Elementos de Cálculo I - Conjuntos de pontos no plano 1 Prof Carlos Alberto Santana Soares

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1 Elementos de Cálculo I - Conjuntos de pontos no plano Prof Carlos Alberto Santana Soares Você certamente está familiarizado com o plano cartesiano desde o término do seu ensino fundamental Neste início do curso de Elementos de cálculo I estaremos interessados em estudar conjuntos de pontos no plano cartesiano e suas respectivas representações gráficas Observe abaixo a representação de um sistema de eixos onde estão assinalados a escala e alguns pontos de coordenadas inteiras F igura x Abaixo temos a representação de um sistema de eixos, onde a escala é oriunda do sistema anterior, mas no eixo x estão assinalados alguns pontos onde a abscissa é múltipla de π/ Este tipo de representação é muito usada quando estamos trabalhando com funções trigonométricas F igura x π/ π π/ π/ π π/ Observação (O número π) Ainda que seja redundante, lembramos que o número π é um número irracional, isto é, sua representação decimal é infinita e não periódica Na prática, quando desejamos trabalhar com este número, devemos aproximá-lo por um número real de

2 representação decimal finita Ao usar uma calculadora científica, ainda que você tenha uma tecla com o símbolo π, o que ela realmente usa quando faz cálculo é uma aproximação já previamente armazenada em sua memória Se a sua calculadora não possui uma tecla com o símbolo π, então você deverá escolher uma aproximação que julgar conveniente para o problema que estiver trabalhando Uma aproximação que sempre produz bons resultados é π 9 Vale ressaltar que o software Winplot, que será utilizado no nosso curso, usa a aproximação π 9 Como falado no início, nosso objetivo é estudar conjuntos de pontos no plano e suas representações Com certeza, os conjuntos mais simples são aqueles formados por uma único ponto Vejamos alguns Exemplo Seja Γ = {(, )} Ainda que você não tenha dúvidas de como representar tal conjunto no plano, segue abaixo sua representaão feita através do winplot F igura x Recordamos que para um ponto P (x, ) teremos x indicando a distância do ponto ao eixo e indicando a distância do ponto ao eixo x Um ponto P (x, x) pertence ou está no: Primeiro quadrante se, e somente se, x > 0 e > 0 Segundo quadrante se, e somente se, x < 0 e > 0 Terceiro quadrante se, e somente se, x < 0 e < 0 Quarto quadrante se, e somente se, x > 0 e < 0 Abaixo temos os pontos P, Q, M e N respectivamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes

3 F igura P Q x N M Vejamos como obtivemos a representação acima usando o winplot Atividade em Sala - Utilizando o winplot Após a atividade acima, certamente você não tem mais problemas em representar conjuntos finitos de pontos, pelo menos, quando seus pontos são dados explicitamente Vejamos exemplos de alguns conjuntos infinitos Exemplo Seja β o conjunto β = {(x, x + ), x N} É claro que β = {(0, ), (, ), (, ), } e daí podemos fazer somente representações de β plotando uma quantidade finita de pontos Quantos pontos plotar, dependerá do objetivo Geralmente, marcamos pontos que de alguma forma evidencie o conjunto estudado, neste caso, β A representao abaixo, foi feita no winplot, usando o recurso lista de pontos F igura x

4 Vejamos como ele funciona! Atividade em Sala - Utilizando o winplot O próximo conjunto estará mais próximo do objetivo do nosso curso, qual seja, estudar conjuntos que na sua maioria tem suas variáveis variando em R O exemplo falará por si Exemplo Represente no plano cartesinao o conjunto C dado por C = {(x, x + ), x R} Façamos uma discussão um tanto pormenorizada deste exemplo, visando minimizar maiores transtornos no futuro Comecemos verificando a diferença entre C e o conjunto β do exemplo anterior No conjunto β a variável x percorria o conjunto N, o que nos permitiu escrever os elementos de β como uma lista de pontos No caso em questão, o conjunto C, a variável x está em R e portanto não temos como escrever este conjunto como uma lista de pontos ( Pense um pouco sobre isto! ) Como então traçarmos um esboço de C no plano cartesiano? Uma forma que muitas vezes nos será muito útil é verificar se o conjunto estudado não é parte do gráfico de um função conhecida Se este for o caso, nosso problema se resumirá em traçar o gráfico de tal função No exemplo estudado, podemos descrever o conjunto C de uma outra forma, qual seja, C = {(x, ), = x +, x, R} Ressaltamos que ao invés de escrevermos x, R poderíamos descrever C da seguinte forma C = {(x, ) R, = x + } Sobre a última forma de anotar o conjunto C é útil ter em mente que a vírgula colocada após R é entendida como ẗal que A expressão (x, ) R já nos diz que tanto x quanto estão em R, isto é, são números reais Desta breve discussão, o que obtemos é que o conjunto C é formado por todos os pontos do plano tais que = x +, isto é, C se resume ao gráfico da função = x +, gráfico este que sabemos ser uma reta e, portanto, para representar C basta marcarmos dois pontos e uní-los definindo assim nossa reta Fa a você o esboço de tal reta Escolha quaisquer dois valores para x, determine os valores de correspondente, marque os dois pontos encontrados no plano e dai obtenha sua reta Segue abaixo o gráfico da função ou a representação gráfica de C F igura6 x

5 Observação (Sobre funções do primeiro grau)a função utilizada para esboçarmos o conjunto C acima foi uma função do primeiro grau Lembramos que uma função do primeiro grau é uma função do tipo = ax + b ou ainda f(x) = ax + b onde a = 0 e b são números reais que definem a função O gráfico de uma função deste tipo é sempre uma reta e portanto para esboçarmos seu gráfico necessitamos somente de dois pontos através dos quais esta reta passa Isto pode ser obtido escolhendo-se dois valores arbitrários para x e determinando os valores correspondentes de O número a é chamado coeficiente angular e b coeficiente linear Utilizemos o winplot para descobrirmos ou relembrarmos um pouco mais sobre funções do primeiro grau Atividade em Sala - Utilizando o winplot Na observação e atividades anteriores ficou evidenciado que o gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta Gostaríamos de responder à seguinte pergunta: Se desenharmos uma reta no plano cartesiano, esta reta será o graáfico de uma funç ao do primeiro grau? Bem entendido! Sabemos que ao esboçarmos o gráfico de uma função do primeiro grau teremos uma reta Nossa pergunta tenta investigar se a recíproca é verdadeira, isto é, qualquer reta no plano é o gráfico de uma função do primeiro grau? Comecemos com o seguinte exemplo Exemplo 6 Existe uma função do primeiro grau cujo gráfico seja a reta abaixo? F igura7 x Podemos colocar nosso problema de outra forma: Existem números reais a e b tais que a função = ax + b tem como gráfico a reta acima? Note que a reta dada passa pelos pontos (, ) e (, ) Logo, se a função existe, quando x = devemos ter = e quando x = devemos ter = Isto nos indica que na

6 função procurada = ax + b se substituirmos x por - e devemos obter igual a - e, respectivamente, ou seja, devemos verificar se o sistema abaixo possui solução { a + b = a( ) + b = ou ainda, devemos resolver o sistema { a + b = a + b = É simples encontrar como solução a = e b = Logo, a função procurada existe e é dada por = x + O procedimento acima nos mostra claramente como devemos proceder se desejamos determinar a expressão de uma função que passa por dois pontos dados Exemplo 7 Existe uma função do primeiro grau cujo gráfico seja a reta abaixo paralela ao eixo x? F igura8 x Neste caso, observemos que estamos buscando uma função do primeiro grau tal que independente de x, seja sempre igual a Então, para quaisquer dois valores arbitrários de x devemos ter = Escolhendo, por exemplo, x = e x =, devemos ter = e daí o sistema a resolver será { a + b = a + b = Novamente não temos problema em perceber que a solução para este sistema será dada por a = 0 e b =, isto é, nossa função será =, mas esta não é uma função do primeiro grau já que a = 0 Portanto não existe uma função do primeiro grau tal que seu gráfico seja a reta dada acima Observação 8 Funções tal como encontrada acima são ditas funções constantes, isto é, qualquer função do tipo = b ou ainda f(x) = b onde b é um número real que define a função É simples, tal como acima, observar que o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x 6

7 Exemplo 9 Existe uma função do primeiro grau cujo gráfico seja a reta abaixo paralela ao eixo? F igura9 x Observe que neste caso, para um mesmo valor de x = temos vários valores de Lembramos que uma curva para ser gráfico de alguma função, qualquer reta paralela ao eixo só pode tocar esta curva no máximo em um ponto, isto é, para cada valor de x podemos ter no máximo uma valor de correspondente Enfatizamos que, em uma função, dois ou mais valores de x podem levar ao mesmo, mas um valor de x não pode nos conduzir a mais de um valor de Logo não existe nenhuma função, inclusive do primeiro grau, cujo gráfico seja a reta esboçada acima Vimos que a reta do íltimo exemplo não é gráfico de nenhuma função, mas de qualquer forma representa um conjunto de pontos C que pode ser caracterizado por C = {(x, ) R, x =, qualquer} ou ainda C = {(, ), R} Um outra forma de descrever o conjunto seria ainda C = {(x, ) R, x + 0 = } Logo uma equação que caracteriza os pontos de C é x + 0 = De todas estas discussões percebemos que: Uma reta é horizontal(paralela ao eixo x) se, e somente se, é o gráfico de uma função constante Neste caso seus pontos serão caracterizados por uma equção do tipo = b Uma reta é vertical(paralela ao eixo ) se, e somente se, seus pontos são caracterizados por uma equção do tipo x = b Neste caso, a reta não representa gráfico de nenhuma função Uma reta é oblíqua (nâo paralela ao eixo x ou ) se, e somente se, é o gráfico de uma função do primeiro grau Neste caso seus pontos serão caracterizados por uma equção do tipo = ax + b Resumindo, teremos Teorema 0 Um conjunto de pontos no plano será uma reta se, e somene se, seus pontos podem ser caracterizados por uma equação do tipo ax + b = c ou ainda ax + b + c = 0, onde a, b e c são números reais que caracterizam tal reta 7

8 Atividade em Sala - Utilizando o winplot Observação A equação do tipo ax + b + c = 0 é denominada equação geral da reta Se nesta equação b é um número não nulo, então podemos isolar, obtendo = ax c, que pode b b ser escrita na forma = αx+β Quando uma reta não é vertical sempre podemos escrever sua equação na forma anterior e neste caso a equação = αx + β será dita equação reduzida da reta e os números α e β serão ditos, tal como no caso de função do primeiro grau, coeficiente angular e linear com as mesmas interpretações geométricas já vistas Note que, no caso de uma reta vertical, não tem sentido nos referirmos aos seus coeficientes angular ou linear A proposição abaixo, ainda que admitida sem demonstração nos será muito útil Proposição Sejam l e m duas retas de equações = a x+b e = a +b respectivamente Então, teremos: l e m serão perpendiculares se, e somente e, a a = l e m serão paralelas se, e somente e, a = a Observe que para utilizar o teorema acima, devemos trabalhar com as equações reduzidas das retas! 8