Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II

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1 1 Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II 1 O Anel dos Inteiros Módulo n Consideremos um número natural n 2 fixado Para cada número inteiro a definimos a = {x Z; x a mod n} Como para todo n e a Z temos a a mod n, teremos que a a Exemplo 1 Para n = 2, temos: 1 = {x Z; x 1 mod 2}; 0 = {x Z; x 0 mod 2} É simples ver que 1 = {x Z; x 1 mod 2} = conjunto dos números ímpares e 0 = {x Z; x 0 mod 2} = conjunto dos números pares Exemplo 2 Para n = 5, temos 0 = {x Z; x 0 mod 5} = {x Z; x = 5k; k Z} 5 = {x Z; x 5 mod 5} = {x Z; x 5 = 5k; k Z} = {x Z; x = 5(k + 1)} = 0 É simples ver que 1 = {5k + 1; k z}, 2 = {5k + 2; k z}, 3 = {5k + 3; k z} e 4 = {5k + 4; k z}, logo Z = Proposição 3 Para cada n 2 fixado teremos a = b a b mod n Demonstração ( ) a = b a b a b mod n ( ) a b mod n x a mod n x b mod n x a x b Proposição 4 Para cada n 2 fixado teremos a b = ou a = b

2 2 Demonstração Se a b, existe x tal que x a e x b, isto é, x a mod n e x b mod n, o que nos leva a a b mod n e, pela proposição acima, teremos a = b Sabemos que a b mod n se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n e, portanto, temos que a = b se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n Como temos n possíveis restos na divisão de um número inteiro por n teremos que, fixado um número natural n, o conjunto {a; a Z} possui n elementos, quais sejam 0, 1,, n 1 Somos levados à definição Definição 5 Seja n > 1 um número natural fixado O anel Z n (ou Z/nZ) dos inteiros módulo n é definido por Z n = {0, 1,, n 1} juntamente com as operações de soma e produto definidas, respectivamente, por a+b = a + b e ab = ab 1 Para m N definimos, ainda, ma = a+a+ +a e a m = aa a(ambos m vezes) Exemplo 6 Z 2 = {0, 1}; Z 3 = {0, 1, 2} Exemplo 7 Construir as tabelas de soma e produto em Z 4 Solução Proposição 8 Sendo a, b e c, temos: (a) a + b = b + a(comutatividade da soma) (b) a + (c + b) = (a + c) + b(associatividade da soma) (c) a + 0 = a (0 (o elemento neutro da soma) d) Existe a Z tal que a + a = 0( existência do elemento simétrico ) e) a(cb) = (ac)b (associatividade do produto) f) a(c + b) = ac) + ab 2 g) 1a = a(1 ( elemento neutro do produto) Demonstração Deixaremos para exercício! Definição 9 Diremos que a Z n possui inverso(ou é invertível) se existe b Z n satisfazendo Neste caso, diremos que a e b são inversos ab = 1 1 É simples mostrar que estas operações estão bem definidas! 2 um conjunto no qual estão definidas duas operações satisfazendo a b, c, d, e, f acima é chamando um anel!

3 3 Exemplo 10 Em Z 5 temos que 2 e 3 são inversos, pois 23 = 6 = 1 Em Z 10 temos que 3 e 7 são inversos pois 37 = 21 = 1 A proposição abaixo caracteriza os elementos invertíveis em Z n Proposição 11 Em Z n um elemento a possui inverso se, e somente, mdc(a, n) = 1 Demonstração Temos mdc(a, n) = 1 ax + ny = 1 ax 1 = ny ax 1 mod n a x = 1 Corolário 12 Em Z p, com p um número primo, todo elemento a 0 possui inverso Demonstração Consequência imediata da proposição anterior Definição 13 Diremos que a 0 em Z n é um divisor de zero se existe b 0 em Z n satisfazendo ab = 0 Exemplo 14 2 é um divisor de zero em Z 8 pois 24 = 8 = 0 10 é um divisor de zero em Z 12 pois 106 = 60 = 0 A proposição abaixo caracteriza os divsores de zero em Z n Proposição 15 a será um divisor de zero em Z n se, e somente se, mdc(a, n) = d > 1 Demonstração ( ) Suponhamos mdc(a, n) = d > 1 Então, existem x, y tais que Daí, vem com x 0 a = dy; n = xd com 1 < x < n ax = xdy = ny ax = ny ax = 0 ( ) Suponhamos existir b 0 tal que ab = 0, Neste caso, temos que n ab Se mdc(n, a) = 1, teríamos que n b e, portanto, b = 0 Corolário 16 Em Z p, com p primo, não temos divisores de zero Demonstração Consequência imediata da proposição anterior Proposição 17 Sendo p um número primo, em Z p temos Demonstração Deixamos para exercício! (a + b) p = a p + b p

4 4 Exercício 18 1) A equação x 2 + x + 1 = 0 possui raízes em Z 2? Justifique! E em Z 3? 2) A equação x 2 = 5 possui solução em Z 7? Quantas? Justifique! 3) Mostre que sendo p um número primo a equação x 2 1 = 0 possui exatamente duas soluções em Z p 4) O resultado acima continua verdadeiro se p não é primo? Justifique! 5) Construa as tabelas de soma e produto para Z 6 e Z 7 6) Mostre que se a e b possuem inverso em Z n, então ab possui inverso em Z n 7) Mostre que em Z p com primo primo a equação ax = b com b 0 possui solução única 8) Exiba um exemplo mostrando que a condiçao p primo é essencial para a condição acima 2 Sistemas de Numeração Dado um número natural n, com certeza, estamos familiarizados com sua representação na base 10, isto é, o sistema decimal Nesta seção mostramos que qualquer número natural b > 1 pode ser usado como base para um sistema de numeração Lema 19 Seja b um número natural Para qualquer número natural k e números naturais a 0, a 1,, a k menores que b teremos a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 < (a k + 1)b k b k+1 Demonstração A prova será feita por indução sobre k Para k = 1 temos a 1 b + a 0 < a 1 b + b = (a 1 + 1)b bb = b 2 Suponhamos o resultado até k e mostremos que o mesmo pemanece válido para k + 1 Temos a k+1 b k+1 + a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 < a k+1 b k+1 + (a k + 1)b k a k+1 b k+1 + bb k = (a k+1 + 1)b k+1 b k+2 Teorema 20 Dados n, b N com b > 1, existem únicos números inteiros não-negativos k, a 0, a 1,, a k, com a i < b i = 0, 1, 2,, k e a k > 0 tais que n = a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 Demonstração A prova será feita, como usual, em duas etapas Incialmente provaremos a existência e posteriormente a unicidade A existência será mostrada via indução Se n = 1 o resultado é claro pois basta tomarmos a 0 = 1 Suponhamos o resultado(existência) válido até n e mostremos que ainda será válido n + 1 Aplicando a divisão euclidiana, teremos n + 1 = qb + r com 0 r < b

5 5 Como q n, pela hipótese de indução, existem números inteiros não-negativos k, a 0, a 1,, a k, com a i < b i = 0, 1, 2,, k e a k > 0 tais que o que nos leva a q = a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 n + 1 = (a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 )b + r = a k b k+1 + a k 1 b k + + a 1 b 2 + a 0 b + r e a existência está demonstrada Provemos, agora, a unicidade Suponhamos n = a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 = c j b j + c j 1 b j c 1 b + c 0 com 0 a i, c i e a k, c j > 0, isto é, suponhamos k a i b i = Note que se k > j, teremos, pelo lema anterior j c i b i (1) j c i b i < b j+1 b k a k b k k a i b i De maneira análoga mostramos que não podemos ter k < j e, portanto, na equação 1 temos k = j e, sendo assim, a equação será k a i b i = Suponhamos, agora, na equação 2 existir um índice i tal que k c i b i (2) a i c i (3) Consideremos, então, i 0 o maior índice satisfazendo 3 e suponhamos, sem perda de generalidade, que a i0 > c i0 (4) Então, teremos e, portanto, vem Logo, temos e o resultado está provado i 0 1 (a i0 c i0 ) = (c i a i )b i i 0 1 i 0 1 b i0 (a i0 c i0 )b i 0 = (c i a i )b i c i b i < b i 0 a i = c i, i i=1

6 6 Observação 21 a k a k 1 a 1 a 0 é chamada a representação de n na base b e anotamos [n] b = a k a k 1 a 1 a 0 Quando a base não é indicada estamos trabalhando na base 10 Exemplo 22 Representar o número 711 na base 5 Solução A ideia é, simplesmene, aplicar quantas vezes forem necessárias a divisão euclidiana Vejamos 711 = = (285+2)5+1 = = (55+3) = Portanto, temos [711] 5 = Exercício 23 1) Seja dado o número 4783 na base 10; escreva-o nas bases: 2, 3, 4, 7, 12 e 15 2) O número 3416 está na base 7, escreva-o nas bases 5 e 12 3) Um número na base 10 escreve-se 37; em que base escrever-se-á 52? Justifique! 4) Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243? Justifique! 3 Alguns Critérios de Divisibilidade Nesta seção estaremos interessados em reconhecer se um dado número natural n, cuja representação decimal conhecemos é ou não divisível por certos números No que se segue estaremos sempre supondo que a representação decimal de um número natural n é dada por n = a k a k 1 a 1 a 0 Proposição 24 Um número natural n será divisível por 2 se, e somente se, 2 a 0 Demonstração Através da prova desta proposição ilustraremos como utilizar congruências para concluir certos fatos sobre divisibilidade Seja n = a k a k 1 a 1 a 0 Então, a 0 a 0 mod, 2 e para todo j 1, temos que 10 j 0 mod 2 e, portanto, a j 10 j 0 mod 2 o que nos leva a e, daí, o resultado segue n = a k 10 k + a k 1 10 k 1 + a a 0 a 0 mod 2 Exercício 25 Enuncie e demonstre um critério de divisibilidade por 5 Proposição 26 Um número natural n será divisível por 3 se, e somente se, 3 a 0 + a a k 1 + a k

7 7 Demonstração Seja n = a k a k 1 a 1 a 0 Então, a 0 a 0 mod 3 e para todo j 1, temos que 10 j 1 mod 3 e, portanto, a j 10 j a j mod 3 o que nos leva a e, daí, o resultado segue n = a k 10 k + a k 1 10 k 1 + a a 0 a 0 + a a k mod 3 Exercício 27 Um número natural n será divisível por 9 se, e somente se, 9 a 0 + a a k 1 + a k Proposição 28 Um número natural n será divisível por 4 se, e somente se, 4 a a 1, isto é, se, e somente se, 4 a 1 a 0 Demonstração Novamente, temos a 0 a 0 mod 4, 10a 1 10a 1 mod 4 e para todo j > 1, temos que 10 j 0 mod 4 e, portanto, a j 10 j 0 mod 4 o que nos leva a e, daí, o resultado segue n = a k 10 k + a k 1 10 k 1 + a a 0 a a 1 mod 4 Exercício 29 Enuncie e demonstre um critério de divisibilidade por 8 Solução Um número natural n será divisível por 8 se, e somente se, 8 a a a 2, isto é, se, e somente se, 8 a 2 a 1 a 0 Proposição 30 Um número natural n será divisível por 11 se, e somente se, 11 a 0 a ( 1) k 1 a k 1 + ( 1) k a k Demonstração Seja n = a k a k 1 a 1 a 0 Então, a 0 a 0 mod, 11 e para todo j 1, temos que 10 j ( 1) j mod 11 e, portanto, a j 10 j ( 1) j a j mod 11 o que nos leva a n = a k 10 k + a k 1 10 k 1 + a a 0 a 0 a ( 1) k a k mod 11 e, daí, o resultado segue Proposição 31 Seja n = a k a k 1 a 1 a 0 um número natural 7 n se, e somente se, 7 a k a k 1 a 1 2a 0 Demonstração Temos n = a k a k 1 a 1 a 0 = 10(a k a k 1 a 1 ) + a 0 isto é, n = 10(a k a k 1 a 1 ) 20a a 0 + a 0 = 10[(a k a k 1 a 1 ) 2a 0 ] + 21a 0 Como 7 21a 0, temos 7 n 7 a k a k 1 a 1 2a 0 Vejamos através de um exemplo como aplicar o critério acima Exemplo 32 Verificar se o número é divisível por 7

8 8 Solução = = = = = O critério abaixo é interessante, pois vale para os números 7, 11 ou 13 Proposição 33 Seja n = a k a k 1 a 1 a 0 um número natural onde supomos k + 1 um número múltiplo de 3(Se não for o caso, acrescentamos alguns zeros à representação decimal de n) n será divisível por 7, 11 ou 13, se e somente se, a 2 a 1 a 0 a 5 a 4 a 3 +a 8 a 7 a 6 +( 1) k 2 a k a k 1 a k 2 é divisível, respectivamente, por 7, 11 ou 13 Demonstração A demonstração é feita observando que Logo, teremos a 2 a 1 a 0 a 2 a 1 a 0 mod(7 ou 11 ou 13) 1000a 5 a 4 a 3 1 mod(7 ou 11 ou 13) a 8 a 7 a 6 1 mod(7 ou 11 ou 13) Daí, vem mod(7 ou11 ou 13) e, portanto, 1000 n ( 1) n mod(7 ou 11 ou 13) n = a 2 a 1 a a 5 a 4 a a 8 a 7 a (k 2)/3 a k a k 1 a k 2 a 2 a 1 a 0 a 5 a 4 a 3 + a 8 a 7 a 6 + ( 1) k 2 a k a k 1 a k 2 mod(7 ou 11 ou 13) Exemplo 34 Verifique se o número é divisível por 7, 11 ou 13 Solução será múltiplo de 7, 11 ou 13 se, e somente se, = 78 é múltiplo de 7, 11 ou 13 Como 7 78, e temos que , e

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