Matemática III. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande

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1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande Educação Profissional Integrada ao Ensino Médio Profª Débora Bastos 5

2 . Matrizes Estudaremos no º e º bimestres Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares. Esses conteúdos pertencem a uma parte da matemática chamada ALGEBRA LINEAR... Introdução As matrizes têm muitas aplicações, surgem em vários contextos, mas a melhor forma de termos noção do que é uma matriz é relacioná-la com tabelas. Tabela Análise química de frutos brasileiros (quantidade por porções de g) Fruto Energia Proteínas Lipídios Cálcio Fósforo Ferro Vitamina (kcal) (g) (g) (mg) (mg) (mg) C (mg) açaí 6,6 5,9 9 buriti 5,, cupuaçu 7,7,6 6,6 mangaba,7,, pupunha 6,5 9,, 5 Para matemática é interessante apenas as informações numéricas, então reduziríamos a tabela em: 6,6 5,9 9 5,, ,7,6 6,6,7,, 6,5 9,, 5 Tabela Para onde foram os turistas internacionais em 999 Milhões de visitantes % Europa 6 59 Américas 6 9 Ásia e Pacífico 9 África 7, Outros 5,9 Total 657 Para matemática: , 5, Definição Sejam m e n dois números naturais maiores ou iguais a. Denomina-se matriz A de tipo mxn (lê-se m por n) uma disposição retangular de números dispostos em m linhas e n colunas. Observação:. Assim como as progressões a notação Quanto usada para cada termo fará referência a sua localização na matriz, ou seja, em que linha e em que coluna o termo (ou elemento) está.. Os elementos de uma matriz serão números reais por conveniência, porque não há impedimento para que seus elementos sejam números complexos... Notação. Nomeamos as matrizes por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C,... Os elementos da matriz são expressos genericamente por: 5 Matrizes

3 Em que: i representa a linha onde está o elemento; j representa a coluna onde está o elemento; Seus elementos (distribuídos em linhas e colunas) aparecerão entre colchetes ou parênteses; Quando queremos fazer referência a uma matriz, apenas citá-la, escrevemos: A = (a ij) mxn ; O número m é reservado para o número de linhas, e n o número de colunas, para uma determinada matriz esses números são constantes, não menos os mudam. 7 A = 9 5 Obteremos da matriz A anterior os elementos pedidos. a = ª linha e ª coluna a = ª linha e ª coluna a = ª linha e ª coluna a = ª linha e ª coluna a = ª linha e ª coluna Pense: Quantos elementos possuem uma matriz com m linhas e n colunas? a ij.. Lei de formação Em geral, os termos de uma matriz não seguem uma lei de formação. Quando uma lei existir dependerá dos índices i ou j.. A = (a ij) x tal que a ij = i + j.. X = (x ij) x x ij = i, i j j, i j.5. Matrizes Especiais.5.. Matriz linha: m = A = ( ) x.5.. Matriz coluna: n = B = x 6 Matrizes

4 .5.. Matriz nula: Todos os elementos são iguais a zero. A = x.5.. Matriz quadrada: Quando m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas. Neste caso também podemos dizer que a matriz é de ordem n, ou seja, do tipo nxn. Exemplos: B = e C = Observações: Assim como o nome sugere, uma matriz quadrada possui duas diagonais. b b b b a a a b A = a a a B = b b b b b b b a a a b b b b i+j = n+ i = j i + j = n + i = j diagonal diagonal diagonal diagonal secundária principal secundária principal 5 7 e Matriz Triangular: Matriz quadrada, cujos termos abaixo, ou acima, da diagonal principal são todos nulos Exemplos: 5 A = 5 6 B = Matriz Diagonal: Matriz quadrada, cujos termos abaixo E acima da diagonal principal são todos nulos e pelo menos um elemento da diagonal principal não é nulo. Podemos notar que uma matriz diagonal também é uma matriz triangular. A.5... Matriz Identidade: São matrizes diagonais, cujos termos da diagonal principal são todos iguais a. 7 I = I = I = I = Observação: Em geral, denotamos por I n, a matriz identidade de ordem n, ou seja, com n linhas e n colunas. 7 Matrizes

5 .5.5. Matriz Transposta. É a matriz A t, obtida da matriz A, permutando-se as linhas pelas colunas, ou seja: ª linha de A ª coluna de A t ª linha de A ª coluna de A t ª linha de A ª coluna de A t... 5 A A t =. 6. Igualdade de Matrizes Duas matrizes só possuem chance de serem iguais, se forem do mesmo tipo. Além disso, é óbvio, que se qualquer elemento na mesma posição for diferente em duas matrizes, elas não serão iguais. Definição: Duas matrizes A = (a ij) mxn e B=(b ij) pxq são iguais se, e somente se, m=p, n=q e a ij = b ij, para todo i e j.. Se M =(a ij) x é uma matriz, tal que i j,i j a ij= j,i j M é igual a: A B C D. Encontre o valor de x e y para que a igualdade abaixo seja satisfeita: E x y 9 y 6.7. Operações com matrizes. Com as matrizes podemos ter: adição, subtração, multiplicação por escalar, multiplicação entre matrizes e matriz inversa. A operação de divisão não existe entre matrizes. As operações são simples, então mostraremos qual o sentido de operar duas matrizes..7.. Adição e subtração Veja o exemplo abaixo. Nas tabelas abaixo constam as notas de três alunos em quatro disciplinas em dois bimestres. º Bimestre Matemática Física Química Biologia Ana 6 5 Bia Carlos º Bimestre Matemática Física Química Biologia Ana Bia 5 6 Carlos Matrizes

6 É natural que queiram calcular o acumulado das notas no º semestre. º Semestre Ana Bia Carlos Matemática Física Química Biologia Se observarmos somente a parte numérica, a adição entre matrizes surge de modo natural, isso se elas forem do mesmo tamanho, e os dados estiverem organizados adequadamente. Abaixo mais eles a matriz A do tipo x refere-se a tabela de notas do º bimestre, a matriz B do tipo x refere-se a tabela de notas do º bimestre, e a matriz A+B refere-se a soma dos dois bimestres, equivalente ao somatório de notas no º semestre A B A + B = A+B = Note a naturalidade da adição entre matrizes. O exemplo é simples, mas justifica a operação de adição. Teria significado subtrair as duas matrizes? É necessário definir a subtração entre matrizes? Vamos fazer de conta que não sabemos os elementos das matrizes A e B, mas sabemos quem é a matriz B A: B A = = Com este resultado o que podemos interpretar? Agora que já atribuímos significado às operações de adição e subtração, podemos defini-las formalmente. Definição: Sejam A e B matrizes de mesmo tipo mxn: Se A = (a ij) mxn e B=(b ij) mxn, então A+B = (a ij+b ij) mxn AB = (a ij-b ij) mxn Exemplos: Considere as matrizes A e B abaixo, determine A + B e A B: A 5 B A + B = A B = Pense: A adição de matrizes é comutativa? E a subtração? Será que existe uma matriz que seja neutra para adição, ou seja, a soma de qualquer matriz com ela é a própria matriz? Quem seria? 9 Matrizes

7 .7.. Multiplicação de matriz por escalar. É o mesmo que multiplicação de matriz por um número real. É necessário distinguir da multiplicação entre matrizes a qual veremos em breve. A situação abaixo, embora simples, nos demonstra o sentido de multiplicar uma matriz, todos os elementos dela, por um número real. Se os alunos do exemplo do item... estudam numa modalidade de ensino semestral de média 5, será que foram aprovados? º Semestre Matemática Física Química Biologia Ana 5 Bia 9 Carlos Completa a tabela abaixo com as médias (aritmética) de matemática, física, química e biologia do alunos citados. Ana Bia Média Matemática Física Química Biologia Carlos Para obtermos a matriz média, M, o que fazemos com os elementos da matriz S? 5 S = 9 M = Definição: Se A =(a ij) mxn e k lr, então ka =(ka ij) mxn. Dada a matriz A abaixo, obtenha A. A.. Relação das Matrizes com Vetores. Vetores representam força, aceleração, velocidade, deslocamento, entre outras coisas. Para facilitar a visualização faremos uma relação com vetor deslocamento no plano. Um vetor no plano tem duas coordenadas, assim como um ponto no plano o par de coordenadas é ordenado: º x, º y. V= (x v, y v) Adéqua-se perfeitamente também a representação de números complexos e funciona da mesma forma no lr,, basta considerar matrizes tipo x. Exemplos:. Sejam A (, ) e B (, 6), pontos no espaço. B Seja V um vetor que representa o deslocamento de A para B. Considerando que as coordenadas no espaço dos pontos A e B são matrizes linha do tipo x e o vetor V também. Temos: A = [ ] e B = [ 6 ] A 5 Matrizes

8 dfjsdfjksdlf. Agora, imagine que U = [ ] e V = [ ] são vetores que representem forças aplicadas num ponto, que representamos pela origem do sistema cartesiano ortogonal. Pela física usamos a regra do paralelogramo: V U.. Exercícios.. Na matriz A, identifique: a, a, a, a, a 5. 6 A = 5. Determine as matrizes: A = (a ij) x5 em que a ij = i j. C = (c ij) x5 em que c ij = j i. Represente explicitamente a matriz B=(b ij) x, tal que:,se i j a ij = i j, se i j. Uma rede é composta de cinco lojas, numeradas de a 5. A matriz a seguir representa o faturamento, em dólares, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro A = Cada elemento a ij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j. (a) Qual foi o faturamento da loja no dia? (b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia? (c) Qual foi o faturamento da loja no dia? 5. Obtenha os valores reais de x e de y de modo que a matriz abaixo seja nula. 5 Matrizes

9 A = x y 7 5x y 6. Sabendo que as matrizes A = A t = B, determine x e y. 5 e B = x x 6 5 y obedecem a condição 7. Considere as matrizes A = (a ij) x e B = (b ij) x tais que a ij = (j i). e b ij = i + j, determine explicitamente a matriz: C A B. Sejam as matrizes P = n N, quanto vale n? e Q =. Se ( n)i + np = Q, para 9. Considere as matrizes A = (a) A - B (b) 5A t 5 6 e B = 5, determine:. Uma matriz A é dita simétrica se A = A t e é dita antissimétrica se A t = A. Analise as afirmações seguintes. (a) Se A é uma matriz quadrada, então A + A t é uma matriz simétrica. (b) Se A é uma matriz, quadrada então A A t é uma matriz antissimétrica.. Considere os vetores U, V e W no espaço. U=[ ] e V=[ 5 ] determine, relacionando com a teoria de matrizes: (a) As coordenadas do vetor W a resultante da soma dos vetores U, V. (b) As coordenadas de um vetor cujo módulo é o triplo de U, mas de mesma direção e sentido. (c) Sabendo que V está com origem em A = [ ], determine o ponto da extremidade de V. 5 Matrizes