Unidade 14 - Operadores lineares e mudança de base nos espaços euclidianos bi e tri-dimensionais

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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 14 - Operadores lineares e mudança de base nos espaços euclidianos bi e tri-dimensionais A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013

2 Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, por exemplo: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço. Nesta unidade será dada uma espacial atenção a operadores em R 2 e em R 3. Em geral, os operadores lineares de R 2 ou de R 3 que levam cada vetor em seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de reflexões. Abaixo, apresentamos algumas das reflexões mais comuns em R 2 e R 3. Fixamos a notação α para denotar a base canônica de R 2 ou de R 3. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/11

3 Exemplo: A reflexão em torno do eixo Oy, T : R 2 R 2, é dada por T (x, y) = ( x, y) e [T ] α α = [ ]. Exemplo: A reflexão em torno da reta y = x, T : R 2 R 2, é dada por T (x, y) = (y, x) e [T ] α α = [ ]. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/11

4 Exemplo: A reflexão em torno do plano xoy, T : R 3 R 3, é dada por T (x, y, z) = (x, y, z) e [T ] α α = Em geral, uma projeção (ou, mais precisamente, uma projeção ortogonal) de R 2 ou R 3 é um operador linear que transforma cada vetor em sua projeção ortogonal sobre alguma reta ou algum plano que passa pela origem. A seguir, apresentamos algumas das projeções mais comuns. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/11

5 Exemplo: A projeção sobre o eixo Oy, T : R 2 R 2, é dada por T (x, y) = (0, y) e [ ] [T ] α 0 0 α =. 0 1 Exemplo: A projeção sobre o plano xoy, T : R 3 R 3, é dada por T (x, y, z) = (x, y, 0) e [T ] α α = PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/11

6 Agora, consideremos o operador linear T : R 2 R 2 que gira cada vetor v = (x, y) R 2 de um ângulo fixado θ. T é chamado de rotação por θ em R 2. Deixamos ao leitor o exercício de verificar que a expressão de T é T (x, y) = (x cosθ y senθ, x senθ + y cosθ) e [ ] [T ] α cosθ senθ α =. senθ cosθ Em geral, uma rotação de vetores em R 3 é feita em relação a uma reta partindo da origem, chamada eixo de rotação. À medida que um vetor gira em torno do eixo de rotação, ele varre uma porção de um cone. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/11

7 Sabemos que a multiplicação por escalar de um vetor em R 2 e em R 3, dependendo do valor do escalar, produz no vetor uma dilatação, contração ou inversão. Podemos representar estes efeitos geométricos por meio de operadores lineares. De fato, o operador linear T a : R 2 R 2, dado por T a (v) = av, em que a R e v R 2, dilata v se a > 1; contrai v se 0 a < 1; inverte o sentido de v se a < 0. No caso particular de a = 1, o operador T a é chamado reflexão em torno da origem. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/11

8 Mudança de base e matrizes semelhantes Um problema comum no estudo de espaços vetoriais de dimensão finita é conhecer as relações entre as coordenadas de um vetor em diferentes bases. Dado um espaço vetorial V arbitrário de dimensão finita e duas bases α e β de V, podemos obter uma relação entre as matrizes [v] α e [v] β de um vetor v em V, usando, para isto, o operador identidade em V. De fato, se I V : V V denota o operador identidade então [v] β = [I V ] β α [v] α. A matriz [I V ] β α é chamada matriz mudança de base de α para β, pois ela nos permite obter as coordenadas de um vetor v em V em relação à base β uma vez conhecidas suas coordenadas na base α. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/11

9 Mudança de base e matrizes semelhantes Exemplo: Considerando a base canônica α de R 2 e outra base β = {(1, 1), (1, 2)}, temos que [T ] β α = [ ]. Dado v = (x, y), é fácil verificar que [ 2x y [v] β = x + y ]. Ou seja, [v] β = [I V (v)] β = [I V ] β α [v] α. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 9/11

10 Mudança de base e matrizes semelhantes Segue dos resultados provados na Unidade 13 que a matriz [I V ] β α é ( 1 invertível e [I V ] α) β = [IV ] α β. Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão finita V e T um operador linear em V. Com as matrizes mudança de base podemos obter uma relação entre as matrizes [T ] α α e [T ] β β. Para isto, considere a composição (V, α) I V (V, β) T (V, β) I V (V, α). Portanto, [T ] α α = P 1 [T ] β β P onde P = [I V ] β α. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 10/11

11 Mudança de base e matrizes semelhantes A relação obtida é de tal importância que existe uma terminologia associada a ela. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Dizemos que B é semelhante a A, quando existir uma matriz invertível P tal que B = P 1 A P. Portanto, as matrizes [T ] α α ] e [T ] β β são semelhantes. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 11/11