Álgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais

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1 Álgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais. 2. Matrizes ortogonais Rotações em R 3. Roteiro 1 Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de vetores distintos u e v da base β se verifica que u v = 0. Uma base γ é ortonormal se é ortogonal e todo vetor da base é um vetor unitário (ou seja, u u = 1 para todo vetor de γ. Como já vimos, calcular as coordenadas de um vetor em uma base ortogonal é muito simples (mais ainda se a base é ortonormal. Suponha que estamos em R 3 e que β = {u, v, w} é uma base ortonormal. Queremos determinar as coordenadas de um vetor l na base β, ou seja Para determinar a considere l u, (l β = (a, b, c, l = a u + bv + c w. l u = (a u + bv + c w u = a (u u + b (u v + c (u w. Observe que, como a base é ortonormal, u u = 1, u v = 0 = u w. Logo Analogamente obtemos, a = l u. b = l v, c = l w. 1

2 Exercício 1. Encontre uma base ortonormal β que contenha dois vetores paralelos a (1, 1, 1 e (1, 1, 0. Obtida a base β, determine as coordenadas do vetor (1, 2, 3 em dita base. Resposta: O terceiro vetor da base deve ser ortogonal a (1, 1, 1 e (1, 1, 0, portanto, é paralelo a (1, 1, 1 (1, 1, 0, isto é, paralelo a (1, 1, 2. Uma possível base β (existem muitas possibilidades é β = {(1/ 3, 1/ 3, 1/ 3, (1/ 2, 1/ 2, 0, (1/ 6, 1/ 6, 2/ 6}. As coordenadas de (1, 2, 3 na base β são (a, b, c onde a = (1, 2, 3 (1/ 3, 1/ 3, 1/ 3 = 6/ 3, b = (1, 2, 3 (1/ 2, 1/ 2, 0 = 1/ 2, c = (1, 2, 3 (1/ 6, 1/ 6, 2/ 6 = 3/ 6. Obtemos assim as coordenadas. 1.2 Matrizes ortogonais Dada uma matriz quadrada M sua transposta, denotada M t, é uma matriz cujas linhas são as colunas de M, ou seja, se M = (a i,j e M t = (b i,j se verifica b j,i = a i,j. Definição 1 (Matriz ortogonal. Uma matriz M é ortogonal se é inversível e M 1 = M t, ou seja, MM t = M t M = Id. Observe que se M é ortogonal então sua transposta também é ortogonal (veja que (M t 1 = M. Portanto, a inversa de uma matriz ortogonal também é ortogonal. Propriedade 1.1. O produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal. Prova: Para provar a afirmação, lembre que (AB t = B t A t. Sejam agora M e N ortogonais, isto é, N N t = Id = M M t. Temos (M N (M N t = M N N t M t = M (N N t M t = M M t = Id. Portanto, o produto M N é ortogonal. 2

3 Propriedade 1.2. O determinante de uma matriz ortogonal é igual a ±1. Prova: Para provar a afirmação é suficiente lembrar que M t e M têm o mesmo determinante e que o determinante da identidade é igual a 1, logo det(mm t = det(m det(m t = det(m 2 = Matrizes ortogonais: interpretação geométrica Propriedade 1.3. Uma matriz ortogonal é uma matriz cujas colunas (ou linhas formam uma base ortonormal (de fato, isto é uma definição geométrica alternativa de matriz ortogonal. Prova: Para simplificar a notação veremos a afirmação para matrizes 2 2. Seja M uma matriz ortogonal cujos vetores coluna são u = (a, b e v = (c, d. ( ( ( a b a c a a + bb a c + bd Id = M t M = = = c d b d a c + bd c c + d d = ( u u u v u v v v = ( Logo u u = v v = 1, u v = 0, e u e v formam uma base ortonormal. De fato, o argumento anterior mostra o seguinte: Propriedade 1.4. Uma matriz é ortogonal se, e somente se, seus vetores coluna formam uma base ortonormal. Multiplicando MM t, v. obterá a mesma afirmação para os vetores linha: Propriedade 1.5. Uma matriz é ortogonal se, e somente se, seus vetores linha formam uma base ortonormal. Observação 1. O fato anterior implica que a matriz de uma rotação ou de um espelhamento (na base canônica é uma matriz ortogonal. Também implica que a matriz de uma projeção não é ortogonal (em nenhuma base. 3

4 Veremos que a propriedade anterior implica que: Propriedade 1.6. Uma matriz ortogonal A conserva ângulos e módulos. Prova: Como já vimos quando estudamos espelhamentos e rotações, é suficiente ver que a matriz A conserva o produto escalar. Sejam v 1 = A(1, 0, 0, v 2 = A(0, 1, 0 v 3 = A(0, 0, 1. Pela Propriedade 1.3, como A é ortogonal, β = {v 1, v 2, v 3 } é uma base ortonormal. Considere vetores u = (a, b, c e v = (d, e, f, Observe que A(u = a v 1 + bv 2 + c v 3, A(v = d v 1 + e v 2 + f v 3. Usando que v 1 v 2 = v 1 v 3 = v 2 v 3 = 0 e que v i v i = 1, i = 1, 2, 3, temos A(u A(v = (a v 1 + bv 2 + c v 3 (d v 1 + e v 2 + f v 3 = = (a d (v 1 v 1 + (be (v 2 v 2 + (c f (v 3 v 3 = = a d + be + c f = u v. Obtemos assim a afirmação. Propriedade 1.7 (Autovalores de uma matriz ortogonal. Todo autovalor real de uma matriz ortogonal A é igual a 1 ou 1. Todo autovalor complexo de A tem módulo 1. Prova: A afirmação sobre autovalores reais é obvia: se λ é um autovalor e u um autovetor associado a A, u = A(u = λ u = λ u, Portanto λ = ±1. Para ver que os autovalores complexos têm módulo igual a 1 (veremos isto em dimensão dois ou três usaremos que o determinante de A é igual ao produto dos autovalores e que números complexos conjugados têm o mesmo módulo. Observe também que se λ é um autovalor então λ (seu conjugado também é um autovalor. Portanto, 1 = det(a = λ λ = λ 2. Logo 1 = λ. Em dimensão três a prova e idéntica usando que existe um autovalor real que é igual a ±1. 4

5 2 Matrizes ortogonais 2 2 Seja A uma matriz ortogonal 2 2. Existem as seguintes possibilidades para os autovalores de A: (a autovalor 1 (duplo, (b autovalor 1 (duplo, (c autovalores 1 e 1, (d autovalores complexos conjugados de módulo 1 (isto é, da forma cos α± isen (α. Observe que temos as seguintes propriedades sobre os traços: (a autovalor 1 (duplo: traço 2, (b autovalor 1 (duplo: traço 2 (c autovalores 1 e 1: traço 0, (d autovalores complexos conjugados: traço diferente de 0 (excluido o caso em que os autovalores são imaginários puros. Isto significa que estudando o traço da matriz (excluido um caso, que veremos a seguir é possível saber o significado geométrico de transformação ortogonal em dimensão 2. Estas matrizes são: (a a identidade, (b menos a identidade, (c um espelhamento, (d uma rotação. Veremos o caso em que a matriz M verifica (c, os casos (a e (b são similares (somente que muito mais simples!. O caso (d será obtido quase de graça. As etapas do caso (c são as seguintes: 1. Considere u um autovetor associado a Considere v um vetor perpendicular a u. Como M é ortogonal conserva ângulos, protanto M(v é perpendicular a u. 3. Como M(v 0, lembre que v 0 e que M conserva módulos, temos que M(v = σv. 5

6 4. Como os autovalores reais de uma matriz ortogonal são ±1, há duas possibilidades, σ = 1 ou σ = 1. Por hipótese, ocorre a última possibilidade. 5. Portanto, M tem autovalores 1 e 1 e existe uma base ortogonal de autovetores de M, no caso {u, v}. Logo M é um espelhamento respeito a reta de vetor diretor u que contém a origem. Vejamos rapidamente o caso (d. Observe que como a primeira coluna de A é um vetor unitário é da forma (cosθ, sen θ para algum θ. Como o vetor correspondente à segunda coluna é ortogonal e unitário, há duas possibilidades: (sen θ, cos θ e ( senθ, cos θ. Portanto há duas possibilidades para a matriz A A = ( cosθ sen θ sen θ cosθ ( cosθ sen θ ou A = sen θ cosθ Observe que a primeira matriz tem traço igual a zero. Suponha que os autovalores sejam da forma a ± i b, onde a 0. Em tal caso, a primeira possibilidade pode ser descartada, pois o traço da matriz é zero. Logo estamos na segunda opção, que já sabemos que representa uma rotação de ângulo θ no sentido anti-horário. Portanto, falta o caso em que os autovalores não têm parte real, e o traço é zero. É simples ver que as únicas possibilidades são A = ( ou A = ( que representam rotações de π/2 e (3π/2 radianos. Exemplos 1. A matriz ortogonal ( 1/ 2 1/ 2 A = 1/ 2 1/ 2 representa uma rotação de 45 graus. Veja que tem autovalores complexos e calcule o ângulo de (1, 0 e A(1, 0. De fato, como o traço é diferente de 0 não pode ser um espelhamento, como é diferente de 2 não é a identidade (bem, isto é obvio!, e como é diferente de 2 não é menos a identidade! Ou seja, a única opção é uma rotação.. 6

7 A matriz ortogonal A = ( 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 tem determinante 1 e traço zero. Logo, necessariamente, seus autovalores são 1 e 1. Logo, representa um espelhamento. Para determinar a reta de projeção, lembre que A(1, 0 (1, 0 = ((1 2/ 2, 1/ 2 é o vetor normal à dita reta, ou seja um autovetor associado a 1. 3 Rotações em R 3 Uma rotação cujo eixo é a reta r que contém a origem e é paralela ao vetor n = (a, b, c e ângulo α é uma transformação linear R que verifica: R(n = n, para todo vetor u do plano π: ax+by+cz = 0 temos que R(u pertence a π e forma α graus com v (dito de outra forma, a restrição de R ao plano π é uma rotação no plano. A última afirmação implica que se h e w são vetores do plano π se verifica h w = R(h R(w. O mesmo raciocínio que fizemos com as rotações de eixos coordenados implicam que R conserva módulos e ângulos. Portanto, R é uma transformação ortogonal. Mais uma vez, para provar esta afirmação é suficiente ver que R conserva o produto escalar. Considere dois vetores u e v. Escrevemos u = n + h, v = m + w, onde n e m são vetores paralelos ao eixo de rotação e h e w ortogonais ao eixo (ou seja, do plano π. Temos u v = (n + h (m + w = n m + n w + h m + h w = n m + h w. Também, R(u = n + R(h, R(v = m + R(w, 7

8 onde R(h e R(w são ortogonais a n e m. Portanto, R(u R(v = (n + R(h (m + R(w = = n m + n R(w + R(h m + R(v R(w = = n m + R(v R(w = n n + v w. Nas próximas aulas veremos que R é semelhante a uma matriz de rotação em torno ao eixo X da forma A = 0 cosα sen α. 0 sen α cosα Como a matriz A não é diagonalizável (a não ser que α seja 0 ou π, a matriz R não é diagonalizável (lembre que se R fosse diagonalizável a matriz A também seria diagonalizável. 8