Números - Aula 03. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

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1 Números - Aula 03 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 28 de Fevereiro de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Corpos Vimos que o conjunto dos números racionais com as propriedades de adição e multiplicação e a relação de ordem é um corpo ordenado. Estaremos também interessados no corpo dos números reais R e no corpo dos números complexos C. Abstratamente, um corpo é um conjunto não vazio F onde estão definidas duas operações binárias + : F F F (x,y) x + y : F F F (x,y) x y que gozam das seguintes propriedades

3 Propriedades de um Corpo - Adição (A1) (associativa) (x+y)+z = x+(y+z), x,y,z F ; (A2) (comutativa) x + y = y + x, x,y F ; (A3) (elemento neutro) existe 0 F tal que x + 0 = x, para todo x F ; (A4) (oposto) para todo x F, existe y F (y = x), tal que x + y = 0;

4 Propriedades de um Corpo - Multiplicação (M1) (associativa) (x y) z = x (y z), x,y,z F ; (M2) (comutativa) x y = y x, para todo x,y F ; (M3) (elemento neutro) existe 1 F, tal que x 1 = x, para todo x F ; (M4) (elemento inverso) para todo x F, x 0, existe y F, ( y = 1 x ), tal que x y = 1 ;

5 Propriedades de um Corpo - Distributiva (D) (distributiva da multiplicação) x (y + z) = x y + x z, x,y,z F.

6 Se no corpo F está definida uma relação de ordem, a quádrupla ( F, +,, ) é um corpo ordenado se além das propriedades anteriores, também valem as propriedades: (O1) (reflexiva) x x, para todo x F ; (O2) (anti-simétrica) x y e y x = x = y, para quaisquer x,y F; (O3) (transitiva) x y, y z = x z, para quaisquer x,y,z F ; (O4) Para quaisquer x,y F, x y ou y x ; (OA) x y = x + z y + z ; (OM) x y e z 0 = x z y z.

7 Definição Diremos que um subconjunto A de um corpo ordenado ( F, +,, ) é limitado superiormente se existe L F tal que a L para todo a A. Neste caso, L é chamado limitante superior de A. Se A é um conjunto limitado superiormente, um número sup(a) F é chamado o supremo de A se é o menor limitante superior de A; ou seja, se a sup(a) para todo a A e, se F f < sup(a), existe a A tal que f < a. Um corpo para o qual todo subconjunto limitado superiormente possui supremo é chamado um corpo ordenado completo. Nem todo subconjunto limitado superiormente de Q tem supremo; ou seja, Q é um corpo ordenado que não é completo.

8 O que são os números reais? Como definir adição, multiplicação de números reais? Os números reais com a adição e multiplicação é um corpo? Como definir relação de ordem para números reais? O corpo ordenado dos números reais é completo?

9 A idéia que queremos usar para construir (a partir de Q) o conjunto dos números reais R é: O conjuntos dos números reais preenche toda a reta real. Os elementos de R serão os subsconjuntos de Q a esquerda de um ponto da reta real e serão chamados cortes. Definição Um corte é um subconjunto α Q com as seguintes propriedades α e α Q, Se p α e Q q < p, então q α (todos os racionais a esquerda de um elemento de α estão em α) e Se p α, existe r α com p < r (α não tem um maior elemento).

10 Observação Os cortes foram inventados em 1872 pelo matemático alemão chamado Julius Wilhelm Richard Dedekind que viveu de a ) Exemplo Se q Q definimos q = {r Q : r < q}. Então q é um corte que chamamos de racional. Os cortes que não são racionais serão chamados irracionais. 2 = {q Q : q 2 < 2} {q Q : q < 0} é irracional.

11 Observação Note que: Se α é um corte, p α e q / α, então p < q. Se α é um corte, r / α e r < s, então s / α. Definição Diremos que α < β se α β

12 Proposição Se α, β, γ são cortes α < β e β < γ implica que α < γ. Exatamente uma das seguintes relações é válida: α < β ou α = β ou β < α. Todo subconjunto não vazio e limitado superiormente de R tem supremo.

13 Definição Se α,β R definimos α + β como o conjunto de todos os racionais da forma r + s com r α e s β. 0 = {s Q : s < 0} Proposition Dado α R existe um único β R tal que α + β = 0. O corte β assim definido é denotado por α. Prova: É fácil ver que α = { p Q : p r / α para algum r Q, r > 0}.

14 Definição Se α, β são cortes, {p Q : 0<r α e 0<s α tais que p rs}, α,β > 0 α 0 = 0, α R α β= ( α)( β) se α,β < 0 [( α)β] se α < 0 e β > 0 [α( β)] se α > 0 e β < 0 1 = {s Q : s < 1}.

15 Denotamos o conjunto dos números reais por R. Temos R Q e todo número real que não é racional é dito irracional ( 2 é irracional). Teorema A quádrupla ( R, +,, ) satisfaz as condições (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM) como na seção anterior e portanto é um corpo ordenado. Além disso R é completo.