Semana 2. Primitivas. Conjunto das partes. Produto cartesiano. 1 Teoria ingênua dos conjuntos. 2 Axiomática ZFC de conjuntos. 4 Conjuntos numéricos

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1 Semana 2 1 Teoria ingênua dos conjuntos 2 Axiomática ZFC de conjuntos 3 4

2 Semana 2 1 Teoria ingênua dos conjuntos 2 Axiomática ZFC de conjuntos 3 4

3 e pertinência Conjunto é entendido como uma coleção de entidades, ou objetos, chamados de elementos do conjunto e eles mesmos podem ser conjuntos. Um elemento x pertence ao conjunto A se x é um elemento de A o que é denotado por x A e escrevemos a negação como x A.

4 Igualdade de conjuntos e Conjunto vazio Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Há um (único) conjunto sem elementos, denotado por e chamado de conjunto vazio.

5 Especificação de conjuntos lista entre chaves separados por vírgulas. { 2, 3, 5, 7 }, { { A }, { B }, { C }, { D }, { F }, { O } }

6 Especificação de conjuntos lista entre chaves separados por vírgulas. { 2, 3, 5, 7 }, { { A }, { B }, { C }, { D }, { F }, { O } } As vezes, abreviamos usando... { 0, 2, 4, 6,... },

7 Especificação de conjuntos lista entre chaves separados por vírgulas. { 2, 3, 5, 7 }, { { A }, { B }, { C }, { D }, { F }, { O } } As vezes, abreviamos usando... { 0, 2, 4, 6,... },

8 Especificação de conjuntos lista entre chaves separados por vírgulas. { 2, 3, 5, 7 }, { { A }, { B }, { C }, { D }, { F }, { O } } As vezes, abreviamos usando... { 0, 2, 4, 6,... }, { 3, 5, 7,... }?

9 Especificação de conjuntos lista entre chaves separados por vírgulas. { 2, 3, 5, 7 }, { { A }, { B }, { C }, { D }, { F }, { O } } As vezes, abreviamos usando... { 0, 2, 4, 6,... }, { 3, 5, 7,... }? por compreensão, damos uma regra de como gerar todos os seus elementos A = { x: P(x) } a A é verdadeiro se e só se, P(a) é verdadeiro. Por exemplo, o conjunto dos números naturais primos { x N: x > 1 e y, z N(yz = x y = 1 z = 1) }.

10 Exercício: Assuma que x, P(x) é logicamente equivalente a x, Q(x). { x : P(x) } = { x : Q(x) }?

11 A é subconjunto de B, se, e só se, é verdadeira a sentença Notação: A B x(x A x B). A é subconjunto próprio de B, se, e só se, é verdadeira a sentença: A B e A B Notação: A B

12 Notação: A B para A é não é subconjunto de B. Exercício: A B x(x A e x B) A = B A B e B A. Exercício: Para qualquer conjunto A, A.

13 O conjunto das partes do conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Notação: 2 A ou (A). Exercício: 2 { a }? 2? 2 { }?

14 básicas União: A B = {x: x A ou x B}

15 básicas União: A B = {x: x A ou x B} Intersecção A B = {x: x A e x B}.

16 básicas União: A B = {x: x A ou x B} Intersecção A B = {x: x A e x B}. Diferença A \ B = {x: x A e x B}.

17 básicas União: A B = {x: x A ou x B} Intersecção A B = {x: x A e x B}. Diferença A \ B = {x: x A e x B}. Diferença simétrica A B = {x: x A B e x A B}.

18 Algumas propriedades Seguem das equivalências lógicas notáveis 1 A B = B A 2 A (B C) = (A B) (A C) 3 C \ (A B) = (C \ A) (C \ B) + na pág. 124 do Rosen

19 Exercício: Seja R um conjunto de conjuntos. Denote por R a união dos elementos de R. Por exemplo, se A = { X, Y, Z }, por exemplo, então A = X Y Z. Tome R = { { { 1 }, { 1, 2 } }, { { 1 }, { 1, 3 } }, { { 2 }, { 2, 3 } } }. Escreva os conjuntos R e R.

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21 Axiomas ZFC Axioma da existência Existe um conjunto que não tem elementos. Na linguagem formal a x(x a). Axioma da extensionalidade Quaisquer dois conjuntos com os mesmos elementos são iguais. Na linguagem formal a b(( x(x a x b)) a = b).

22 Axiomas ZFC Axioma do par Dados conjuntos y e z existe o conjunto formado somente por tais elementos { y, z }. y z a x(x a x = y x = z). Axioma da união Para qualquer conjunto z existe o conjunto z formado pela união dos elementos de z. z a x(x a y(x y y z)). Exercício: Dados os conjuntos A e B, forme A B.

23 Axiomas ZFC Axioma das partes Para qualquer conjunto y, existe o conjunto a tal que x a se, e só se, x y. y a x(x a z(x x z y)). Axioma do infinito Existe um conjunto indutivo; tem como elemento e, se x é elemento, também é x { x }. a( a x(x a x { x } a))

24 Axiomas ZFC Axioma da especificação De um conjunto y e um predicadop, formamos o conjunto { x y: P(x) }. y a x(x a x y P(x)).

25 Axiomas ZFC A definição de união { x: x A x B } não se enquadra. Se x é não vazio então { x = y } x: z x, y z. Não temos mais o paradoxo de Russell pois se S = { x U: x x } então S S se e só se S U e S S o que não é contraditório. não há conjunto universo: Teorema. y x(x y).

26 Axiomas ZFC Axioma da fundação Cada conjunto não vazio a tem um elemento b com a b =. Axioma da substituição Dado um conjunto x e um predicado R(s, t) com a propriedade s!tr(s, t), existe o conjunto z tal que y z se, e só se, existe w x para o qual R(w, y) é verdadeiro.

27 Axiomas ZFC O último axioma é controverso para alguns. Embora pareça coerente há decorrências não intuitivas. Axioma da escolha Para qualquer conjunto x formado de conjuntos não-vazios, existe uma função f que atribui para cada y x um f(y) y. ou Dado qualquer conjunto x de conjuntos não vazios e dois-a-dois disjuntos, existe pelo um conjunto z que contém exatamente um elemento em comum com cada um dos conjuntos em x.

28 Par ordenado Definição: (a, b) = { { a }, { a, b } }.

29 Par ordenado Definição: (a, b) = { { a }, { a, b } }. Exercício: Verifique que a definição acima satisfaz a propriedade fundamental de par ordenado se (a, b) = (x, y) então a = x e b = y. Conclua que se a b então (a, b) (b, a).

30 A e B são conjuntos não vazios. Vamos definir o conjunto A B que contém os partes ordenados (x, y) com x A e y B.

31 A e B são conjuntos não vazios. Vamos definir o conjunto A B que contém os partes ordenados (x, y) com x A e y B. axiomas do par e da união: A B = { A, B } axioma das partes: (A B). Dados a A e b B, axioma do par: { a } e { a, b } axioma do par: { { a }, { a, b } } (A B). (A B).

32 A e B são conjuntos não vazios. Vamos definir o conjunto A B que contém os partes ordenados (x, y) com x A e y B. axiomas do par e da união: A B = { A, B } axioma das partes: (A B). Dados a A e b B, axioma do par: { a } e { a, b } axioma do par: { { a }, { a, b } } (A B). (A B). Portanto { { a }, { a, b } } ( (A B)). Especificando A B = { z ( (A B)): x, y(x A y B z = (x, y)) }

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34 Relações Se A e B são conjuntos, uma relação R com domínio A e contradomínio B é um subconjunto R A B. Se A = B escrevemos A 2 para A B e dizemos que R A 2 é uma relação sobre A, ou em A. Se R A B e (a, b) R escrevemos a R b.

35 Relações Exemplo: A = {1, 2, 3, 4} e R A A dada por R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (3, 1), (4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1)} Temos 1 R 1, 2 R 1, 2 R 2 e 3 R 4.

36 Relações Exemplo: < é uma relação sobre N. Ao invés de escrevermos (x, y) < escrevemos x < y. Temos 1 1, 2 1, 3 < 4.

37 Funções Uma relação R A B é uma função se para cada x A existe um único y B tal que (x, y) R. Em símbolos x A,!y A, (x, y) R.! abrevia existe e é único. Como y é único ganha um nome: imagem de x por R, denotado R(x). Escrevemos R: A B para R A B função.

38 Funções Exemplo: A função f que o axioma da escolha afirma existir é um subconjunto de x x, ou seja, f: x x, com a propriedade de que f(y) y, para todo y x.

39 Semana 2 1 Teoria ingênua dos conjuntos 2 Axiomática ZFC de conjuntos 3 4

40 Naturais N = { 0, 1, 2,... } 1 (associativa)(a + b) + c = a + (b + c) 2 (comutativa) a + b = b + a 3 (elemento neutro da adição) 0 é o único natural tal que a + 0 = 0 + a = a 4 (cancelamento da adição) Se a + c = b + c então a = b 5 Se a + b = 0 então a = b = 0. 6 (elemento neutro da multiplicação) m 1 = 1 m = m e 1 é único com essa propriedade. 7 (associativa)(m n) p = m (n p). 8 (comutativa) m n = n m.

41 Naturais 9 (cancelamento da multiplicação) Se mp = np e p 0 então m = n. 10 (multiplicação é distributiva com respeito a adição) (a + b) m = a m + b m. 11 Se m n = 0 então m = 0 ou n = Se m n = 1 então m = n = (reflexiva) a a. 14 (simétrica ) Se a b e b a então b = a. 15 (transitiva) Se a b e b c então a c. 16 a b ou b a. 17 (tricotomia) Vale uma e só uma das relações a = b, a < b, b < a.

42 Naturais 18 (compatibilidade com +) Se a b então a + c b + c. 19 (compatibilidade com ) Se a b então a c b c.

43 Naturais Princípio da Boa Ordem (PBO) Todo A N não-vazio tem um menor elemento, ou seja, existe a N tal que a A x A, a x.

44 Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Inteiros 1 (Associativa) a + (b + c) = (a + b) + c. 2 (Comutativa)a + b = b + a. 3 (Elemento neutro) a + 0 = a e 0 é o único com essa propriedade. 4 (Elemento inverso) a + ( a) = 0. 5 (Cancelativa) a + b = a + c b = c 6 (Troca de sinal) (a + b) = ( a) + ( b) = a b 7 (Associativa) a (b c) = (a b) c. 8 (Comutativa) a b = b a. 9 (Elemento neutro) a 1 = a e 1 é o único com essa propriedade.

45 10 (Distributiva) a (b + c) = a b + a c Inteiros 11 (Cancelativa b = c a b = a c a 0 e a b = a c b = c. 12 (Anulamento) se a b = 0 então a = 0 ou b = (Tricotomia) vale só um de a < b ou a = b ou b < a. 14 a b a + c b + c 15 se c N então a b a c b c. 16 a < b e b c a < c.

46 17 a b e b < c a < c. 18 a b a b. 19 a < b a > b. 20 Regras de sinal 1 a > 0 e b > 0 ab > 0 2 a < 0 e b < 0 ab > 0 3 a < 0 e b > 0 ab < 0 21 a b e c d a + c b + d. 22 a b e c < d a + c < b + d. 23 a a < b e c > 0 ac < bc 25 a < b e c < 0 ac > bc 26 ac bc e c < 0 a b Inteiros

47 Inteiros 27 a 0, ademais a = 0 se e só se a = a a a. 29 a = a. 30 ab = a b. 31 a b b a b. 32 a b a + b a + b. 33 a b a b a + b

48 Inteiros A Z não-vazio é limitado inferiormente se existe m Z (chamado cota inferior) tal que a A, m a. Exercício: Todo A Z não vazio e limitado inferiormente tem um elemento mínimo. Exercício: Para todos a, b Z com b 0, existe n Z tal que n b > a.

49 Exercícios: veja na página web e nas notas de aula.