GEOMETRIA E ÁLGEBRA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

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1 GEOMETRIA E ÁLGEBRA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Aluno: Adailton José do Nascimento Sousa Orientador: David Francisco Martinez Torres e Ricardo Alonso Introdução Os números complexos são muitas vezes interpretados como uma parte da matemática em que há um teor misterioso e de grau de dificuldade elevado, por ser uma parte maior que os números reais. Entretanto, pode-se provar que o conjunto dos números complexos é um corpo, ou seja, possui diversas operações usuais como adição e multiplicação, as quais possuem propriedades, como por exemplo, a associatividade, a comutatividade, existência de elementos neutros, inversos em que para a existência do inverso multiplicativo é definido o conjugado e a distributividade. Esse fato permite um olhar para os números complexos usando a álgebra linear, usando tópicos como o estudo de transformações lineares relacionadas aos números complexos, além da noção de norma de tais números. Para isso, foi preciso um estudo sobre as definições em álgebra linear como de Transformações Lineares, Subespaços Invariantes, que independem do corpo estudado (números reais ou complexos). Além disso, foi necessário o conhecimento sobre o teorema fundamental da álgebra, que dá um suporte válido no estudo de polinômios com variáveis complexas, afirmando que o número de raízes complexas será igual ao grau desse. Com o primeiro contato com uma visão geométrica dos números complexos, nota-se um isomorfismo entre o plano euclidiano e os números complexos. Consegue-se ver que a multiplicação dentro do corpo desses números equivale a uma transformação linear aos números reais do plano. De mesmo modo, a conjugação e decomposição polar equivalem a rotações e reflexões no plano Euclidiano. Estudando-se a propriedade de nilpotência de uma matriz e ao aplicar-se o teorema fundamental da álgebra no polinômio característico de uma transformação linear complexa, vê-se a existência de subespaços invariantes com uma característica forte. Isso ajudará a descrever a matriz de uma transformação da forma mais simples possível quando não se pode diagonalizar a matriz usando autoespaços, usando autoespaços generalizados que darão a forma normal de Jordan, resultado principal até agora Os Números Complexos Como Um Corpo Um corpo é um conjunto munido de duas operações, adição e multiplicação, que satisfazem certas condições fundamentais. A adição e a multiplicação são correspondências entre dois elementos a um novo que está dentro do conjunto, no caso da soma tem-se dois

2 elementos x.y que somados formam um novo elemento denotado x+y e no da multiplicação o novo elemento é denotado por x.y ambos pertencentes ao corpo. Essas duas operações obedecem às seguintes condições axiomáticas: 1. Associatividade: para todo x, y, z no corpo tem-se (x+y)+z=x+(y+z) e (x.y).z=x.(y.z) 2. Comutatividade: para todo x, y no corpo tem-se x+y=y+x e x.y=y.x 3. Elemento Neutro: existe um elemento chamado zero, denotado 0, tal que x+0=x para todo x no corpo e além disso, existe um elemento chamado um, denotado 1 tal que x.1=x seja qual for o x no corpo 4. Simétrico/Inverso Multiplicativo: todo elemento x do corpo possui um simétrico (-x) tal que x+(-x)=0 e todo elemento x do corpo que se difere do zero, possui um inverso multiplicativo x -1 tal que x.x -1 =1 5. Distributividade: dados x, y, z quaisquer no corpo K tem-se x.(y+z)=x.y+x.z A partir da definição de adição e multiplicação, é natural surgir a ideia das operações inversas a essas, chamadas subtração e divisão. Definimos x-y= x+(-y) e x/y=x.y -1. Consegue-se provar cada uma dessas propriedades para os números complexos, usandose notações usuais que definem o conjunto complexo, como a algébrica que dá o número complexo separando sua parte real da imaginária, sendo representado como um número do tipo a+b.i com a, b reais e i a unidade imaginária tal que i 2 = -1, diz-se que a é sua parte real e b sua parte imaginária, que ajuda no entendimento do isomorfismo entre o conjunto complexo (C) e o plano Euclidiano (R 2 ), sendo a coordenada do eixo x a parte real, e a do eixo y a imaginária. Também há a notação polar, em que dado um número complexo z, z=r.(cosα+i.sinα) ou a partir da fórmula de Euler, z=r.e i.α,em que r é o módulo do número complexo no plano complexo e alfa o ângulo entre o vetor que representa o número e o eixo real, no sentido anti-horário. Com essas notações, a soma de números complexos pode ser interpretada como a soma de dois vetores no plano ou de forma análoga, somando suas partes reais e imaginárias formando um novo número complexo e a multiplicação passa ser somente uma rotação no plano junto com uma contração ou expansão na norma, pois se temos z=r.e i.α e w=t.e i.β, números complexos com norma e ângulos com o eixo real diferentes, a multiplicação passa a ser definida como z.w=r.t.e i.(α+β), ou seja de fato será uma rotação no planos seguido de uma contração ou expansão da norma dependendo do valor de t. Os elementos neutros da soma e multiplicação dos complexos serão os mesmos dos números reais, mas o inverso multiplicativo definir-se-á a partir da ideia de conjugado de um número complexo, que troca o sinal de sua parte imaginária no caso da representação algébrica e troca o sinal do ângulo na forma polar. A notação de conjugado será ẕ e temos propriedades associadas como z.ẕ = r (norma de z), e o inverso multiplicativo será z -1 = ẕ / (z.ẕ). Relembrando conceitos da álgebra linear e adicionando alguns aos espaços vetoriais complexos

3 Espaço vetorial: é um conjunto cujos elementos chamam-se vetores, no qual define-se duas operações: adição e multiplicação por um escalar. Dado um espaço vetorial E, para quaisquer u,v,w em E e α,β escalares tem-se as propriedades: 1. Comutatividade: u+v=v+w 2. Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w) e (α.β).v=α.(β.v) 3. Vetor Nulo: existe um vetor nulo denotado por 0 tal que v+0=v para todo v em E 4. Inverso Aditivo: para cada v em E existe um vetor (-v) em E tal que v+(-v)=0 5. Distributividade: (α+β).v=α.v+β.v e α.(u+v)=α.u+α.v 6. Multiplicação por 1 : 1.v=v Nota-se a similaridade entre as noções de um espaço vetorial e um corpo, um espaço vetorial será complexo quando os escalares associados forem números complexos e as coordenadas dos vetores forem também números complexos. Subespaço vetorial: um subconjunto de um espaço vetorial que munido das operações axiomáticas é, ainda, um espaço vetorial. Para ser um subespaço vetorial, um subconjunto F de E deve obedecer: 1. 0 pertence a F. 2. Se u,v pertencem a F, então u+v pertencem a F. 3. Se v pertence a F então para todo escalar α, α.v pertence a F. Conjuntos linearmente dependentes e bases: um conjunto num espaço vetorial é linearmente independente quando nenhum de seus vetores pode ser escrito como combinação linear de outros e é linearmente dependente caso contrário. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto linearmente independente cujos elementos conseguem gerar qualquer elemento do espaço a partir de uma combinação linear. O número de elementos que forma a base é chamado dimensão do espaço vetorial E Transformação Linear: é uma correspondência que associa cada vetor v de um espaço vetorial E a outro espaço vetorial F, denotada por A: E F em que se associa um vetor v de E a um vetor Av de F, para quaisquer u,v em E e α escalar tem-se: A(u+v)=Au+Av e além disso, A(α.v)=α.(Av). O vetor Av chama-se imagem de v por A. Quando a transformação vai de um espaço vetorial nele mesmo pode ser chamada também de operador linear. Uma transformação Linear é muitas vezes representada não de forma algébrica, mas de forma matricial, para construir uma matriz que representa a transformação linear em dada base, basta pegar consecutivamente as imagens de cada elemento da base pela transformação, escrever essa na mesma base e ordenadamente pô-las nas colunas da matriz. Núcleo, Imagem e Teorema do Núcleo Imagem: o núcleo é um subconjunto do domínio de uma transformação linear em que a imagem de seus elementos é o vetor nulo do contradomínio. Imagem é um subconjunto do contradomínio que é formado por todas as correspondências da transformação. O Teorema do Núcleo Imagem diz que a soma da dimensão do Núcleo com a dimensão da Imagem será igual a dimensão do domínio em uma transformação linear.

4 Soma direta: diz-se que um espaço vetorial E é a soma direta de dois subespaços quando a soma desses gera o espaço, i.e, qualquer elemento de E pode ser escrito como combinação linear de dois elementos, um de cada subespaço, e a interseção entre eles é somente o vetor nulo. Subespaço Invariante: tomando um operador linear A:E E, E com dimensão finita, F é um subespaço invariante pelo operador A quando A(F) está contido em F, ou seja, a imagem de todo vetor de F é ainda um vetor de F. Um subespaço de grande importância e com grande uso é os autoespaço, que é definido naturalmente a partir da noção de conjuntos cujas imagens de uma combinação linear de seus elementos ainda é uma combinação linear de seus elementos, e o caso mais interessante é quando o autoespaço tem dimensão 1, sendo gerado por somente um vetor que será chamado de autovetor. Um vetor é chamado autovetor quando é não nulo e sua imagem pela transformação é um múltiplo dele a partir de um escalar, que será chamado de autovalor. Quando se olha para um autovalor, a dimensão do autoespaço associado a esse é chamada de multiplicidade geométrica desse autovalor. Polinômio Característico: é um polinômio que sempre possui a dimensão do espaço e tem grande importância por suas raízes serem os autovalores de um operador, que pode ajudar a encontrar autoespaços. Sabe-se que se v é um autovetor, então com uma representação matricial, Av=λ.v para algum λ escalar e v não é o vetor nulo, com isso, interpretando a equação como (A- λ.i)v=0, com I sendo a matriz identidade, sabemos que o núcleo de A- λ.i é não trivial, contendo elementos que não são o vetor nulo, assim, há um teorema que diz que o determinante de A- λ.i será igual a zero, assim, como já temos a matriz A, chegaremos num polinômio em função de λ que será igual a zero, em que suas raízes serão todos os autovalores da transformação, esse polinômio é o polinômio característico, que passa a ser o determinante da matriz A- λ.i. A multiplicidade de um autovalor no polinômio característico será chamada de multiplicidade algébrica. Produto Interno e Produto Interno Hermitiano: o produto interno uma função ExE R que associa um par de vetores u,v em E a um número real denotado por <u,v>.ele segue as seguintes propriedades para todo u,u',v,v' em E e α dos reais: 1. Bilinearidade: <u+u',v>=<u,v>+<u',v>, <u,v+v'>=<u,v>+<u,v'>, <α.u,v>= <u,α.v>=α.<u,v> 2. Simetria: <u,v>=<v,u> 3. Positividade: <u,u> 0 e <u,u>=0 se e só se u=0. O produto Interno Hermitiano é o produto interno em um espaço vetorial complexo, que possui diferenças de propriedades com o dos números reais, pois no caso dos complexos temos a noção de conjugado, que vai diferir no caso da simetria, pois o produto interno hermitiano será igual ao conjugado do produto interno do simétrico e será bilinear somente na primeira variável e a positividade continua sendo uma propriedade. Operadores nilpotentes e autoespaços generalizados Dizemos que um operador linear é nilpotente de ordem k, com k um número natural, quando ao aplicarmos k vezes a transformação ela será a transformação nula, sendo que antes de k não havia nenhum número em que isso ocorresse em linguagem matricial é o mesmo que dizer que se a matriz que representa a transformação é A, então A k =0 e A k-1 0.

5 Um autoespaço generalizado associado a um autovalor lembra o autoespaço que já conhecemos, que chamando o A matriz associada a transformação, será o núcleo de A- λ.i, a diferença está no fato que no generalizado está em busca do núcleo de (A- λ.i) n, com n sendo a multiplicidade algébrica de lambda, entrelaçando-se com o conceito de nilpotência. Esses autoespaços são importantes pela existência de um teorema dizendo que em um operador linear, a o domínio pode ser decomposto na soma direta entre os autoespaços generalizados associados a cada autovalor. A forma canônica de Jordan A existência da forma de Jordan vem da ideia de que pelo teorema fundamental da álgebra, um polinômio característico com coeficientes complexos de grau n possui sempre n raízes complexas, quando se trabalhava com os reais, tinha-se o empecilho das raízes do polinômio característico de um operador linear ter raízes complexas. A prova da existência vem a partir de dois principais teoremas, o primeiro diz que em um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita, existe uma decomposição de soma direta entre dois subespaços invariantes e G, tal que o operador é nilpotente restrito a Fe invertível em G. O segundo teorema complementa o primeiro dizendo que se α é a multiplicidade algébrica do autovalor 0, então a dimensão de F será igual a α e além disso F será o núcleo e G a imagem de A α, que é o operador aplicado α vezes, esses fatores causam a unicidade dessa decomposição em soma direta. Blocos de Jordan: um bloco de Jordan é um bloco de matriz que possui um autovalor da matriz como elemento de sua diagonal principal e todos elementos imediatamente abaixo (ou acima, dependendo da conveniência) da diagonal são iguais a 0 ou 1 e os outros elementos são nulos. Exemplo de bloco de Jordan abaixo, quando não é escrito o elemento, ele é zero. Figura 1. Bloco de Jordan associado a λi Diz-se que uma matriz está na forma de Jordan quando ela é composta com blocos de Jordan, ou seja, é da forma triangular superior com seus autovalores na diagonal, de acordo com multiplicidades algébricas. Exemplo de matriz na forma de Jordan: Figura 2. Exemplo de Matriz de Jordan Pode-se ver que no exemplo os autovalores são 1, 2 e 4, sendo que 1 e 2 tem multiplicidade algébrica 1 enquanto o 4 tem multiplicidade algébrica 2 e o quanto a matriz é mais maleável para trabalhar-se.

6 Num espaço vetorial complexo, há um teorema que garante que sempre há uma base em que todo operador linear está na forma normal de Jordan, a prova desse vem a partir da decomposição por soma direta pelos autoespaços generalizados. Conclusões A partir do que foi exposto, pode-se concluir que o conjunto dos números complexos, apesar de ser mais vasto que o conjunto dos números reais, possui uma a álgebra linear que pode ser vista de uma maneira mais simples do que quando se trata dos reais, pois sempre tenta-se arranjar a representação mais simples de uma transformação por meio de matrizes e no caso real, se a matriz não for diagonalizável, ou seja, as multiplicidades algébricas e geométricas forem iguais, há um grande problema em representar a matriz da forma mais simples. Quando se trata do conjunto dos complexos, a existência da forma canônica de Jordan, para qualquer operador linear, ajuda a sempre conseguir produzir a transformação da maneira mais elementar. Consegue-se ver a beleza da matemática nesse fato, pois um conjunto que em tese seria mais complicado de ser estudado na visão algébrica, por ser maior que um dos conjuntos mais enigmáticos e difíceis de lidar, quando estudadas as suas propriedades, classificando-o como um corpo e também usando ferramentas geométricas, é possível olhar para o mesmo e ver o quão está ligado à álgebra e chega a ser mais elementar que as transformações reais. Nessa perspectiva, vê-se o quanto a matemática entrelaça suas áreas. Referências LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, p. LIMA, Elon Lages. Análise Real volume 1: Funções de Uma Variável. 12. ed. Rio de Janeiro: IMPA, p.