Matrizes - Transpostas e Simetrias
|
|
- Nicolas Paranhos Garrau
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Matrizes - Transpostas e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de julho de / 34
2 Sumário 1 Transposição / 34
3 Sumário 1 Transposição / 34
4 Considere as matrizes [ ] 1 i (2 + i) A = (2 2i) (1 + i) 4 1 (2 2i) e B = i (1 + i) (2 + i) 4 Alguma semelhança entre elas? Foi feita a transposição de cada linha de A para uma coluna de B. 4 / 34
5 Definição (Transposta de uma Matriz) Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m. Se reescrevermos os elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá ordem m n e será chamada transposta de A, cuja notação é A T. a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a a n1 A T a 12 a a n2 =... a 1m a 2m... a nm 5 / 34
6 Exemplos: m m 2 A = n... m n 1 i 1 i i 1 i 1 A = 1 i 1 i i 1 i 1 A T = A T n =... m m 2... m n 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 6 / 34
7 Sumário 1 Transposição / 34
8 Qual o conjugado do número complexo z = 3 2i? z = 3 + 2i. (Conceito Algébrico) Qual o significado geométrico para o conjugado de um número complexo? Repare que z + z R. Em geral: z = a + bi = z = a bi 8 / 34
9 Mas, e a conjugada de uma matriz? Definição () Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m. A matriz conjugada de A é definida por: A = [a rs ] onde a rs é o conjugado do número complexo a rs para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., m}. a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm Qual a ordem da matriz conjugada A? 9 / 34
10 Exemplos: 1 i 1 i 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i A = A = / 34
11 Sumário 1 Transposição / 34
12 Podemos tomar a conjugada e a transposta de uma matriz A. [ ] (3 i) ( 2 + i) 4 A = i 2i ( 1 i) (3 i) i (3 + i) i A T = ( 2 + i) 2i A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 i) 4 ( 1 + i) [ ] (3 + i) ( 2 i) 4 (3 + i) i A = i 2i ( 1 + i) A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 + i) A T = A T 12 / 34
13 Em geral a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a a n1 a A T 12 a a n2 =... a 1m a 2m... a nm a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm A T = A T a 11 a a n1 a A T 12 a a n2 =... a 1m a 2m... a nm a 11 a a n1 a A T 12 a a n2 =... a 1m a 2m... a nm 13 / 34
14 Notação Quando quisermos denotar a matriz conjugada e transposta de uma matriz A, usaremos a notação Isto é, A A = A T 14 / 34
15 Propriedades Dada uma matriz A de ordem n m, são válidas: (A + B) T = A T + B T (A + B) = A + B (α.a) T = α.a T (α.a) = α.a 15 / 34
16 Prova Provemos a última igualdade: (α.a) = α.a (α.a) = (α.a) T = (α.[a rs ] n m ) T = ([α.a rs ] n m ) T = ([α.a rs ] n m ) T = [α.a sr ] m n = [α.a sr ] m n = α.[a sr ] m n = α.[a rs ] T m n = α.a 16 / 34
17 Sumário 1 Transposição / 34
18 A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradas podem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremos a seguir. A = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 Veja que A = A T A T = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 18 / 34
19 Matriz Simétrica Definição (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A = A T. Observe que em uma matriz simétrica, A 1 = A 1, A 2 = A 2,... A n = A n Consequentemente a rs = a sr para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., n}. 19 / 34
20 Exemplo Seja A = [a rs ] n n a matriz tal que a rs = (r s) 2. A é simétrica? a rs = a sr? (r s) 2 = (s r) 2? Sim. Portanto, A é simétrica. 20 / 34
21 Matriz Antissimétrica Considere o seguinte caso: A = A T = Observe que A T = A. Definição (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica quando A T = A. Tem-se A 1 = A 1, A 2 = A 2,..., A n = A n. Consequentemente, a rs = a sr 21 / 34
22 Matriz Antissimétrica Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz antissimétrica então sua diagonal principal é nula. Verdadeiro! a rs = a rs = a 11 = a 11, a 22 = a 22,..., a nn = a nn Daí, 2a 11 = 0, 2a 22 = 0,..., 2a nn = 0 Ou seja, a 11 = 0, a 22 = 0,..., a nn = 0 Observação ANTISSIMÉTRICA NÃO É O CONTRÁRIO DE SIMÉTRICA 22 / 34
23 Matriz Antissimétrica Exemplo A = A T = Claramente não ocorre A T = A nem A T = A. Portanto A não é simétrica, nem antissimétrica. 23 / 34
24 Existem matrizes que são, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica? Dada A = [a rs ] n n, é possível: a rs = a sr e a rs = a sr, para cada r, s {1, 2..., n}? Se a rs = a sr e a rs = a sr, então a sr = a rs, isto é, a sr = 0. Portanto a rs = 0. Conclusão: A = / 34
25 Matriz Hermitiana Quando consideramos a matriz conjugada transposta, temos conceitos análogos para simetria e antissimetria. 2 1 i 2 + 2i Seja A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i i 2 + 2i Então Se A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i 4 Conclusão: A = A. 25 / 34
26 Definição (Matriz Hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é hermitiana a quando A = A. a Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite ( ). A 1 = A 1, A 2 = A 2,..., A n = A n Isto é, a rs = a sr 26 / 34
27 Matriz Hermitiana Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz hermitiana, então sua diagonal principal é formada por números reais puros. Verdadeiro! Sendo A hermitiana, então A = A. Isto é, a rs = a sr Em particular, a 11 = a 11, a 22 = a 22,..., a nn = a nn Para a 11 = a 11, temos que a 1 + ib 1 = a 1 ib 1, ou seja, b 1 = b 1. Portanto b 1 = 0 e a 11 = a 1 + i.0 = a 1 R. Da mesma forma, a 22, a 33,..., a nn R. 27 / 34
28 Matriz Anti-hermitiana 2i 3 + 5i 2 7i Seja A = 3 + 5i i 9 3i 2i 3 5i 2 + 7i Então Se A = 3 5i i 9 3i Conclusão: A = A. 28 / 34
29 Definição (Matriz Anti-hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-hermitiana quando A = A. A 1 = A 1, A 2 = A 2,..., A n = A n Daí, a rs = a sr O que acontece com a diagonal principal de uma matriz anti-hermitiana? São elementos na forma i.b com b R. Observação ANTI-HERMITIANA NÃO É O CONTRÁRIO DE HERMITIANA 29 / 34
30 Sumário 1 Transposição / 34
31 Exercício Mostre que (A T ) T = A Solução a 11 a a 1m a 11 a a n1 a 21 a a 2m A = A T a 12 a a n2 = a n1 a n2... a nm a 1m a 2m... a nm a 11 a a 1m (A T ) T a 21 a a 2m =... = A a n1 a n2... a nm 31 / 34
32 Exercício O que ocorre com (A )? Solução a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... a n1 a n2... a nm a 11 a a 1m (A ) a 21 a a 2m =... a n1 a n2... a nm a 11 a a n1 A a 12 a a n2 =... a 1m a 2m... a nm a 11 a a 1m (A ) a 21 a a 2m =... = A a n1 a n2... a nm 32 / 34
33 Exercício Qual a solução para X = X T? Solução x 11 x x 1m x 21 x x 2m X =... x n1 x n2... x nm x 11 x x n1 X T x 12 x x n2 =... x 1m x 2m... x nm m n x 11 x x n1 X x 12 x x n2 =... x 1m x 2m... x nm x rs = x rs x rs R X R n m m n 33 / 34
34 Exercício Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz B = A + A T é simétrica. Exercício Devemos mostrar que B T = B B = A + A T = B T = (A + A T ) T = B T = A T + (A T ) T = B T = A T + A = B T = B Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz C = A A T é antissimétrica. 34 / 34
Matrizes - Transpostas e Simetrias
Matrizes - Transpostas e Simetrias Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 20152
Leia maisMatrizes - Parte 1. Márcio Nascimento
Matrizes - Parte 1 Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 20171 4 de setembro
Leia maisRepresentação de um conjunto de Matrizes Operações Produto de Matriz por escalar Transposição de Matrizes Simetrias Exercícios. Matrizes - Parte 1
Matrizes - Parte 1 Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2019.1 11 de julho de
Leia maisÁlgebra Matricial - Nota 06 Matrizes
Álgebra Matricial - Nota 06 Matrizes Márcio Nascimento da Silva 8 de outubro de 2013 A manipulação com números dispostos em linhas e colunas foi muito útil na resolução de sistemas. Vimos que esta forma
Leia maisDeterminantes. 23 de março de 2015
s Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2
Leia maisDeterminantes. Prof. Márcio Nascimento
Determinantes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 17 de outubro
Leia maisDeterminantes. 23 de janeiro de 2014
s s Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial 23 de janeiro de 2014 1 / 19 Sumário s 1 2 3 2 / 19 Sumário
Leia maisMatrizes - Soma e Produto por Escalar
Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1 23 de julho de 2015 Sumário 1 Representação de um
Leia maisMatrizes e sistemas de equações algébricas lineares
Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)
Leia maisDeterminantes. Prof. Márcio Nascimento
Determinantes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 4 de fevereiro
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 21 de
Leia maisMATRIZES. Fundamentos de Matemática- Ciências Contábeis
MATRIZES Fundamentos de Matemática- Ciências Contábeis INTRODUÇÃO Nas próximas aulas veremos os conceitos básicos sobre matrizes. Estes conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas
Leia maisLista de Exercícios 05 Álgebra Matricial
Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial - 016.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis
Leia maisMatrizes - Soma e Produto por Escalar
Prof. Márcio Nascimento UVA-CCET Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 16 de dezembro de 2015 Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Soma de
Leia maisÁlgebra Matricial - Nota 06 Matrizes
Álgebra Matricial - Nota 06 Matrizes Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 9 de fevereiro de 2015 A manipulação com
Leia maisProduto de Matrizes. Márcio Nascimento
Produto de Matrizes Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2016.1 1 de dezembro
Leia maisProduto de Matrizes. Márcio Nascimento
Produto de Matrizes Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 11 de Setembro
Leia maisGeometria Analítica e Álgebra Linear
UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá campus Itabira Geometria Analítica e Álgebra Linear Parte 1 Matrizes 1 Introdução A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador da álgebra
Leia maisLista 2 - Resolução. 1. Verifique se os produtos abaixo estão bem definidos e, em caso afirmativo, calcule-os.
GAN00140 Álgebra Linear 018.1 Prof a. Ana Maria Luz F. do Amaral Lista - Resolução 1. Verifique se os produtos abaixo estão bem definidos e, em caso afirmativo, calcule-os. 1 a) b) 1 3 0 0 1 /. 1 1/ 1
Leia maisDeterminantes - Parte 02
Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1 10
Leia maisMétodos Matemáticos II
Sumário Métodos Matemáticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design Multimédia Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gabinete 4 nbastos@mat.estv.ipv.pt http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/nbastos.
Leia maisDeterminantes - Parte 02
Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 23
Leia maisSistemas - Relações entre as colunas da matriz ampliada
Sistemas - Relações entre as colunas da matriz ampliada Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula Forma diagonal de uma matriz diagonalizável
Álgebra Linear I - Aula 18 1 Forma diagonal de uma matriz diagonalizável 2 Matrizes ortogonais Roteiro 1 Forma diagonal de uma matriz diagonalizável Sejam A uma transformação linear diagonalizável, β =
Leia maisMatrizes. Lino Marcos da Silva
Matrizes Lino Marcos da Silva lino.silva@univasf.edu.br Introdução Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados população, área e distância
Leia maisMatrizes. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais. Abril de 2014
es Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais Abril de 2014 Matrizes Matrizes Uma matriz A, m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas.
Leia maisSumário. Capítulo 1 - Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1
Sumário Capítulo 1 - Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1 Capítulo 2 - Problemas sobre Correlacionamento... 7 2.1. Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos...7 2.2. Considerações Finais sobre
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 18 de
Leia maisa mnx n = b m
MTRIZES s matrizes são ferramentas básicas da Álgebra Linear, pois além de fornecerem meios para resolução dos sistemas de equações lineares, elas também representarão as transformações lineares entre
Leia maisInterbits SuperPro Web
1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 1 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 47 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática
Leia maisGeovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia
Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br 1 Álgebra Linear Computacional - Parte
Leia maisDeterminantes - Parte 02
Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.2 07
Leia maisMatemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares
Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares
Leia maisé encontrado no cruzamento da linha i com a coluna j, ou seja, o primeiro índice se refere à linha e o segundo à coluna.
Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal De Santa Catarina Campus São José Professora: ELENIRA OLIVEIRA VILELA COMPONENTE CURRICULAR: ALG ÁLG. LINEAR MATRIZES
Leia maisCapítulo 1 - Cálculo Matricial
Capítulo 1 - Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 33 DeMat-ESTiG Sumário Cálculo
Leia maisINTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR. Prof.ª Chiara Maria S. L. Dias 3ª fase Licenciatura em Matemática
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR Prof.ª Chiara Maria S. L. Dias 3ª fase Licenciatura em Matemática PLANO DE ENSINO: 1. EMENTA: Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Espaços Vetoriais 2. CARGA HORÁRIA: 60
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
IST - 1 o Semestre de 016/17 MEBiol, MEAmbi EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Vectores e valores próprios 1 1 Vectores e valores próprios de transformações lineares Dada uma transformação linear T V!
Leia maisMatrizes - Matemática II /05 1. Matrizes
Matrizes - Matemática II - 00/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) i f1; ; ; mg e j f1; ; ; ngg e com valores
Leia maisEduardo. Matemática Matrizes
Matemática Matrizes Eduardo Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos
Leia maisCapítulo 1 - Cálculo Matricial
Capítulo 1 - Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 34 DeMat-ESTiG Sumário Cálculo
Leia maisHerinelto da Fonseca Josefa Casimiro Doutorando em «Métodos matemáticos e instrumentais»
1 Matriz inversa: nova técnica para sua determinação não usando o critério tradicional 1 Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro Doutorando em «Métodos matemáticos e instrumentais» Palavras-chave: matriz
Leia maisdiferente do número de variáveis
Eliminação Gaussiana - Número de equações diferente do número de variáveis Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática
Leia mais- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;
DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;
Leia maisinteiros positivos). ˆ Uma matriz com m linhas e n colunas diz-se do tipo m n. Se m = n ( matriz quadrada), também se diz que a matriz é de ordem n.
Matrizes noções gerais e notações Definição Designa-se por matriz de números reais a um quadro do tipo a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn onde os elementos a ij (i = 1, 2,...,
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica
Leia maisSME0812 Modelos Lineares. Álgebra Matricial. 17 de março de / 1
SME0812 Modelos Lineares Álgebra Matricial 17 de março de 2015 1 / 1 Notação Escreveremos A = A n m para denotar uma matriz de dimensão n m, ou seja, uma matriz com n linhas e m colunas: a 11 a 12 : :
Leia maisSumário. Capítulo 1 Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1
Sumário Capítulo 1 Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1 Capítulo 2 Problemas sobre Correlacionamento... 5 2.1. Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos...5 2.2. Considerações Finais Sobre
Leia maisNotas de Aula. Gustavo Henrique Silva Sarturi. i Z (1 i m) a j1 a j2
Notas de Aula Gustavo Henrique Silva Sarturi Matemática B - Em Ação gustavo.sarturi@ufpr.br 1 Matrizes Definição 1.1. Uma matriz A m n é um arranjo retangular de m n números reais (ou complexos) organizados
Leia maisRevisão de Álgebra Linear
Introdução: Revisão de Álgebra Linear Antonio Elias Fabris Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo Map 2121 Aplicações de Álgebra Linear Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de
Leia maisAvaliação e programa de Álgebra Linear
Avaliação e programa de Álgebra Linear o Teste ( de Março): Sistemas de equações lineares e matrizes. Espaços lineares. o Teste ( de Maio): Matriz de mudança de base. Transformações lineares. o Teste (
Leia maisINE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação
INE543 - Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação 5) Relações 5.) Relações e Dígrafos 5.2) Propriedades de Relações 5.3) Relações de Equivalência 5.4) Manipulação de Relações 5.5) Fecho de
Leia maisNotas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações
Leia maisÁlgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan
Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 8
Leia maisNOTAS DE AULA DE MAT 137 -PRIMEIRA SEMANA Profa. Margareth Turmas 2 e 7. Atleta 1 7, ,4. Atleta Atleta 3 9 7,5 8,5 7,9
NOTAS DE AULA DE MAT 137 -PRIMEIRA SEMANA Profa Margareth Turmas e 7 01 Motivação Num torneio de triatlon as competições: nado, corrida e ciclismo foram pontuadas com pesos x, y e z, respectivamente A
Leia maisSão tabelas de elementos dispostos ordenadamente em linhas e colunas.
EMENTA (RESUMO) Matrizes Matrizes, determinantes e suas propriedades, Multiplicação de matrizes, Operações com matrizes, Matrizes inversíveis. Sistemas de Equações Lineares Sistemas equações lineares,
Leia maisÁlgebra Matricial Notas de Aulas 3 ( Terceira Avaliação ) Prof Carlos Alberto S Soares
Álgebra Matricial Notas de Aulas 3 ( Terceira Avaliação Prof Carlos Alberto S Soares 1 Matrizes Diagonais Lembramos que uma matriz A n n será dita matriz diagonal de ordem n se todos os elementos fora
Leia maisMétodo de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos
Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto
Leia maisPropriedades da Inversão de Matrizes
Propriedades da Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial
Leia mais1 Matrizes e Determinantes
1 Matrizes e Determinantes 11 Introdução Definição (Matriz): Uma matriz A m n é um arranjo retangular de mn elementos distribuídos em m linhas horizontais e n colunas verticais: a 11 a 12 a 1j a 1n a 21
Leia maisSéries Numéricas 2,10,12,16,17,18,19,? 2,4,6,8,10,? 2,4,8,16,32,?
SÉRIES NUMÉRICAS Séries Numéricas Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma regra, uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos: 2,10,12,16,17,18,19,?
Leia maisMatemática Computacional
Matemática Computacional Ed. v1.0 i Copyright 2013 UAB Você tem a liberdade de: Compartilhar copiar, distribuir e transmitir a obra. Remixar criar obras derivadas. Sob as seguintes condições: Atribuição
Leia maisMP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais
MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais Seção 2.1: Álgebra Linear e Matrizes Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica davists@ita.br São José
Leia maisMATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05
UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais
Álgebra Linear I - Aula 19 1. Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais. 2. Matrizes ortogonais 2 2. 3. Rotações em R 3. Roteiro 1 Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que
Leia maisAFRFB 2014 Resolução da Prova de Raciocínio Lógico
AFRFB 014 Resolução da Prova de Raciocínio Lógico Raciocínio Lógico-Quantitativo p/ RFB Resolução da Prova AFRFB 014 Questão 6: ESAF - AFRFB 014 Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum
Leia maisMATRIZES. Conceitos e Operações
MATRIZES Conceitos e Operações As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes.
Leia mais[ ] EXEMPLOS: Muitas vezes precisamos montar uma Matriz a partir de uma lei geral. Analise os exemplos a seguir:
MATRIZES CONCEITO: Um conjunto de elementos algébricos dispostos em uma tabela retangular com linhas e colunas é uma Matriz. A seguir, vemos um exemplo de Matriz de 3 linhas e 4 colunas, e que representaremos
Leia maisNúmeros Complexos - Parte I. Interpretação Geométrica dos Números Complexos. z = a+bi
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes Aula 16 Números Complexos - Parte I Introdução e Forma Algébrica São as expressões da forma a + bi, em que a e b são números
Leia maisMárcio Nascimento. 19 de fevereiro de 2018
Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.2 19 de fevereiro de 2018 1 / 16 Considere
Leia maisCapítulo 1. Matrizes e Sistema de Equações Lineares. 1.1 Corpos
Capítulo 1 Matrizes e Sistema de Equações Lineares Neste capítulo apresentaremos as principais de nições e resultados sobre matrizes e sistemas de equações lineares que serão necessárias para o desenvolvimento
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 1-Matrizes Departamento de Matemática FCT/UNL 2016-2017 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 1 / 67 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas
Leia mais1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21
Leia maisProf a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia
Projeto TEIA DO SABER 2007 UNESP Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo
Leia maisÁlgebra matricial exercícios 1-13; sebenta, páginas π
Matemática II 017/18 - Gestão - ESTG/IPBragança Constrói o teu próprio caderno de apontamentos. Resolve todos os exercícios. Cria a tua folha de soluções. Dene os conceitos indicados na última página desta
Leia maisProduto Interno. Prof. Márcio Nascimento.
Produto Interno Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear
Leia maisPLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO
PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO Escola: IFC Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2 ano Nível: Ensino médio Professor: Giovani Marcelo Schmidt Tempo estimado: Cinco aulas
Leia maisÁLGEBRA LINEAR A FICHA 7
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Dez/3 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA SOLUÇÕES SUMÁRIAS DOS EXERCÍCIOS ÍMPARES Cálculo de Valores Próprios
Leia maisMatrizes. a inversa da matriz , onde cada elemento aij
Matrizes. (Ufpe 03) Seja a c b d a inversa da matriz 3. 4 Indique a b c d.. (Espm 03) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é 4 x 5 dada pela matriz 3 y, onde cada elemento
Leia maisElementos de Matemática Avançada
Elementos de Matemática Avançada Prof. Dr. Arturo R. Samana Semestre: 2012.2 Conteúdo - Objetivos da Disciplina - Ementa curricular - Critérios de avaliação - Conteúdo programático - Programação Objetivos
Leia maisficha 4 valores próprios e vectores próprios
Exercícios de Álgebra Linear ficha 4 valores próprios e vectores próprios Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12
Leia mais5. Seja A uma matriz qualquer. Assinale a afirmativa
UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Umberto Data: 12 de julho de 2013 Terceira Prova 1. Considere no espaço
Leia maisUniversidade Estadual do Piauí. Campus Professor Alexandre Alves de Oliveira
Universidade Estadual do Piauí Campus Professor Alexandre Alves de Oliveira Coordenação de Ciências da Computação Apostila de Álgebra Linear e Geometria Analítica Professor: Dr. Olímpio Pereira de Sá Neto
Leia maisDeterminantes. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica Determinantes 1 / 17
Capítulo 2 Determinantes ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 1 / 17 Definições ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17 Definições Seja A = [a kl ] uma matriz
Leia maisficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2
Leia mais7 temos que e u =
Capítulo 1 Complementos de Álgebra Linear 11 Introdução Seja A = [a ij ] uma matriz quadrada de ordem n e pensemos na transformação linear R n! R n que a cada cada vector u R n faz corresponder um vector
Leia maisExercício Obtenha, em cada caso, o módulo, o argumento e a forma trigonométrica de z: a) z = 1 + i. setor Aula 31. ρ = 1 2 +( 3 ) 2 ρ= 2.
setor 0 00408 Aula NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS Até este ponto, usamos, para representar um número complexo a expressão a + b i, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária Com
Leia maisCálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas 1 Formas quadráticas Uma forma quadrática em R n é um polinómio do
Leia maisexercícios de álgebra linear 2016
exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores
Leia maisMatrizes. Laura Goulart. 29 de Outubro de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16
Matrizes Laura Goulart UESB 29 de Outubro de 2018 Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de 2018 1 / 16 Motivação Chama-se matriz de ordem m por n uma tabela com m n elementos(em geral, números reais)
Leia maisÁLGEBRA MATRICIAL E O METÓDO DE GAUSS: POSSIBILIDADES PARA A
ÁLGEBRA MATRICIAL E O METÓDO DE GAUSS: POSSIBILIDADES PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú VI SEPMAT - UECE 23 de março de 2017 1 / 115 Sumário 1 Brevíssimo Histórico
Leia maisMATEMÁTICA. Aula 14 Matrizes. Prof. Anderson
MATEMÁTICA Aula Matrizes Prof. Anderson Assuntos Conceito Matrizes com Nomes Especiais Igualdade de Matrizes Operações com Matrizes Matriz Inversa Conceito As matrizes são quantidades de dados passíveis
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes
Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 Importante Material desenvolvido a partir dos livros
Leia mais1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0
1.3 Matrizes inversas Definição: Seja A uma matriz de ordem k n, a matriz B de ordem n k é uma inversa à direita de A, se AB = I. A Matriz C de ordem n k é uma inversa à esquerda de A, se CA = I. Exemplo
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 22
Álgebra Linear I - Aula 1. Bases Ortonormais.. Matrizes Ortogonais. 3. Exemplos. 1 Bases Ortonormais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de
Leia maisMatrizes - ALGA /05 1. Matrizes
Matrizes - ALGA - 004/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) : i f1; ; :::; mg e j f1; ; :::; ngg e com valores
Leia mais