Álgebra Matricial - Nota 06 Matrizes

Transcrição

1 Álgebra Matricial - Nota 06 Matrizes Márcio Nascimento da Silva 8 de outubro de 2013 A manipulação com números dispostos em linhas e colunas foi muito útil na resolução de sistemas. Vimos que esta forma de dispor os coeficientes de um sistema, aliada ao método de Gauss, tornou possível a aplicação de uma única arma para resolver os mais variados tipos de sistema. Os chineses, pioneiros nessa técnica, estavam com a semente do que mais tarde germinaria como a Álgebra Matricial (MEYER, 2000). As matrizes passaram a ganhar um tratamento algébrico (com a definição de operações e propriedades) apenas com Arthur Cayley ( ). 1 Representação de conjunto de matrizes Nossa primeira ideia de matriz foi a de uma representação organizada dos coeficientes de um sistema de equações lineares. Esta representação consistia da disposição dos coeficientes em linhas e colunas bem determinadas. Podemos trabalhar com coeficientes (e termos independentes) sendo números reais (R) ou complexos (C). Aliás, tais conjuntos podem ser usados para a representação de outros, alguns até visualizáveis geometricamente: R 2 R R {(x 1, x 2 ) ; x i R} - Conjunto dos pares ordenados de números reais. Plano Cartesiano. R 3 R R R {(x 1, x 2, x 3 ) ; x i R} - Conjunto dos ternos ordenados de números reais. Espaço. R n R R... R {(x 1, x 2,..., x n ) ; x i R} - Hiperplano de dimensão n. Por exemplo, o elemento (1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4) pertence à R 8. Um espaço com 8 dimensões e um tanto quanto difícil de se representar geometricamente... Analogamente, podemos usar C para representar os conjuntos C 2, C 3,..., C n. Observação 1 (Números Complexos) Lembremos que um número complexo é um elemento na forma a + bi onde a, b são números reais e i, chamada unidade imaginária, é tal que i 2 1. Assim, a representação geométrica de C já é feita através de um plano, havendo uma correspondência biunívoca entre C e R 2. Tal correspondência também existe entre C 2 e R 4, C 3 e R 6 e, mais geralmente, entre C n e C 2n. Para representar um conjunto de matrizes podemos usar notação semelhante. Considere, por exemplo, uma matriz qualquer de ordem 2 2, isto é, uma matriz que possui 2 linhas e 2 colunas: x y A z w Poderíamos representar os elementos de tal matriz em uma lista, da seguinte forma: (x, y, z, w) Observe que a ordem em que os elementos aparecem na lista, tem uma relação direta com a ordem de disposição na forma matricial, isto é, a representação da lista 1

2 (3, 4, 1, 5) como uma matriz de ordem 2 2 seria Diremos, então, que a matriz genérica A descrita acima é um elemento de R 2 2, uma vez que seus elementos podem ser escritos em uma lista de 4 elementos (R 4 ). Mas por que não R 1 4 ou R 4 1? Simples! A notação R 2 2 nos diz exatamente a ordem da matriz que se quer representar. Se escrevêssemos R 1 4, por exemplos, estaríamos afirmando que a matriz tem 1 linha e quatro colunas. Desta forma, R 2 2 {conjunto das matrizes de ordem 2 2 e elementos reais} Exemplo R 2 3, R 4 2, R Obviamente, no caso de matrizes com elementos complexos, a ideia é a mesma. Exemplo 3 (1 2i) (4 + 2i) C 2 2, (7 7i) (2 4i) 3i 1 5 i 2 + 2i C3 2, 0 i C Generalizando, 1.1 Notação R n m {conjunto das matrizes de ordem n m e elementos reais} C n m {conjunto das matrizes de ordem n m e elementos complexos} Nem sempre é possível explicitar uma matriz. E, algumas vezes, também é incoveniente escrever por inteiro uma matriz qualquer. Assim, para escrever uma matriz de forma genérica, podemos usar a seguinte notação a 11 a a 1m a 21 a a 2m A... a n1 a n2... a nm cada elemento (ou entrada) da matriz possui um índice duplo. elemento dentro da matriz: a 23 - elemento posicionado na segunda linha e terceira coluna; a 18 - elemento posicionado na primeira linha e oitava coluna; a rs - elemento posicionado na i-ésima linha e j-ésima coluna. Esta informação diz a posição do 2

3 Repare, ainda, que o último elemento da matriz traz em seu índice informações sobre a ordem da matriz. Neste caso, a nm indica que a matriz possui n linhas e m colunas. Em alguns casos, é possível e conveniente condensar ainda mais a representação da matriz. Podemos escrever simplesmente: A [a rs ] n m para indicar uma matriz de n linhas e m colunas. Observe que o primeiro índice, o r, varia de 1 a n, enquanto o índice s, o da coluna, varia de 1 a m. Exemplo 4 Vamos esboçar matriz A [a rs ] 3 2 sabendo que a rs r 2s. Inicialmente vemos que a matriz possui 3 linhas e 2 colunas. Então sua forma será a seguinte: a 11 a 12 A a 21 a 22 a 31 a 32 Para detereminar cada entrada da matriz, basta fazer a conta linha menos duas vezes a coluna : (1 2.1) (1 2.2) 1 3 A (2 2.1) (2 2.2) 0 2 (3 2.1) (3 2.2) Operações com Matrizes Para falarmos em Álgebra Matricial, se faz necessário introduzir operações em um conjunto de matrizes. Veremos que em alguns momentos, teremos situações similares às experimentadas com números reais ou complexos. Doravante, um escalar nada mais é do que um número real ou complexo. Eles serão extremamente úteis para o porvir. Diremos que duas matrizes A [a rs ], B [b rs ] são iguais quando ambas têm a mesma ordem e elementos correspondentes iguais. Exemplo 5 As matrizes A 1 1, B 0 2 cosπ sen(π/2) log 1 4 são iguais, pois ambas são de ordem 2 2 e a 11 b 11,..., a 22 b 22. Já as matrizes A [ 1 5 ] 1, B 5 embora tenham os mesmos elementos, têm ordem diferente. Não são iguais! 2.1 Soma Desde muito cedo lidamos com operações entre números naturais. Com o passar dos anos, aprendemos como operar números inteiros, racionais, reais e complexos e, nesse último conjunto, vemos uma generalização do que aprendemos desde o início com os naturais. Agora, embora diante de conjuntos diferentes dos números complexos 1 podemos definir operações baseadas nas operações que já conhecemos para os conjuntos numéricos. A primeira delas é a soma. Sejam A [a rs ] e B [b rs ] matrizes de mesma ordem m n. Definimos a soma A + B da seguinte forma: 1 Embora possamos pensar em C como o conjunto das matrizes de ordem

4 A + B [(a rs + b rs )] m n isto é, a soma de duas matrizes é uma nova matriz (de mesma ordem m n) obtida pela soma elemento a elemento de A e B. Exemplo 6 Sendo tem-se Já para as matrizes A 1 2, B C 1 3 A + B , D a soma não está definida, pois as ordens são diferentes Uma vez que a soma de matrizes se baseia na soma de números complexos, é de se esperar que tenhamos as mesmas propriedades neste caso. (1) Associatividade: Sejam A [a rs ], B [b rs ] e C [c rs ] matrizes de mesma ordem m n. Então A + (B + C) [a rs ] + ([b rs ] + [c rs ]) [a rs ] + [(b rs + c rs )] (somando B e C) [a rs + (b rs + c rs )] (somando A e (B+C)) [(a rs + b rs ) + c rs ] (associatividade dos complexos) [(a rs + b rs )] + [c rs ] (separando a soma) ([a rs ] + [b rs ]) + [c rs ] (separando a soma) (A + B) + C (2) Comutatividade: Sejam A[a rs ] e B [b rs ] matrizes de mesma ordem m n. A + B [a rs ] + [b rs ] [(a rs + b rs )] (definição de soma) [(b rs + a rs )] (comutatividade dos complexos) [b rs ] + [a rs ] (separando a soma) B + A (3) Existência do Elemento Neutro: Na adição de números complexos, o zero aparece como elemento que não altera o valor da operação, isto é, para qualquer número complexo z, a soma z+0 continua sendo z. No caso de uma matriz qualquer A [a rs ], também temos uma matriz que faz as vezes do 0 dos números complexos. Vejamos se há solução para a equação A + X A 4

5 A + X A [a rs ] + [x rs ] [a rs ] [(a rs + x rs )] [a rs ] a rs + x rs a rs para cada r {1, 2,..., m}, s {1, 2,..., n} x rs 0 para cada r {1, 2,..., m}, s {1, 2,..., n} Portanto, a solução da equação A + X A é X [0] m n e este é o elemento neutro da soma de matrizes. (4) Inverso aditivo: No caso de números complexos, o inverso aditivo de z é o número w tal que z + w 0, já que zero é o elemento neutro da soma. No caso de matrizes, tudo indica que cada A [a rs ] possui uma inversa aditiva. Vejamos se há solução para a equação A + B [0] A + B [0] [a rs ] + [b rs ] [0] [(a rs + b rs )] [0] a rs + b rs 0 para cada r {1, 2,..., m}, s {1, 2,..., n} a rs b rs para cada r {1, 2,..., m}, s {1, 2,..., n} Portanto, para cada matriz A [a ij ] a sua inversa aditiva é matriz [ a ij ]. Observe que pelo fato de cada número complexo possuir somente um inverso aditivo, segue-se que cada matriz A possui, também, única inversa aditiva. Denotaremos a matriz [ a ij ] por A. Exemplo 7 Dada a matriz a sua inversa aditiva é (1 + i) (3 2i) 4 A ( 2 + 2i) (4 1 ) 3 i 2i ( 1 i) ( 3 + 2i) 4 A ( 2 2i) ( ) 3 i 2i Observação 8 (Subtração) Podemos aproveitar a existência de inverso aditivo no conjunto de matrizes para definir a operação subtração. Dadas duas matrizes A [a rs ] e B [b rs ] de mesma ordem m n, definimos a diferença entre A e B por A B A + ( B) Isso significa realizar a subtração elemento a elemento: A B A + ( B) [a rs ] + [ b rs ] [a rs + ( b rs )] [a rs b rs ] (definição de inverso aditivo nos complexos) Exemplo 9 Considerando as matrizes i 3i (2 i) (4 + 2i) (7 3i) (5 5i) A (1 + 8i) 7 (1 2i), B 2i (2 7i) (5 8i) (4 + 8i) 5

6 temos ( 4 3i) ( 7 + 6i) ( 3 + 4i) (4 + 3i) (7 6i) (3 4i) A B (1 + 6i) 1 (1 2i), B A ( 1 8i) 1 ( 1 + 2i) (3 + 7i) ( 1 + 8i) ( 4 8i) ( 3 7i) (1 8i) (4 + 8i) IMPORTANTE: a subtração de matrizes é NÃO COMUTATIVA. 2.2 Produto de matriz por escalar A soma de matrizes é uma operação envolvendo, basicamente, duas matrizes. No entanto, podemos definir operações envolvendo elementos de natureza diferente. Exemplo 10 A seguir, um quadro mostrando a variação de preços (em reais) dos produtos P 1, P 2 e P 3 nas cidades C 1, C 2, C 3 e C 4. C 1 C 2 C 3 C 4 P T 1 P P , 5 Devido à variação do mercado, a empresa decidiu reajustar os preços em todas as cidades com um aumento de 20% no valor de cada produto. Desta forma, a tabela de preços passa a ser: C 1 C 2 C 3 C 4 P , 4 60 T 2 P P 3 3, 6 3, 6 3, 6 3 Considerando às matrizes compostas pelos preços dos produtos, temos , 4 60 A , B , 5 3, 6 3, 6 3, 6 3 Qual a relação entre A e B? Lembre que cada produto teve um aumento de 20%, isto é, o preço foi multiplicado por 1,2. Desta forma, todos os elementos de A foram multiplicados por 1,2. A situação do exemplo acima pode ser generalizada para uma matriz qualquer. Considere uma matriz A de ordem m n e um escalar α. Se multiplicarmos todos os elementos de A pelo escalar α, obtemos uma nova matriz (também de ordem m n): α C, A [a rs ] C m n α.a [(α.a rs )] No exemplo (10), aconteceu: , , , 5 3, 6 3, 6 3, 6 3 O produto por escalar tem algumas propriedades: 6

7 (1) Se α e β são escalares e A [a rs ] é uma matriz de ordem m n, então De fato, (α.β).a (α.β).[a rs ] (α.β).a α.(β.a) [(α.β).a rs ] (produto de cada entrada pelo escalar α.β) [α.(β.a rs )] (associatividade dos complexos) α.[(β.a rs )] (definição de produto por escalar) α. ( β.[a rs ] ) (definição de produto por escalar) α. ( β.a ) (2) Distributividade do Escalar: Se α é um escalar e A [a rs ], B [b rs ] são matrizes de ordem m n, então α.(a + B) α.a + α.b pois α.(a + B) α.([a rs ] + [b rs ]) α.[(a rs + b rs )] (soma de matrizes) [α.(a rs + b rs )] (definição de produto por escalar) [α.a rs + α.b rs ] (distributividade dos complexos) [α.a rs ] + [α.b rs ] (separando a soma) α.[a rs ] + α.[b rs ] (definição de produto por escalar) α.a + α.b (3) Distributividade da Matriz: Se α e β são escalares e A [a rs ] é uma matriz de ordem m n, então com efeito (α + β)a (α + β)[a rs ] (α + β)a α.a + β.a [(α + β)a rs ] (definição de produto por escalar) [α.a rs + β.a rs ] (distributividade dos complexos) [α.a rs ] + [β.a rs ] (definição de soma de matrizes) α.[a rs ] + β.[a rs ] (definição de produto por escalar) α.a + β.b (4) Elemento identidade: Se A [a rs ] é uma matriz de ordem m n e o produto α.a é sempre uma matriz, então deve existir um escalar α 0 tal que α 0.A A. Resolvendo a equação x.a A onde x é um escalar, temos: x.a A x.[a rs ] [a rs ] [x.a rs ] [a rs ] (definição de produto por escalar) x.a rs a rs para cada r {1, 2,..., m}, s {1, 2,..., n} x 1 Portanto, no produto por escalar, o elemento neutro ou identidade é complexo 1. 7

8 2.3 Tranposição Considere as matrizes [ ] A (2 i) (1 2i) 0 1 (2 i) e B 5 (1 2i) 7 0 Alguma semelhança entre elas? Veja que as duas matrizes possuem exatamente os mesmos elementos, mas não na mesma ordem. A primeira linha de A corresponde à primeira coluna de B e, da mesma forma, a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de B. Repare, ainda, que a ordem da matriz A é 2 3. Já a matriz B tem ordem 3 2. Assim, podemos dizer que a matriz B foi construída depois de transpormos as linhas de A para a posição de coluna. Definição 11 (Transposta de uma matriz) Seja A [a rs ] uma matriz de ordem m n. Se reescrevermos os elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá n linhas e m colunas e será chamada transposta de A, cuja notação é A T. Exemplo 12 Se então 2i 7 3/5 2 A 4i (2 6i) 3 i 5 [ ] 2i 3/5 4i 3 A T 7 2 (2 6i) i 5 onde A tem ordem 4 2 e A T tem ordem Conjugada de uma matriz Nos complexos, temos o conceito de conjugado, que na representação geométrica nada mais é do que a reflexão de um número complexo em relação ao eixo horizontal. b a+bi a b a bi Figura 1: Representação geométrica do conjugado de um número complexo. No caso de matrizes, podemos usar o conceito algébrico para definir uma matriz conjugada. 8

9 Definição 13 (Matriz Conjugada) Seja A [a rs ] uma matriz de ordem m n. A matriz conjugada de A é definida por: A [a rs ] onde a rs é o conjugado 2 do número complexo a rs para cada r {1, 2,..., m}, s {1, 2,..., m}. Exemplo 14 Se então A A (1 + 2i) (3 5i) 5 4i (1 2i) (3 + 5i) 5 4i Podemos tomar a conjugada de uma matriz e, em seguida, a sua transposta. Considerando, novamente, a matriz do exemplo acima, teremos: (1 + 2i) (3 5i) (1 2i) (3 + 5i) A A ( A ) T (1 2i) 5 5 4i 5 4i (3 + 5i) 4i Mas nada impede que tomemos a transposta para depois considerar a conjugada, isto é: (1 + 2i) (3 5i) (1 + 2i) 5 (1 2i) 5 A A T A 5 4i (3 5i) 4i T (3 + 5i) 4i Vemos que a conclusão é a mesma. E, de fato, este resultado vale para qualquer matriz: ( A ) T A T pois ( A ) T a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn T a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 11 a a m1 a 11 a a m1 a 12 a a m2 a 12 a a m a 1n a 2n... a mn a 1n a 2n... a mn a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn T (A T ) T A matriz quando conjugada e tomada a sua transposta, tem uma notação especial: A : (A T ) Desta forma, Se A (1 + 2i) (3 5i) 5 4i 2 Se z a + bi, então o conjugado de z é z a bi. 9

10 então A [ (1 2i) ] 5 (3 + 5i) 4i Algumas propriedades da transposta e da conjugada transposta merecem registro. (1) Transposta da soma e soma das transpostas: (A + B) T A T + B T De fato, sendo A [a rs ] e B [b rs ] duas matrizes de mesma ordem m n, temos: (A + B) T (a 11 + b 11 ) (a 21 + b 21 )... (a m1 + b m1 ) (a [(a rs + b rs )] T 12 + b 12 ) (a 22 + b 22 )... (a m2 + b m2 )... (a 1n + b 1n ) (a 2n + b 2n )... (a mn + b mn ) a 11 a a m1 b 11 b b m1 a 12 a a m2 b 12 b b m2 + A T + B T a 1n a 2n... a mn b 1n b 2n... b mn (2) Conjugada da transposta da soma e soma das conjugadas transpostas: (A + B) A + B (3) A transposta no produto de um escalar por um matriz, age apenas na matriz: (α.a) T α.a T (4) A conjugada transposta no produto de um escalar por um matriz, age em ambos: (α.a) α.a Todas essas propriedades podem ser verificadas como a primeira. 3 Simetrias A transposta ou conjugada transposta aplicada à matrizes quadradas podem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremos a seguir. 3.1 Matrizes Simétricas Exemplo 15 Considere a matriz Veja que a matriz transposta é exatamente igual a matriz A A A T Dentro da própria matriz A observamos que a primeira linha é igual 3 a primeira coluna, a segunda linha é igual a segunda coluna e que a terceira linha é igual a terceira coluna. Em símbolos: A 1 A 1, A 2 A 2, A 3 A 3 3 Igual, aqui, significa que os elementos são iguais e aparecem na mesma ordem. Em símbolos, se L é uma linha de uma matriz quadrada e C uma coluna desta mesma matriz, então dizer que L é igual a C significa, na verdade, que L C T. 10

11 Denotando a matriz A por [a rs ] observamos, ainda, que a 11 a 11, a 12 a 21, a 13 a 31 e assim por diante. Generalizando, temos: a rs a sr para r, s {1, 2,..., n} Além disso, observamos que a diagonal principal 4 da matriz não muda em A T. Definição 16 (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A A T. 3.2 Matrizes Antissimétricas Considere agora o seguinte exemplo. Exemplo 17 Se então 0 4 i A i i A T i 2 0 Neste caso não ocorre A A T, no entanto, há uma outra semelhança. Repare que as entradas de A T são iguais às de A a menos do sinal, isto é A T A Na matriz do exemplo acima, vemos que a relação entre linhas e colunas dentro da própria matriz A é A 1 A 1, A 2 A 2, A 3 A 3 enquanto que a relação entre os elementos de A [a rs ] é a rs a sr para r, s {1, 2,..., n} Com relação à diagonal principal, para que a relação acima seja verdadeira, devemos ter: e portanto a 11 a 11, a 22 a 22,..., a nn a nn a rr 0 é uma condição necessária para que ocorra A T A. Definição 18 (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica quando A T A. Importante: Antissimétrica NÃO É o contrário de simétrica!!! Exemplo 19 Uma matriz pode que não é simétrica, não necessariamente é antissimétrica: A AT Veja que não ocorre A T A e nem A T A. 4 A diagonal principal aparece em matrizes quadradas e é formada pelos elementos do tipo a rr. 11

12 3.3 Matrizes Hermitianas Outras matrizes com características interessantes aparecem ao considerarmos a transposta conjugada de uma matriz. Exemplo 20 Considere a matriz Sua conjugada transposta é isto é, A A. 2 3 i 2 + 2i A 3 + i 3 5 3i 2 2i 5 + 3i i 2 + 2i A 3 + i 3 5 3i 2 2i 5 + 3i 4 Lembrando que A r e A s denotam, respectivamente, a linha r e a coluna s da matriz A, vamos usar A r e A s para denotar, respectivamente, a linha [a r1 a r2... a rn ] e a coluna a 1s a 2s. a ns Desta forma, na matriz do exemplo acima, vemos que A r A r ocorre para cada r {1, 2,..., n}. Além disso, vemos que a rs a sr para r, s {1, 2,..., n} e isso significa que os elementos da diagonal principal devem, necessariamente, ser reais puros, pois se a rr α rr + iβ rr então a rr a rr α rr + i.β rr α rr i.β rr β rr β rr β rr 0 isto é, a rr α rr e, portanto, é um real puro. Definição 21 (Matriz Hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. A A. Dizemos que A é hermitiana 5 quando 3.4 Matrizes Anti-hermitianas Como no caso das matrizes antissimétricas, temos uma situação análoga ao considerarmos a conjugada transposta. Exemplo 22 Sendo temos que i (1 + i) 2 A ( 1 + i) 0 (2 + 3i) 2 ( 2 + 3i) 4i 5 Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite ( ). 12

13 e percebemos que A A. i ( 1 i) 2 A (1 i) 0 ( 2 3i) 2 (2 3i) 4i No exemplo (22) vemos que a relação entre linhas e colunas de A é a seguinte: A r A r Consequentemente, a relação entre os elementos da matriz A é a rs a sr para r, s {1, 2,..., n}. Isso faz com que os elementos da diagonal principal tenham a seguinte característica: a rr a rr Isto é, se a rr α rr + i.β rr, então a rr a rr α rr + i.β rr (α rr i.β rr ) α rr + i.β rr α rr 0 e desta forma os elementos da diagonal principal da matriz devem, necessariamente, ser da forma a rr i.β rr Definição 23 (Matriz Anti-hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-hermitiana quando A A. Importante: Anti-hermitiana NÃO É o contrário de hermitiana!!! 4 Exercícios 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + 2 y (a) 3.X (b) y z 2. Identifique cada uma das seguintes matrizes como simétrica, anti-simétrica ou nenhum dos dois (a) (b) (c) (d) ( ) 3. Explique por quê o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem n n é fechado para a adição. Isto é, explique por quê a soma de duas matrizes simétricas de ordem n n é também uma matriz simétrica de ordem n n. O conjunto de todas as matrizes antissimétricas de ordem n n é fechado para a adição? 4. Mostre que se A é uma matriz real e simétrica, então a matriz B i.a é anti-hermitiana. 13

14 5. Seja A uma matriz quadrada. (a) Mostre que A + A T é simétrica e que A A T é antissimétrica. (b) Mostre que existe uma, e somente uma, maneira de escrever A como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 6. Se A e B são duas matrizes de mesma ordem, mostre que cada uma das sentenças é verdadeira: (a) (A + B) A + B (b) (αa) α.a 7. Mostre que (A T ) T A. 8. Dada uma matriz A C n n, quando ocorre A A T? 9. É possível encontrar uma matriz que seja ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica? E uma matriz que ao mesmo tempo seja hermitiana e anti-hermitiana? Referências [1] MEYER, Carl Dean. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual. SIAM,