1 A Álgebra do corpo dos números complexos

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1 Números Complexos - Notas de Aulas 1 1 A Álgebra do corpo dos números complexos 1.1 Preliminares Suponhamos fixado no plano um sistema retangular de coordenadas. Como usual, designaremos os pontos do planos pelas letras α, β, γ,..., e a notação (a, b) indicará o ponto de abscissa a e ordenada b e, portanto, anoataremos α = (a, b). Fixados oa pontos α = (a, b) e β = (c, d), chamaremos soma destes pontos o ponto cuja abscissa e ordenada são dadas, respectivamente, por a + c e b + d, isto é, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Chamaremos produto dos pontos α = (a, b) e β = (c, d) o ponto de abscissa ac bd e ordenada ad + bc, ou seja, (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc). Desta forma, temos definido duas operações algébricas sobre o conjunto de todos os pontos do plano, quais sejam, a soma(adição) e o produto acima. Nosso objetivo inicial é mostrar que estas operações satisfazem as mesmas propriedades satisfeitas pela soma e produto em R e Q, quais sejam: A) Propriedades da Adição A.1) Comutatividade É simples ver que (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) a, b, c, d R A.2) Associatividade Não há problema também em verificar que (a, b) + [(c, d) + (e, f)] = [(a, b) + (c, d)] + (e, f) a, b, c, d, e, f R A.3) Existência do elemento neutro Note que (a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b) a, b R e além disso (0, 0) é o único ponto que satisfaz tal propriedade. Como usual anotaremos 0 = (0, 0). A.4) Existência do simétrico Para cada ponto (a, b) existe um único ponto ( a, b) tal que (a, b) + ( a, b) = 0 e, daí, (a, b) = ( a, b). P) Propriedades do Produto P.1) Comutativa Tal como acima é simples verificar que (a, b)(c, d) = (c, d)(a, b) a, b, c, d R. P.2) Associatividade Dados pontos (a, b), (c, d) e (e, f) no plano teremos [(a, b)(c, d)](e, f) = (ac bd, ad + bc)(e, f) = (ace bde adf bcf, acf bdf + ade + bce) 1

2 e (a, b)[(c, d)(e, f)] = (a, b)(ce df, cf + de) = (ace adf bcf bde, acf + ade + bce bdf) o que prova a associatividade do produto. P.3) Existência do elemento neutro Basta observar que (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b) a, b R e além disso (1, 0) é o único ponto que satisfaz tal propriedade. Como sempre anotaremos 1 = (1, 0). P.4) Existência do inverso Consideremos β = (c, d) 0 e notemos que ( ) c (c, d) c 2 + d, d 2 c 2 + d 2 Logo, (c, d) 1 = ( c, c 2 +d 2 ) d c 2 +d. 2 = (1, 0) = 1. Temos, ainda, a propriedade que relaciona as duas operações acima, qual seja a distributividae. e D) Dados pontos (a, b), (c, d) e (e, f) no plano teremos [(a, b) + (c, d)](e, f) = (a + c, b + d)(e, f) = (ae + ce bf df, af + cf + be + de) (a, b)(e, f)+(c, d)(e, f) = (ae bf, af +be)+(ce df, cd+de) = (ae bf +ce df, af +be+cf +de o que prova a distributividade, isto é, quaiquer que sejam α, β e γ no plano teremos. [α + β]γ = αγ + βγ Ressaltamos que dado um ponto α no plano, α e α 1 representam, respectivamente, o simétrico e o inverso de α dados em A.4 e P.4 acima, isto é, α é o ponto que somado com α produz o elemento neutro da adição e α 1 é o ponto cujo produto com α resulta no elemento neutro do produto. Aproveitamos para introduzir as notações α β e α. Sendo α e β pontos β arbitrários no plano o ponto α + ( β) será indicado por α β. Sendo β 0 o ponto αβ 1 será indicado por α. β Definição 1 Chamaremos corpo dos números complexos o conjunto R 2 munido das operaçoes de soma e produto definidas acima. Tal corpo será indicado por C e cada elemento deste corpo será dito um número complexo. Teorema 2 Sejam α, β e γ números complexos com α 0. Então, a equação possui uma única solução em C. αx + β = γ Prova. Suponhamos x 1 e x 2 soluções da equação proposta. Então, teremos αx 1 + β = αx 2 + β α(x 1 x 2 ) = 0 x 1 x 2 = 0 x 1 = x 2. Para completar a prova basta notar que γ β α é solução da equação.(mostre!) 2

3 Teorema 3 A equação possui exatamente duas soluções em C. X = 0 Prova. Busquemos X = (a, b) um ponto que seja solução da equação proposta. Temos que X 2 = (a, b)(a, b) = (a 2 b 2, 2ab) e, portanto, X = (a 2 b 2, 2ab) + (1, 0) = (a 2 b 2 + 1, 2ab) e para que a equação seja satisfeita devemos ter a 2 b 2 +1 = 0 e 2ab = 0 o que só será satisfeito se a = 0 e b = 1 ou a = 0 e b = 1 o que nos fornece as duas soluções da equação, quais sejam (0, 1) e (0, 1). Observação 4 Salientamos que, doravante, o conjunto universo que trabalharesmos será o conjunto C, isto é, quando nada for dito estaremos sempre trabalhando no conjunto dos números complexos. 1.2 A inclusão de R em C Consideremos o conjunto K = {(a, 0), a R} C. É simples ver que as operações de soma e produto definidas em C induzem operações de soma e produto em K, já que, (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) e (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).. Temos ainda que, em K, estas operações satisfazem as propriedades apresentadas na seção anterior, isto é, soma é comutativa, associativa, possui elemento neutro e simétrico (em K) e a multiplicação também é comutativa, associativa, possui elemento neutro e todo elemento não-nulo possui inverso. Como em C vale ainda a distributividade, o que faz de K um subcorpo de C. Vejamos que tal subcorpo, a menos de representação, é o corpo dos números reais. Para tando, definimos a função f : R K por f(a) = (a, 0) a R. Podemos verificar, facilmente, que a função f é bijetora e satisfaz f(a + b) = f(a) + f(b) e f(ab) = f(a)f(b), isto é, f é um isomorfismo entre os corpos R e K, o que nos diz que, em se tratando de estrutura algébrica, a única diferença entre R e K é a forma como representamos seus elementos, o que nos permite escrever R = K C. Bem entendido, ao anotarmos, por exemplo, π C, temos em mente o número complexo (π, 0) C. Tal como enfatizado ao definirmos a função f acima, temos que, ab = (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) e a + b = (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) a, b R. 3

4 1.3 A unidade imaginária i Introduziremos, agora, uma forma de representarmos um número complexo que nos permitirá trabalhar as operações de soma e multiplicação de maneira mais natural e fugirmos da ambiguidade que pode surgir quando pensamos em um número complexo como um par ordenado. Comecemos indicando o número complexo (0, 1) pela chamada unidade imaginária, anotada por i, isto é, doravante escreveremos (0, 1) = i. Ao introduzirmos tal representação e usando a seção anterior temos ou ainda i.i = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = 1 i 2 = 1. Façamos, agora, o produto de um número real b por i. Vejamos bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b). Obtemos, assim, a nossa representação desejada, qual seja, (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi.(representação algébrica de um número complexo) È simples ver que, usando tal representação, a soma e multiplicação de dois números complexos podem ser feitas simplesmente usando a distributividade, por exemplo, (3 + 2i)(4 i) = 12 3i + 8i 2i.i = 14 5i. Observação 5 Dado o número complexo z = (a, b) = a + bi, os números reais a e b serão ditos, respectivamente, parte real e parte imaginária de z e serão anotados por R(z) = a e I(z) = b. Se R(z) = 0, z será dito um imaginário puro e, como salientamos acima, se I(z) = 0, z será considerado um númeo real. Sendo z um número complexo e n N, anotamos z n = zzz... z(nvezes). Se n é um número inteiro negativo, anotamos z n = 1. Consideramos, z n ainda, sendo z 0, z 0 = Conjugado e módulo de um número complexo Definição 6 Sendo z = a + bi um número complexo, definimos o módulo de z, denotado por z, como z = a 2 + b 2. Definimos, ainda, o conjugado de z, denotado por z, como Exemplo 7 (a) Determine 3 5i (b) Determine (1 1 2 i) z = a bi. (c) Determine a forma algébrica do número 1 i 1 i. Determine, ainda, ( ). 2+i 2+i 4

5 Solução 8 Em sala! Teorema 9 Sendo z, w números complexos, teremos: (a) z ± w = z ± w, zw = z w, ( z ) = z, z = z w w (b) R(z) R(z) z, I(z) I(z) z, R(z) = z+z e I(z) = z z 2 2i (c) z = zz ou zz = z 2 (d) zw = z w (e) z w = z w, w 0 (f) z + w z + w (g) z w z w. Prova. Os itens (a), (b) e (c) serão deixados como exercícios. (d) (Prova sem fazer uso do conjugado!) Sejam z = a + bi e w = c + di. Temos zw 2 = (a + bi)(c + di) 2 = (ac bd) + (ad + bc)i 2 = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 = = a 2 c 2 2abcd + b 2 d 2 + a 2 d 2 + 2abcd + b 2 c 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 = a 2 (c 2 + d 2 ) + b 2 (c 2 + d 2 ) = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = z 2 w 2. Portanto, zw = z w. (Prova usando item anterior) zw 2 = zwzw = z zww = z 2 w 2 e o resultado segue. (e) Façamos z w = z e, daí, temos z = wz z = wz = w z z = z w z w = z w. (f) z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = = z 2 +zw +zw + w 2 = z 2 +2R(zw)+ w 2 z 2 +2 z w + w 2 = ( z + w ) 2, seguindo daí o resultado. (g) A desigualdade é equivalente a mostrar que z w z w e ( z w ) z w. Note que z = z w + w z w + w z w z w. Permutando z e w teremos a segunda desigualdade e o resultado está provado. 1.5 Exercícios 1) Colocar na forma a + bi os seguintes números complexos. (a) 1 (b) 1+2i (c) i3 i 2 +i 17 i 3 i i 20 i 5 2) Para cada n Z determine i n. 3) Sendo a, b, c, d números naturais, determine as condições para que o número a + bi c + di 5

6 seja: (a) imaginário puro (b) real 4) Para quais números complexos z, temos z = 2zi? Justifique! 5) Para quais números complexos z, temos zz + (z z) = i? Justifique! 6) Para quais números complexos z, temos z 3 = z? Justifique! 7) Para quais números complexos z, temos z 2 = i? Justifique! 8) Determine: (a) R( i(2 3i) 2 ) (b) I( (1 i 3) 2 2+i ) 9) Mostre que, para quaisquer números reais z, w, temos z + w 2 + z w 2 = 2 z 2 + w 2. 10) Mostre que para qualquer número complexo z, temos (a) I(iz) = R(z). (b) R(z) + I(z) 2 z 11) Mostre que para qualquer número complexo z 1 e n número natural temos 1 + z + z 2 + z z n = 1 zn+1 1 z. 12) Sejam z 1, z 2, z 3 números complexos tais que z 2 = z 3. Mostre que z 1 z 2 + z 3 z 1 z 2 z 3. 13) Mostre que o produto de dois números complexos é igual a 0(zero) se, e somente se, pelo menos um deles é igual a 0. 14) Sendo z, w C, sob quais condições teremos z + w = z + w? Justifique! 15) Sendo z 1, z 2 números complexos, mostre que (a) 1 z 1 z 2 2 z 1 z 2 2 = (1 z 1 2 )(1 z 2 2 ). (b) z 1 + z ( z 1 + z 2 ) z 1 z 1 + z 2 z 2 16) Resolver a equação 1 2 x2 + (1 + i)x i = 0. 6