: p, q Z,q = 0} Os números racionais têm uma expansão decimal finita ou periódoca (os decimais são repetidas): 1 2 =0, 5 ; 2

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1 Capítulo Números reais. Álgebra dos números reais.. O conjunto R Neste curso vamos sempre se referir aos números reais cujo conjunto se nota R. Principais subconjuntos de R: conjunto dos números naturais N = {0,,,...} conjunto dos números inteiros Z = {0, ±, ±,...} conjunto dos números racionais Q = { p q : p, q Z,q = 0} N Z Q R Os números racionais têm uma expansão decimal finita ou periódoca (os decimais são repetidas): =0, 5 ; =0, Um número tal que sua expansão decimal é infinita e não periódica é chamado de número irracional. Exemplos. não é racional (mostre que = p q com p, q N ), π = 3, , e =, , ϕ = + 5 onúmerodeouro. Auniãodosconjuntosdosnúmerosracionaisedosnúmerosirracionaiséo conjunto dos números reais R. Semprequefalarmosemnúmero,semqualquer qualificação, entendemos tratar-se de número real. 5

2 6 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS.. Operações Os números reais vêm com as operações algébricas de adição (denotada +) e de multiplicação ou produto (denotado ou. ou sem notação), que satisfazem as propriedades: Fechamento: a, b R : a + b R, ab R (expl:, R ; + R) Comutatividade: a, b R : a + b = b + a, ab = ba Distributividade: a, b, c R : a(b + c) = ab+ bc Associatividade: a, b, c R : a +(b + c) =(a + b)+c, a(bc) =(ab)c Além disso, temos opostos (pela adição): para qualquer a R existe um único número b tal que a + b =0,chamadodoopostodea edenotado a: a R,! a R tal que a + ( a) = 0 Assim como inversos (pelo produto): para qualquer a R não nulo, existe um único número b tal que ab =,chamadodoinversodea edenotado a ou a : a R, a = 0, a Rtalqueaa =. Observação. OconjuntodosnúmerosracionaisQ também possui essas propriedades, mas não N, nemz ( N, / N ; Z, / Z). Com isso definimos a subtração (denotada ) e a divisão ou quociente (usamos a escritura fracionaria ou exponencial): a b := a +( b) a b := ab, b = 0..3 Expoentes, regras de cálculo Expoentes inteiros Por n um número natural e a um número real, introduzimos a notação a n = aa a n para designar o produto de a com se-mesmo n vezes. Por convenção, definimos a 0 := por qualquer a não nulo. Temos as seguintes propriedades: a n a m = a n+m

3 .. ÁLGEBRA DOS NÚMEROS REAIS 7 (a m ) n = a mn a n b n =(ab) n Estendemos a notação aos números inteiros escrevendo por a não nulo a o inverso de a. Seaplicaentãoasmesmasregrasdecálculo,emparticularquando a = 0temos an a m = a(n m). Exemplos. Reduza numa fração inteira: a) 3 = 3 = 9 b) =3 (3.) 4 =3 ( 4) 4 = 4 3 = 6 9 Raizes e expoentes racionais Definição.. Sejam a e b dois números reais positivos e n um número inteiro (não nulo). Dizemos que b éaraiz enésima de a se temos b n = a. Denotamos esse número b por n a ou por a n. Observação. Apositividade de b força a unicidade da raiz de a quando n é n b par. Com efeito, b n = c n = b = ±c se n par. Veremos logo como c expressar isso por meio de valor absoluto. Notação. Quando n =escrevemos a em vez de a echamamos-laderaíz quadrada de a. Definição.. Por um número positivo a, escrevemosa p q para designar o número (a p ) q. com p Z e q N Para todos a, b R positivos, p Z e q N e r, r propriedades: Q, temos as a p q =(a p ) q =(a q ) p a n a m = a n+m (a n ) m = a nm (ab) n = a n b n an b m = an b m

4 8 CAPÍTULO. NÚMEROS REAIS. Geometria dos números reais.. Reta dos números reais Os números reais têm uma representação simples e muito útil, por meio dos pontos de uma reta orientada. Escolhemos um ponto qualquer da reta e a ele associamos o número zero; esse ponto é chamado de origem. Escolhemos em seguida uma unidade de comprimento e ordenamos os números reais sobre a reta associando a um ponto P amedidaalgébricadosegmentoorientadoop em função da unidade. O número x que marca o ponto P échamadoabscissa de P., 75 π Asemi-retadaorigemparaadireita(resp. aesquerda)constituiosubconjunto dos números positivos (resp. negativos). Observação. Écostumedesignarumnúmerox pelo ponto que o representa. Daí falarmos, freqüentemente, em ponto x em vez de número x. Observação. Os números racionais Q não enchem totalmente a reta mas é impossível de ver isso (literalmente, no entanto se demonstra...). De fato, os números reais são definidos para encher a reta. Essa propriedade chama-se de completude, éprecisaparabemdefiniroconceitodelimite. Exercício.. Coloque na reta dos números reais os números: 3 4,e,5 3, 3, π... Relação de ordem e valor absoluto Devido as propriedades do subconjunto dos números positivos, uma relação de ordem é definida sobre o conjunto R. Definição.3. Relações de desigualdades estritas e não estritas, por a, b R: a b (a émaiorouigualab) a b épositivoounulo a>b(a émaiorqueb) a b épositivo a b (a émenorouigualab) b a épositivoounulo a<b(a émenorqueb) b a épositivo

5 .. GEOMETRIA DOS NÚMEROS REAIS 9 Observação. Osímbolodesigualtemasmesmaspropriedadesqueosímbolo igual exceto no caso da multiplicação de ambos lados por um número negativo. Com efeito, temos por exemplo:. a b c.a c.b, se c 0 c.a c.b, se c<0 Igualmente, define-se o valor absoluto de um número real como a parte positiva da grandeza associada. Definição.4. Ovalorabsolutodea um número real é a se a 0 a = a se a<0 Ovalorabsolutopodeseinterpretaremtermosdedistancia entre os pontos a e b sobre a reta dos números reais. Proposição. Para todo número real a, a = a Demonstração. Uma vez que a =(+a) =( a ),osnúmeros+a e a são raízes quadradas de a ecomo a denota a raiz quadrada positiva de a, tem-se que a =+a se 0 e a = a se a<0. Observação. Temos a propriedade a >b a > b a > b pois a e b são positivos. Observe que seria errado escrever x > 4 x>, porquenão temos informação prévia de que x seja positivo (experimenta com x = 3). Exercício.. Resolva x 3 =4. Exercício.3. Resolva 3x = 5x Intervalos Os intervalos são subconjuntos infinitos de números reais que correspondem asegmentosou(semi-)retas(semi-)abertosou(semi-)fechados. Porexemplo, dado dois números a e b, coma<b,chamamosintervalo aberto de extremos a e b oconjunto{x R : a<x<b} de todos os números compreendidos estritamente entre a e b. Utilizaremos a notação dos segmentos introduzindo os símbolos e + para designar as (semi-)retas: