ROBÓTICA TRANSFORMAÇÕES MATRICIAIS. Prof a. Dra. GIOVANA TRIPOLONI TANGERINO Tecnologia em Automação Industrial

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1 SP CAMPUS PIRACICABA ROBÓTICA Prof a. Dra. GIOVANA TRIPOLONI TANGERINO Tecnologia em Automação Industrial TRANSFORMAÇÕES MATRICIAIS

2 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Uma transformação é definida como: a realização de um movimento no espaço. Uma transformação é uma mudança no estado de um referencial (localização e orientação) Transformações: Translação pura Rotação pura Transformações combinadas Em relação: a um referencial fixo (pré-multiplicada) a um referencial móvel (pós-multiplicada) s/vis2d/instanciamento/instanciamento.h tm 1/aula_05/ET56C_Sistemas_de_coordenadas.pdf/at_download/file

3 TRANSLAÇÃO: OPERADOR TRANSLACIONAL Uma translação movimenta um ponto no espaço por uma distância finita ao longo de uma direção vetorial dada. Um vetor A P 1 é transladado por um vetor A Q. O resultado da operação é o novo vetor A P 2 : A P 2 = A P 1 + A Q Utilizando um operador translacional, temos: A P 2 = D q (q) A P 1 Sendo q a magnitude (com sinal) da translação ao longo da direção vetorial Q. O operador D q é uma transformação homogênea: D q (q) = q x q y q z Sendo q x, q y e q z componentes do vetor translação e q = q x 2 + q y 2 + q z 2

4 ROTAÇÃO: OPERADORES ROTACIONAIS Um operador rotacional opera em um vetor A P 1 e o muda em um novo vetor A P 2 por meio de uma rotação R: A P 2 = R A P 1 Quando uma matriz rotacional é mostrada como um operador, não aparecem subscritos ou sobrescritos, porque ela não é vista como relacionando dois sistemas de referência. A notação de operador rotacional indica que eixo está sendo rotacionado: A P 2 = R k (θ) A P 1 R X (θ) = R Y (θ) = cosθ senθ 0 0 senθ cosθ 0 cosθ 0 senθ senθ 0 cosθ 0 O operador rotacional R k (θ) realiza uma rotação em torno do eixo K em θ graus. É uma transformação homogênea cuja parte de vetor posição é zero. R Z (θ) = cosθ senθ 0 0 senθ cosθ

5 TRANSFORMAÇÕES Transformações relativas a uma referência fixa A representação do novo referencial pode ser encontrada pré-multiplicando o referencial por uma matriz que representa a transformação. Representação de translação pura Representação de uma rotação pura em torno de um eixo Supondo um ponto P preso ao referencial móvel F noa. Supondo que o referencial (F noa ) está na origem do sistema de referência fixo (F xyz ) e é paralelo a ele. Supondo que o referencial F noa gira de um ângulo θ em torno do eixo x do sistema de referência. À medida que o referencial gira em torno do eixo x, o ponto P ligado ao referencial irá também rodar com ele. Transformações relativas a uma referência rotativa Para calcular as mudanças nas coordenadas de um ponto ligado ao referencial móvel em relação ao sistema de referência fixa, a matriz de transformação é pósmultiplicada. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino,

6 TRANSFORMAÇÕES Transformações combinadas Transformação combinadas = série de translações e rotações sucessivas em relação aos eixos do sistema de referência fixo ou o movimento dos eixos do referencial atual. A ordem das transformações é muito importante, de tal forma que se a ordem de duas transformações sucessivas mudar, o resultado pode ser completamente diferente d x d Trans(d x, d y, d z ) = y d z cosθ senθ 0 Rot(x, θ) = 0 senθ cosθ 0 Rot(y, θ) = Rot(z, θ) = Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, cosθ 0 senθ senθ 0 cosθ 0 cosθ senθ 0 0 senθ cosθ d n d Trans(d n, d o, d a ) = o d a cosθ senθ 0 Rot(n, θ) = 0 senθ cosθ 0 Rot(o, θ) = Rot(a, θ) = cosθ 0 senθ senθ 0 cosθ 0 cosθ senθ 0 0 senθ cosθ

7 Quando um vetor é movimentado para frente em relação ao sistema de referência, podemos considerar tanto que o vetor moveu-se para frente, em relação ao sistema de referência, quanto que o sistema de referência moveu-se para trás. A matemática envolvida em ambos os casos é idêntica, apenas o ponto de vista da situação é diferente. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino,

8 TRANSLAÇÃO PURA Um referencial se move no espaço sem qualquer mudança em sua orientação. Na forma matricial, a representação do novo referencial pode ser encontrada pré-multiplicando o referencial por uma matriz que representa a transformação. Os vetores unitários direcionais permanecem na mesma direção e não mudam: As três primeiras colunas representam nenhum movimento rotacional. A localização da origem do referencial em relação ao referencial de referência muda: d x, d y e d z são os três componentes de uma translação pura do vetor d em relação aos eixos x, y e z do sistema de referência. T = d x d y d z A nova localização será: F nova = Trans(d x, d y, d z ) F velha F nova = d x d y d z n x o x a x p x n y o y a y p y n z o z a z p z = n x o x a x p x + d x n y o y a y p y + d y n z o z a z p z + d z Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

9 Exemplo Translação pura Um referencial F foi movido 10 unidades ao longo do eixo y e 5 unidades ao longo do eixo z do sistema de referência. Encontre a nova localização do referencial F = 0,527 0,574 0, ,369 0,819 0, , ,643 8 Resolução:F nova = Trans d x, d y, d z F velha = Trans(0,10,5) F velha F nova = ,527 0,574 0, ,369 0,819 0, , , ,527 0,574 0, ,369 0,819 0, , ,643 8 = Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

10 ROTAÇÃO PURA EM TORNO DO EIXO X Supondo um ponto P preso ao referencial F noa Supondo que o referencial (F noa ) está na origem do sistema de referência (F xyz ) e é paralelo a ele. Supondo que o referencial F noa gira de um ângulo θ em torno do eixo x do sistema de referência. À medida que o referencial gira em torno do eixo x, o ponto P ligado ao referencial irá também rodar com ele. Antes da rotação as coordenadas em ambos os referenciais são as mesmas. Após a rotação, as coordenadas p n, p o e p a do ponto permanecem as mesmas no referencial girante F noa, mas p x, p y e p z serão diferentes no referencial F xyz. Queremos encontrar as novas coordenadas do ponto em relação ao sistema de referência fixo depois do referencial móvel ter girado. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

11 ROTAÇÃO PURA EM TORNO DO EIXO X O valor de p x não varia quando o referencial gira em torno do eixo x, mas os valores de p y e p z variam p x = p n p y = l 1 l 2 = p o cosθ p a senθ p z = l 3 + l 4 = p o senθ + p a cosθ Em forma matricial: p x p y p z = cosθ senθ 0 senθ cosθ p n p o p a As coordenadas do ponto p no referencial girado devem ser pré-multiplicadas pela matriz de rotação para obter as coordenadas p xyz = Rot(x, θ) p noa Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

12 ROTAÇÃO PURA EM TORNO DE UM EIXO Matriz de rotação sobre o eixo x: p x p n p y = 0 cosθ senθ p o p z 0 senθ cosθ p a p xyz = Rot(x, θ) p noa Matriz de rotação sobre o eixo y: p x p y p z = cosθ 0 senθ senθ 0 cosθ p xyz = Rot(y, θ) p noa p n p o p a Matriz de rotação sobre o eixo z: p x p y p z = cosθ senθ 0 senθ cosθ p xyz = Rot(z, θ) p noa p n p o p a Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

13 Exemplo Rotação Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

14 TRANSFORMAÇÕES COMBINADAS Transformação combinadas = Série de translações e rotações sucessivas em relação aos eixos do sistema de referência fixo ou o movimento dos eixos do referencial móvel. Qualquer transformação pode ser resolvida em um conjunto de translações e rotações em uma ordem particular. A ordem das transformações é muito importante, de tal forma que se a ordem de duas sucessivas transformações mudar, o resultado pode ser completamente diferente. A ordem das matrizes na equação é o oposto da ordem de transformações realizadas (resolver da direita para a esquerda) Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

15 TRANSFORMAÇÕES COMBINADAS Exemplo: Supondo um ponto p noa fixado ao referencial rotativo na origem do sistema de referência. Quando o referencial F noa gira ou translaciona em relação ao sistema de referência, o ponto p se move também, e as coordenadas do ponto relativas ao sistema de referência variam. São executadas as seguintes transformações: Rotação de α graus em torno do eixo x: p 1,xyz = Rot(x, α) p noa Seguida de Translação de [l 1,l 2,l 3 ]: p 2,xyz = Trans l 1, l 2, l 3 p 1,xyz p 2,xyz = Trans l 1, l 2, l 3 Rot(x, α) p noa Seguida de uma rotação de β graus em relação ao eixo y: p 3,xyz = Rot y, β p 2,xyz p 3,xyz = Rot y, β Trans l 1, l 2, l 3 Rot(x, α) p noa Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

16 Exemplo 1 de transformações combinadas Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

17 Exemplo 2 de transformações combinadas Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

18 TRANSFORMAÇÕES RELATIVAS A UMA REFERÊNCIA ROTATIVA É possível fazer transformações em relação aos eixos de um referencial móvel. Ex: uma rotação de 90 º pode ser feita em relação ao eixo n do referencial móvel. Para calcular as mudanças nas coordenadas de um ponto ligado ao referencial móvel em relação ao sistema de referência fixa, a matriz de transformação é pós-multiplicada. Como a posição de um ponto ou um objeto ligado a um referencial em movimento é sempre medida em relação a esse referencial em movimento, a matriz que descreve a posição do ponto ou objeto também é sempre pós-multiplicada Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (NIKU, 2015)

19 Exemplo 1 referência rotativa Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino

20 Exemplo 2 referência rotativa Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino

21 Exemplo 3 referência rotativa Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino

22 MAPEAMENTO: TRANSLAÇÃO DA DESCRIÇÃO DE UM VETOR (CRAIG) Temos uma posição definida pelo vetor B P. Queremos expressar esse ponto no espaço em termos do sistema de referência {A} quando {A} tem a mesma orientação que {B} {B} difere de {A} apenas por uma translação, que é dada por A P B origem, um vetor que localiza a origem de {B} em relação a {A}. Como eles tem a mesma orientação, calculamos a descrição do ponto P em relação a {A}, A P, por adição vetorial: A P = B P + A P B origem O ponto descrito por B P permanece o mesmo (não é transladado), em vez disso, computamos uma nova descrição do mesmo ponto, mas agora com relação ao sistema {A} (CRAIG, 2012)

23 MAPEAMENTO: ROTAÇÃO DA DESCRIÇÃO DE UM VETOR Conhecemos a definição de um vetor P com respeito a um sistema de referência {B}, B P, e gostaríamos de saber sua definição com respeito a outro sistema de referência {A}, A P, sendo que as origens de ambos coincidem. Essa computação é possível quando uma descrição da orientação de {B} é conhecida em relação a {A}, dada pela matriz rotacional B A R, cujas colunas são vetores unitários de {B} escritos em {A}. Os componentes de qualquer vetor são, apenas, as projeções deste nas direções unitárias de seu sistema de referência. A projeção é calculada como o produto escalar do vetor. As componentes de A P são calculadas como: A p x = B X A B P A p y = B Y A B P A p z = B መZ A B P Como as linhas de B A R são B X A, B Y A e B መZ A, temos: A P = B A R B P Essa equação mapeia o vetor (altera a descrição do mesmo ponto) de B P para A P, mas o vetor original P não se altera no espaço. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino Lembrando a matriz rotacional: B A R = A X B A Y B A መZ B = (CRAIG, 2012) B XA T B YA T B ZA T

24 MAPEAMENTO DE UM VETOR DE UM SISTEMA DE REFERÊNCIA PARA OUTRO Mapeamento = alterar a descrição de um vetor Computamos uma nova descrição do vetor em relação a outro sistema de referência sem alterar sua posição no espaço. A posição do ponto P, antes referenciada em relação ao sistema de coordenadas {B}, B P,passa a ser descrita em relação a {A}, A P. Mapeamento de translação: A P = B P + A P B origem {B} difere de {A} apenas por uma translação (possuem a mesma orientação), que é dada por A P B origem, um vetor que localiza a origem de {B} em relação a {A}. Mapeamento de rotação: A P = B A R B P {B} difere de {A} apenas por uma rotação(possuem a mesma origem). (CRAIG, 2012)

25 EXEMPLO DE MAPEAMENTO (CRAIG) O sistema de referência {B} é rotacionado 30 graus em relação ao sistema de referência {A} em torno de መZ ( መZ está apontando para fora da tela). Escrevendo os vetores unitário de {B} em termos de {A} e empilhando-os como colunas da matriz rotacional, obtemos Dado Calculamos A P como: Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino (CRAIG, 2012)

26 MAPEAMENTO GENÉRICO Dado B P quermos computar A P: Conhecemos a descrição de um vetor com relação a um sistema de referência {B} e desejamos saber sua descrição com relação a outro sistema de referência, {A} Considere que a origem do sistema de referência {B} não coincide com a do sistema de referência {A}, mas tem um deslocamento vetorial genérico. O vetor que localiza a origem de {B} é chamado A P B origem. Além disso, {B} é rotacionado com relação a {A} conforme descrito por B A R. Equação de mapeamento: A P = B A R B P + A P B origem Ou Ou : A P = B A T B P B A T é a matriz de transformação homogênea (CRAIG, 2012)

27 MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO HOMOGÊNEA A P = B A R B P + A P B origem Matriz 4x4 construção para dispôs a rotação e a translação da transformação geral na forma de uma única matriz. Embora as transformações homogêneas sejam úteis para se escrever equações compactas, em geral não seriam usadas por um programa de computador para transformar vetores, por causa do tempo gasto com a multiplicação de uns e zeros. Essa representação serve, principalmente, para nossa conveniência quando estamos raciocinando e escrevendo equações no papel. As matrizes de transformações homogêneas também servem para a descrição de sistemas de referência. A descrição do sistema de referência {B} em relação a {A} é B A T. Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (CRAIG, 2012)

28 Exemplo O sistema de referência {B}, é rotacionado cerca de 30 graus em relação ao sistema de referência {A} em torno de መZ, transladado 10 unidades em X A e 3,0 transladado 5 unidades em Y A. Encontre A P, sendo B P = 7,0. 0,0 A definição do sistema de referência {B} é Usando a transformação A P = B A T B P = 9,098 12,562 0,000 Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino, (CRAIG, 2012)

29 INVERSA DE MATRIZES DE TRANSFORMAÇÃO Prof. Dra. Giovana Tripoloni Tangerino