Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c

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1 Números Reais Víctor Arturo Martínez León 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais é denotado por Q, assim: { a } Q = b ; a, b Z, b 0 onde Z indica o conjunto dos números inteiros: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}, Indicamos, ainda por N o conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3,...}. Observamos que N Z Q, isto é, todo número natural é também inteiro, e todo número inteiro é também número racional. Sejam a b e c dois racionais quaisquer. A soma e o produto destes racionais são obtidos d da seguinte forma: a b + c ad + bc = d bd a b c d = ac bd. A operação que a cada par de números racionais associa a sua soma denomina-se adição, e a que associa o produto denomina-se multiplicação. a O número racional b se diz positivo se a b N; se a b N e a 0, então a b estritamente positivo. se diz Sejam r e s dois racionais, dizemos que r é estritamente menor que s (ou que s é estritamente maior que r) e escrevemos r < s (respectivamente s > r) se existe um racional t estritamente positivo tal que s = r + t. A notação r s (leia: r menor ou igual a s ou simplesmente r menor a s) é usada para indicar a afirmação r < s ou r = s. A notação r s (leia: r maior ou igual a s ou simplesmente r maior a s) é equivalente a s r. Observe que r positivo equivale a r 0. Se r 0, dizemos que r é negativo. A quádrupla (Q, +,, ) satisfaz as seguintes propriedades: Sejam x, y, z Q então temos Associativa (A1) (x + y) + z = x + (y + z) Comutativa (A2) x + y = y + x (M1) (xy)z = x(yz). (M2) xy = yx. 1

2 Existência de elemento neutro (A3) x + 0 = x (M3) x 1 = x, onde 1 0. Existência de oposto (A4) Para todo racional x existe um único racional y tal que x + y = 0. Tal y denomina-se oposto de x e denota-se por x. Assim x + ( x) = 0. Existência de inverso (M4) Para todo racional x 0 existe um único racional y tal que x y = 1. Tal y denomina-se inverso de x e denota-se por x 1 ou 1 x. Assim x x 1 = 1. Distributiva da multiplicação em relação à adição (D) x(y + z) = xy + xz. Reflexiva (O1) x x. Anti-simétrica (O2) x y e y x então x = y. Transitiva (O3) x y e y z então x z. Comparáveis (O4) Quaisquer que sejam os racionais x e y x y ou y x. Compatibilidade da ordem com a adição (OA) x y então x + z y + z. (Somando-se ambos os membros de uma desigualdade um mesmo número, o sentido da desigualdade se mantém.) Compatibilidade da ordem com a adição (OM) x y e 0 z então xz yz. (Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade um mesmo número positivo, o sentido da desigualdade se mantém.) Observação: Seja K um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos e suponhamos que em K estejam definidas duas operações indicadas por + e ; se a terna (K, +, ) satisfazer as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4) e (D), diremos que (K, +, ) é um corpo. Se, além disso, em K estiver definida uma relação ( ) de modo que a quádrupla (K, +,, ) é um corpo ordenado. Segue que (Q, +,, ) é um corpo ordenado; entretanto, (Z, +,, ) não é corpo ordenado, pois (M4) não se verifica. Os números racionais podem ser representados geometricamente por pontos de uma reta. Para isto, escolhem-se dois pontos distintos da mesma, um representando o 0 e o outro o 1. Tomandose o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, marcam-se os representantes dos demais números racionais. 2

3 Se o ponto P for o representante do número racional r, diremos que r é a abscissa de P. Na figura anterior, 1 é a abscissa de A; 5 é a abscissa de B. 2 Lembre-se que a equação x 2 = 2 não admite solução em Q. Vejamos agora, como construir um ponto da reta que não tenha abscissa racional. Pela teorema de Pitágoras, d 2 = = 2 (veja figura anterior); assim a abscissa de P deveria ser d que não é número racional. Admitiremos que todo ponto da reta tem uma abscissa x; se x não for racional, diremos que x é irracional. O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais que será denotado por R. 2 Os números reais Observe que Q R, isto é, todo número racional é um número real. Os números reais que não são racionais denominam-se irracionais. Em R estão definidas duas operações, adição (+) e multiplicação ( ) e uma relação ( ). A adição associa a cada par (x, y) de números reais um único número real denotado por x + y, a multiplicação, um único real denotado por x y. As operações de adição e multiplicação definidas em R, quando restritas a Q, coincidem com as operações de adição e multiplicação de Q; o mesmo acontece com a relação ( ). Admitiremos que a quádrupla (R, +,, ) é um corpo ordenado, isto é, satisfaz todas as 15 propriedades listadas na seção anterior: (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM). Exemplo 1. Quaisquer que sejam os reais x, y, z, w e x y } então x + z y + w. z w (Somando-se membro a membro desigualdades de mesmo sentido, obtém-se outra de mesmo sentido.) Como observamos anteriormente, a adição associa a cada par de números reais um único número real; assim, se x = y e z = w, então x + z = y + w; em particular, se x = y, então x + z = y + z para todo z, o que significa que, somando a ambos membros de uma igualdade um mesmo número, a igualdade se mantém. 3

4 Exemplo 2. (Lei do cancelamento) Quaisquer que sejam os reais x, y, z x + z = y + z então x = y. Exemplo 3. Quaisquer que sejam os reais x, y, z, w e 0 x y } então x z y w. 0 z w (Multiplicando-se membro a membro desigualdades de mesmo sentido e de números positivos, obtém-se desigualdade de mesmo sentido.) Propriedades: Quaisquer que sejam os reais x, y, z, w tem-se a) x < y se, e somente se, x + z < y + z b) z > 0 se, e somente se, z 1 > 0 c) z > 0 se, e somente se, z < 0 d) Se z > 0 e x < y se, e somente se, x z < y z e) Se z < 0 e x < y se, e somente se, x z > y z. (Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, o sentido da desigualdade muda.) f) e 0 x < y 0 z < w } então x z < y w. g) 0 < x < y se, e somente se, 0 < 1 y < 1 x h) (Tricotomia) Uma e somente uma das condições abaixo se verifica x < y ou x = y ou x > y. i) (Anulamento do produto) xy = 0 se, e somente se, x = 0 ou y = 0. (Um produto é nulo se e somente se um dos fatores for nulo) Exemplo 4. Suponha x 0 e y 0. Prove: a) x < y então x 2 < y 2. b) x y então x 2 < y 2. c) x < y se, e somente se, x 2 < y 2. Exemplo 5. Resolva a inequação 5x + 3 < 2x + 7. Exemplo 6. Estude o sinal da expressão x 3. Exemplo 7. Estude o sinal de x + 3 x 2. Exemplo 8. Resolva a inequação 2x + 1 x 4 < 0. Exemplo 9. Resolva a inequação 3x 1 x

5 3 Módulo de um número real Sejam x R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por: { x, x 0 x = x, x < 0 Note que x 0 para todo x R. Exemplo = 5, 2 = 2 e 3 = 3. Exemplo 11. Mostre que, para todo x R, x 2 = x 2. Lembrando que a indica a raiz quadrada positiva de a (a 0). Segue do anterior que x 2 = x. Exemplo 12. Suponha que a > 0. Resolva a equação x = a. Exemplo 13. Resolva a equação 2x + 1 = 3. Sejam x, y R quaisquer. Definimos a distância de x e y por x y. Sendo P e Q os pontos do eixo Ox de abscissa x e y, e u o segmento de extremidades 0 e 1, x y é a medida, com unidade u, do segmento P Q. De x = x 0, segue que x é a distância de x a 0. Seja r > 0; o próximo exemplo nos diz que a distância de x a 0 é menor que r se, somente se, x estiver compreendido entre r e r. Exemplo 14. Suponha r > 0. Mostre que x < r se e somente r < x < r. Exemplo 15. Resolva a inequação x < 3. Exemplo 16. Elimine o módulo em x p < r (r > 0). Exemplo 17. Mostre que quaisquer que sejam os reais x e y xy = x y. (O módulo de um produto é igual ao produto dos módulos dos fatores) Exemplo 18. (Desigualdade triangular) Quaisquer que sejam os reais x e y x + y x + y. (O módulo de uma soma é menor igual à soma dos módulos das parcelas) Exemplo 19. Elimine o módulo em x x

6 4 Intervalos Sejam a, b R com a < b. Um intervalo em R é um subconjunto de R que tem uma das seguintes formas: [a, b] = {x; a x b} ]a, b] = {x; a < x b} [a, b[= {x; a x < b} ]a, b[= {x; a < x < b} ], b[= {x; x < b} Observação: não é um número, é um simbolo. ], b] = {x; x b} ]a, + [= {x; a < x} [a, + [= {x; a x} ], + [= R. Os intervalos ]a, b[, ], a[, ]a, + [ e ], [ são denominados intervalos abertos; [a, b] denomina-se intervalo fechado de extremidades a e b. Exemplo 20. Expresse o conjunto {x R; 2x 3 < x + 1} em notação de intervalo. 5 Propriedades dos intervalos encaixantes e propriedades de Arquimedes A seguir destacaremos duas propriedades fundamentais dos números reais: Propriedade Arquimediana: Se x > 0 e y R então existe n N tal que nx > y. Propriedade dos intervalos Encaixantes: Seja [a 0, b 0 ], [a 1, b 1 ],...,[a n, b n ],... uma sequência de intervalos satisfazendo as condições: i) [a 0, b 0 ] [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ]... ii) Para todo r > 0, existe n N tal que b n a n < r. então existe um único α R tal que a n α b n para todo n N. Para mostrar isto primeiro vejamos: Definição 1. Seja A R. O maior elemento de A, quando existe, é chamado de máximo de A e indica-se por max A. O menor elemento de A, quando existe, é chamado de mínimo de A e indica-se por min A. Dizemos que m é uma cota superior de A se x m para todo x A. Dizemos que m é uma cota inferior de A se m x para todo x A. Exemplo 21. Seja A = {1, 2, 3} a) min A = 1 e max A = 3 6

7 b) 3, 10, 100 são cotas superiores de A e 0, 1, 1 são cotas inferiores de A. 3 Exemplo 22. Seja A = [1, 2[ um intervalo. a) min A = 1 b) A não tem máximo. c) Todo número m 1 é uma cota inferior de A. d) Todo número m 2 é uma cota superior de A. Um conjunto A pode não admitir máximo, entretanto, poderá admitir uma menor cota superior. Por exemplo, o intervalo [1, 2[ não admite máximo, mas admite uma menor cota superior que é 2. Definição 2. A menor cota superior de um conjunto A, quando existe, é chamado supremo de A e indica-se por sup A. É claro que se A admitir máximo m então m = sup A. Entretanto, A poderá não admitir máximo, mas admitir supremo; por exemplo A = [1, 2[ não tem máximo, mas admite supremo sup A = 2. Definição 3. A maior cota inferior de um conjunto A, quando existe, é chamado ínfimo de A e indica-se por inf A. Se A admitir uma cota superior então diremos que A é limitado superiormente. Se A admitir uma cota inferior então diremos que A é limitado inferiormente. Axioma do Supremo: Todo subconjunto de números reais, não vazio e limitado superiormente admite supremo. Pelo fato de R satisfazer esta propriedade do supremo, diremos que R é um corpo ordenado completo. Demonstração da Propriedade Arquimediana: Suponhamos por absurdo, que para todo n N, nx y. Consideremos A = {nx; n N}, note que A (pois 1 x = x A) e limitado superiormente por y. Logo pelo Axioma do Supremo, admite sup A = s. Como x > 0 e s x < s então s x não é cota superior de A, logo existe m N tal que s x < mx assim s < (m + 1)x que é uma contradição, pois s = sup A e (m + 1)x A. Exemplo 23. a) Para todo x > 0, existe n N tal que x < 1 n. b) Para todo x R, existe n N tal que n > x. Exemplo 24. Prove que se A é não vazio e limitado inferiormente então A admite ínfimo. Demonstração da Propriedade dos intervalos encaixantes: Temos pela propriedade (i) a 0 a 1... a n b n b n 1... b 0. Seja A = {a n ; n R}, A e limitada superiormente pois todo b n é cota superior de A. Assim existe α = sup A. Como α é a menor cota superior então a n α b n para todo n R. 7

8 Se β for outro real tal que a n β b n para todo n R, então α β b n a n para todo n N ( ), agora como α β então α β > 0 logo pela propriedade (ii), existe m N tal que β α 2 > b m a m. Dali usando ( ) tomando n = m temos que o qual é absurdo. β α b m a m < β α, 2 References [1] Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, 5 edição