1. Notações: b = a 1 e b = 1/a. Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 1 R é ordenado Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos números reais positivos e designado por R +, que satisfaz as seguintes propriedades: (O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluem mutualmente: ou a é positivo, oua = 0 ou a é positivo. Em símbolos: se a R, então ou a R +,oua = 0ou a R +. (O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a, b R +, então a + b R + e a b R +. Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, que a R +. Diremos que um número real a é negativo se a é positivo. O conjunto dos números reais negativos será designado por R. Escrevemos a < 0 para indicar que a é um número negativo, isto é, que a R. Escrevemos a < b para indicar que b a > 0 e escreveremos a > b para indicar que b a < 0. Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 4 Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo 0 + a = a, a R. [PA03] 1 a = a, a R. [PA04] a + a = 0, a R. [PA07] (1/a) a = 1, a R {0}. [PA08] ( a) =a, a R. [PA09] 1/(1/a) =a, a R {0}. [PA10] (b + c) a = b a + c a, a, b, c R. [PA11] a 0 = 0 a = 0, a R. [PA12] ( 1) a = a = a ( 1), a R. [PA13] (a b) =( a) b = a ( b), a, b R. [PA14] ( a) ( b) =a b, a R. [PA15] (a b)/c = a (b/c) =(a/c) b, a, b R, c R {0}. [PA16] (1/a) =( 1)/a = 1/( a), a R {0}. [PA17] 1/(a b) =(1/a) (1/b), a, b R {0}. [PA18] (a b)/(c d) =(a/c) (b/d), a, b R, c, d R {0}. [PA19] (a + b)/c = a/c + b/c, a, b R, c R {0}. [PA20] Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 2 Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado a R, oua > 0, ou a = 0oua < 0 (tricotomia). [PO01] a, b, c R, a < b a + c < b + c. [PO02] a, b R, c > 0, a < b a c < b c. [PO03] a, b R, c < 0, a < b a c > b c. [PO04] a, b, c R, a < b e b < c a < c. [PO05] a, b R, oua < b, oua = b ou a > b. [PO06] a, b, c R, a < b a + c < b + c. [PO07] a R {0}, (i) a > 0 1/a > 0 e (ii) a < 0 1/a < 0. [PO08] a, b R, c > 0, a < b a c < b c. [PO09] a, b R, c < 0, a < b a c > b c. [PO10] a, b R, (i) a < b a > b e (ii) a > b a < b. [PO11] a, b R, a b > 0 (a > 0eb > 0) ou (a < 0eb < 0). [PO12] a, b R, a b < 0 (a > 0eb < 0) ou (a < 0eb > 0). [PO12] a R, a 0 a 2 > 0. [PO16] Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 5 Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo (a + b) = a b, a, b R, c, d R {0}, a, b R. [PA21] ((a + b)/c) =( a b)/c, a, b R, c R {0}. [PA22] 1/(a/b) =b/a, a, b R {0}. [PA23] (a/b)/(c/d) =(a/b) (d/c), a R, b, c, d R {0}. [PA24] a, b, c R, a = b a c = b c. [PA25] a, b, c R, a + c = b + c a = b. [PA27] a, b R, c R {0}, a c = b c a = b. [PA28] a, b R, a b = 0 a = 0oub = 0. [PA29] a, b, c R, a c = b c a = b ou c = 0. [PA30] a, c R, b, d R {0}, (a/b) =(c/d) a d = b c. [PA31] Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 3