Disciplina de Mecânica Geral II. CINEMÁTICA e DINÂMICA de CORPOS RÍGIDOS

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1 isciplina de Mecânica Geral II CINEMÁTIC e INÂMIC de CORPOS RÍGIOS

2 CINEMÁTIC é o estudo da geometria em movimento, utilizada para relacionar as grandezas de deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. INÂMIC é o estudo da cinemática causada pelas forças aplicadas à um corpo

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4 Um corpo rígido em um movimento plano geral é a combinação de dois movimentos: Translação e Rotação

5 Para Rotação: ado: : Posição angular : velocidade angular Para Rotação constante:

6 Para Rotação:

7 Vetorialmente:

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9 CINEMÁTIC OS CORPOS RÍGIOS z Na translação de corpo rígido, todos os pontos do corpo tem a mesma velocidade e a mesma aceleração em um dado instante. x q O r P Considerando a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, a posição do corpo é definida pelo ângulo q que a linha P, traçada do eixo de rotação a um ponto P do corpo, forma com um y plano fixo. intensidade da velocidade de P é. v = onde q é a derivada temporal de q. ds dt. = rq sin

10 z v = ds dt. = rq sin x q O r P y velocidade de P é expressa como onde o vetor v = dr dt = x r = k = qk. é orientado ao longo do eixo fixo de rotação e representa a velocidade angular do corpo.

11 z v = dr dt = x r = k = qk. x q O r P y Representando por a a derivada d/dt da velocidade angular, expressamos a aceleração de P como a = a x r + x ( x r) iferenciando e lembrando que k é constante em intensidade e direção, encontramos... a = ak = k = qk O vetor a representa a aceleração angular do corpo e é orientado ao longo do eixo de rotação fixo.

12 y v = k x r P Considerando o movimento de uma placa localizada em um plano perpendicular ao eixo de rotação do corpo. Como velocidade angular é perpendicular à placa, então a velocidade do ponto P da placa é O r = k x v = k x r y a t = ak x r P onde v esta contido no plano da placa. aceleração do ponto P pode ser decomposta nas componentes normal e tangencial, iguais a, respectivamente O a n = - 2 r a = ak = k x a n = - 2 r a n = r 2 a t = ak x r a t = ra

13 velocidade angular e a aceleração angular da placa podem ser expressas como ou = dq dt d a = = dt = a d dq d 2 q dt 2 ois casos particulares de rotação são frequentemente encontrados: rotação uniforme e rotação uniformemente acelerada. Problemas envolvendo um desses movimentos podem ser resolvidos usando equações similares àquelas para movimento retilíneo uniforme e uniformemente acelerado de uma partícula, onde x, v, e a são trocados por q,, e a.

14 v v y k v v (fixed) r / x v / Movimento plano = Translação com + Rotação em torno de O movimento plano mais geral de uma placa rígida pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação. Pode-se considerar que a placa mostrada translada com o ponto, enquanto gira simultaneamente em torno de. isso resulta que a velocidade de qualquer ponto da placa pode ser expresso como v = v + v / onde v é a velocidade de e v / é velocidade relativa de com relação a.

15 v v v y k (fixed) v x v v r / v / v / Movimento plano = Translação com + Rotação em torno de v = v + v / Representando por r / a posição de relativa a, notamos que v / = k x r / v / = (r / ) = r equação fundamental que relaciona as velocidades absolutas dos pontos e e a velocidade relativa de em relação a pode ser expressa sob a forma de um diagrama vetorial e usada para resolver problemas envolvendo o movimento de vários tipos de mecanismos.

16 C Outra abordagem para solução de problemas envolvendo as velocidades dos pontos de uma placa rígida em movimento plano é baseada na determinação do centro instantâneo de rotação C da placa. C v v v v

17 a a a k y ak a / x a (a / ) n (a / ) t Movimento plano = Translação com + Rotação em torno de O fato de que qualquer movimento plano de uma placa rígida pode ser considerado como a soma de uma translação da placa com um ponto de referência e de uma rotação em torno de, é usada para relacionar as acelerações absolutas de dois ponto quaisquer e da placa e a aceleração relativa de com relação a. a = a + a / onde a / consiste de um componente normal (a / ) n de intensidade r 2,orientado para, e um componente tangencial (a / ) t de intensidade ra, perpendicular à linha.

18 a a a k y ak a / x a (a / ) n (a / ) t Movimento plano = Translação com + Rotação em torno de a = a + a / equação fundamental relacionando as acelerações absolutas dos pontos e e a aceleração relativa de com relação a pode ser expressa na forma de um diagrama vetorial, e usada para determinar as acelerações de determinados pontos de vários mecanismos. a a / (a / ) n (a / ) t a

19 a a a k y ak a / x a (a / ) n (a / ) t Movimento plano = Translação com + Rotação em torno de a = a + a / O centro instantâneo de rotação C não pode ser usado para a determinação de acelerações, pois o ponto C, em geral, não tem aceleração nula. a a / (a / ) n (a / ) t a

20 y W Y j i Q x taxa de variação de um vetor é a mesma em relação a um sistema de referência fixo e em relação a um sistema de referência em translação. taxa de variação de um vetor em relação a um sistema de referência rotativo é diferente. taxa de variação de um vetor Q O k X Z z em relação a um referencial fixo OXYZ e em relação a um referencial Oxyz girando com velocidade angular W é.. (Q) OXYZ = (Q) Oxyz + W x Q primeira parte representa a taxa de variação de Q em relação ao sistema rotativo Oxyz e a segunda parte, W x Q, é induzida pela rotação do sistema de referência Oxyz.

21 v P = W x r y Y O W v P/F = (r) Oxy. Considerando a análise bidimensional de uma partícula P movendo-se em relação a um sistema de referência F girando com P P velocidade angular W em torno de um eixo fixo. velocidade absoluta de P pode ser expressa como r x X v P = v P + v P/F onde v P = velocidade absoluta da partícula P v P = velocidade do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P v P/F = velocidade de P relativa ao sistema de referência móvel F mesma expressão para v P é obtida se o sistema de referência esta em translação em vez de rotação.

22 v P = W x r y Y v P/F = (r) Oxy. P P Quando o sistema de referência esta em rotação, a expressão para a aceleração de P contem um termo adicional a c chamado aceleração complementar ou aceleração de Coriolis. r x O W X a P = a P + a P/F + a c onde a P = aceleração absoluta da partícula P a P = aceleração do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P a P/F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F. a c = 2W x (r) Oxy = 2W x v P/F = aceleração complementar, ou de Coriolis

23 v P = W x r y Y v P/F = (r) Oxy. r P P x a P = a P + a P/F + a c a P = aceleração absoluta da partícula P a P = aceleração do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P O W X a P/F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F. a c = 2W x (r) Oxy = 2W x v P/F Uma vez que W e v P/F são perpendiculares entre si no caso de movimento plano, a aceleração de Coriolis tem intensidade a c = 2Wv P/F. Sua direção é obtida girando-se o vetor v P/F de 90 o no sentido da rotação do sistema de referência móvel. aceleração de Coriolis pode ser usada para analisar o movimento de mecanismos que contêm partes que deslizam umas sobre as outras.

24 a r P Em três dimensões, o deslocamento mais geral de um corpo rígido com um ponto fixo em O é equivalente a uma rotação do corpo em torno de um eixo passando por O. velocidade angular e eixo instantâneo de rotação do corpo em um dado instante pode ser definida. O velocidade de um ponto P do corpo pôde novamente ser expressa como v = dr dt = x r iferenciando essa expressão, temos a aceleração a = a x r + x ( x r) Como a direção muda de um instante para outro, a aceleração angular a não é, em geral, dirigida ao longo do eixo instantâneo de rotação.

25 Y a Y r / O movimento mais geral de um corpo rígido no espaço é equivalente, em um instante qualquer, à soma de uma rotação e uma translação. Considerando duas partículas e de um corpo O Z Z r X X v = v + v / onde v / é a velocidade de relativa ao sistema de referência X Y Z ligado a e de orientação fixa. Representando por r / o vetor de posição de em relação a, escrevemos v = v + x r / onde é a velocidade angular do corpo no instante considerado. aceleração de é, por raciocínio semelhante a = a + a or / a = a + a x r / + x ( x r / )

26 y W Y j r i P x Considerando o movimento tri-dimensional de uma partícula P em relação a um sistema de referência Oxyz girando com velocidade angular W relativamente a um sistema de referência fixo OXYZ. velocidade absoluta v P de P pode ser expressa por O k X Z z v P = v P + v P/F onde v P = velocidade absoluta da partícula P v P = velocidade do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P v P/F = velocidade de P relativa ao sistema de referência móvel F

27 Y y W j r i P x aceleração absoluta a P de P é expressa por O k X a P = a P + a P/F + a c onde a P = aceleração absoluta da partícula P Z z a P = aceleração do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P a P/F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F. a c = 2W x (r) Oxy = 2W x v P/F = aceleração de Coriolis intensidade a c da aceleração de Coriolis não é igual a 2Wv P/F exceto no caso especial quando W e v P/F são perpendiculares entre si.

28 y Y r P/ P x s equações e v P = v P + v P/F Y r Z z r P X ap = ap + ap/f + ac permanecem válidas quando o sistema de referência xyz move-se de maneira conhecida, porem arbitrária, em relação ao sistema de referência fixo OXYZ, desde Z O X que o movimento de seja incluído nos termos de v P e a P representando a velocidade e aceleração absolutas do ponto coincidente P. Sistemas de referência rotativos são particularmente úteis no estudo do movimento tridimensional de corpos rígidos.

29 Exercício Resolvido 15.1 SOLUÇÃO: O cabo C tem uma aceleração constante de 22,5 m/s 2 e uma velocidade inicial de 30 m/s, ambas orientadas para direita. etermine (a) o número de revoluções da polia em 2 s, (b) a velocidade e a mudança de posição da carga após 2 s, e (c) a aceleração do ponto sobre o aro interno da polia em t = 0. evido a ação do cabo, a velocidade tangencial e a aceleração de são iguais a velocidade e a aceleração de C. Calcule a velocidade e a aceleração angular iniciais. plicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s. eterminar as componentes de aceleração tangencial e normal iniciais de.

30 SOLUÇÃO: N v velocidade tangencial e a aceleração de são iguais a velocidade e a aceleração de C. v vc v r 0 0 v 30cm s ,5 0 0 r 4rad s a a t t a 22,5cm. s C ra a 22,5 2 t a 3rad s r 7,5 plicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s. 2 4rad s2 s 3rad s 2 s 2 0 at 4rad s 3rad s 2 s 10rad s q t at rad 1 rev 14 rad número de revoluções 2 rad r 12,5 cm 10rad s 125 cm y rq 12,5 cm 14 rad 175 cm v N 2, 23rev 125cm s y 175 cm

31 eterminar as componentes de aceleração tangencial e normal iniciais de. a a 22,5cm s t C a r 2 n 0 7,5 cm 4 rad s 120cm s 2 2 a 22,5cm s a t 120cm s 2 2 n Intensidade e direção da aceleração total, 2 2 a a a t 22, n a 122cm s 2 tan a a n t , 4 22,5

32 Exercício Resolvido 15.2 SOLUÇÃO: engrenagem dupla rola sobre a cremalheira inferior, estacionária; a velocidade de seu centro é 1,2 m/s. etermine (a) a velocidade angular da engrenagem, e (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto da engrenagem. O deslocamento do centro da engrenagem em uma revolução é igual ao perímetro da circunferência externa. Relacionar a translação e o deslocamento angular. iferenciar para relacionar as velocidades linear e angular. velocidade em qualquer ponto P na engrenagem pode ser escrita como v v v v k r P P Calcular as velocidades dos pontos e. P

33 y x SOLUÇÃO: O deslocamento do centro da engrenagem em uma revolução é igual ao perímetro da circunferência externa. Para x > 0 (desloca-se para direita) e v < 0 (gira em sentido horário) r 1 v r 1 x 2 r q 2 1,2m s 0,150 m x rq iferenciar para relacionar as velocidades linear e angular. 8rad s 1 k k

34 velocidade em qualquer ponto P na engrenagem v v v v k r P P P velocidade da cremalheira superior é igual a velocidade do ponto : v v v k r R 1,2m s 8rad s 0,10 m 1,2m si 0,8m si i k j vr 2m s i Velocidade do ponto : v v k r 1,2m s 8rad s 0,150 m i k i 1, 2 m s 1, 2 m s v i j v 1,697 m s

35 Exercício Resolvido 15.3 SOLUÇÃO: eterminar a velocidade absoluta do ponto com v v v velocidade é obtida a partir da rotação da manivela. v manivela tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine (a) a velocidade angular da barra de conexão, e (b) a velocidade do pistão P. s direções da velocidade absoluta da velocidade relativa v são determinadas pela geometria do problema. v s intensidades das velocidades v e v podem ser determinadas a partir de um diagrama vetorial. e velocidade angular da barra de conexão é calculada a partir de v.

36 SOLUÇÃO: eterminar a velocidade absoluta do ponto com v v v velocidade é obtida a partir da rotação da manivela. rev min 2 rad , 4rad s min 60s rev v 7,5cm209,4rad s 15,7 m/s s direção da velocidade absoluta v é horizontal, e a velocidade relativa v é perpendicular a. Calcule a ângulo entre a horizontal e a barra de conexão pela lei dos senos. v sen 40 sen 13,95 20cm 7,5cm

37 s intensidades das velocidades v e v podem ser determinadas a partir de um diagrama vetorial. v v 15,7m s sen 53,95 sen 50 sen 76,05 v v 13,1m s 12,4m s v P v 13,1m s v v v v l v l 62,0 rad s 1, 24 m s 0, 20 m 62,0 rad s k

38 engrenagem dupla rola sobre a cremalheira inferior, estacionária; a velocidade de seu centro é 1,2 m/s. etermine (a) a velocidade angular da engrenagem, e (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto da engrenagem. Exercício Resolvido 15.4 SOLUÇÃO: O ponto C esta em contato com a cremalheira inferior estacionaria e, instantaneamente, tem velocidade nula. Essa deve ser a localização do centro instantâneo de rotação. etermine a velocidade angular em torno de C baseada na velocidade dada em. Calcular as velocidades em e baseadas em suas rotações em torno de C.

39 SOLUÇÃO: O ponto C esta em contato com a cremalheira inferior estacionaria e, instantaneamente, tem velocidade nula. Essa deve ser a localização do centro instantâneo de rotação. etermine a velocidade angular em torno de C baseada na velocidade dada em. v 1,2m s v r 8rad s r 0,15 m Calcular as velocidades em e baseadas em suas rotações em torno de C. vr v r r v 0,25 m8rad s 0,2121 m8rad s 0,15 m 2 0, 2121 m r v vr 1,697 m s 2m s 1,2 1,2 m s v i j i

40 Exercício Resolvido 15.5 SOLUÇÃO: manivela tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine (a) a velocidade angular da barra de conexão, e (b) a velocidade do pistão P. etermine a velocidade em a partir da rotação da manivela. s direções dos vetores de velocidade em e são conhecidas. O centro instantâneo de rotação esta na interseção das linhas perpendiculares aos vetores de velocidades e. etermine a velocidade angular em torno do centro de rotação baseado na velocidade em. Calcular a velocidade em baseada na rotação em torno do centro instantâneo de rotação.

41 SOLUÇÃO: 40 53, ,05 C C 20 cm sen 76, 05 sen 53,95 sen 50 C 25,35 cm C 21,1 cm o problema resolvido 15.3, v 15,7m s 13,95 O centro instantâneo de rotação esta na interseção das linhas perpendiculares aos vetores de velocidades e. etermine a velocidade angular em torno do centro de rotação baseado na velocidade em. v v C v C 15,7 m s 25,35 cm C 21,1 cm62,0rad s 62,0rad s Calcular a velocidade em baseada na rotação em torno do centro instantâneo de rotação. v P v 13,1m s

42 Exercício Resolvido 15.6 SOLUÇÃO: expressão da posição da engrenagem como uma função de q é diferenciada duas vezes para definir a relação entre as acelerações de translação e angular. O centro da engrenagem dupla tem velocidade e aceleração para a direita de 1,2 m/s e 3 m/s 2, respectivamente. cremalheira inferior é estacionária. etermine (a) a aceleração angular da engrenagem, e (b) a aceleração dos pontos, C, e. aceleração de cada ponto na engrenagem é obtida pela soma da aceleração do centro da engrenagem e as acelerações relativas com relação ao centro. ultima inclui as componentes normal e tangencial das acelerações.

43 SOLUÇÃO: expressão da posição da engrenagem como uma função de q é diferenciada duas vezes para definir a relação entre as acelerações de translação e angular. x rq 1 v rq r 1 1 a rq ra 1 1 v 1,2m s 8 rad s r 0,150 m 1 a a r 1 2 3m s 0,150 m 2 a ak 20rad s k

44 2 a a a a a a t a ak r r n 2 3m s 2 20rad s 0,100m 2 8rad s 0,100 m 2 3m s i 2 2m s i 2 6,40m s j i k j j a 5m s i 6,40m s j a 8,12m s aceleração de cada ponto na engrenagem é obtida pela soma da aceleração do centro da engrenagem e as acelerações relativas com relação ao centro. ultima inclui as componentes normal e tangencial das acelerações

45 a a a a ak r r 2 C C C C m s i 20rad s k 0,150m j 8rad s 0,150 m j m s i 3m s i 9,60m s j 2 ac 9,60m s j a a a a ak r r m s 20 rad s 0,150 m 8rad s 0,150m m s i 3m s j 9,60 m s i i k i i a 12,6m s i 3m s j a 12,95m s 2 2 2

46 Exercício Resolvido 15.7 SOLUÇÃO: aceleração angular da barra e a aceleração do ponto serão determinadas a partir de n a a a aceleração de é determinada a partir da velocidade de rotação de. a a t a manivela tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine a aceleração angular da barra de conexão, e a aceleração do ponto. s direções das acelerações são a, a, e a t partir de geometria. n determinadas a s equações para aceleração do ponto são resolvidas simultaneamente para aceleração de e aceleração angular da barra de conexão.

47 SOLUÇÃO: aceleração angular da barra e a aceleração do ponto serão determinadas a partir de a a a a a a t n aceleração de é determinada a partir da velocidade de rotação de. a a 2000 rpm 209,4 rad s constante ,075 cm 209, 4rad s 3, 289m s r 2 3,289m s cos40 sen 40 a i j

48 s direções das acelerações são determinadas a partir de geometria. a o problema resolvido 15.3, = 62,0 rad/s, = 13,95 o. a 2 n 2 a 769 m s cos13,95i sen13,95 j n a a 0,2ma 0,2a t 0, 2m 62,0rad s 769m s 2 2 direção de (a / ) t é conhecida mas o sentido não, a 0,2a sen 76,05i cos76,05 j t a i a, a, e a t n

49 componente x: componente y: s equações para aceleração do ponto são resolvidas simultaneamente para aceleração de e aceleração angular da barra de conexão. a a a a a a t n a 3, 289 cos cos13,95 0, 2a sen13,95 0 3, 289sen sen13,95 0, 2a cos13,95 a a 9,937rad s 2,787m s 2 2 i k

50 Exercício Resolvido 15.8 Na posição mostrada, a manivela tem velocidade angular constante 1 = 20 rad/s no sentido anti-horário. etermine as velocidades e acelerações angulares da barra de conexão e da manivela E. SOLUÇÃO: s velocidades angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação v v v s acelerações angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação a a a

51 SOLUÇÃO: r 20i 35 j s velocidades angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação v v v v r k 42,5i 42,5 j E E 42,5 j 42,5 E E v r 20k 20i 35 j 400 j 700i v r k 30i 7,5 j 30 j 7,5 i i r 42,5i 42,5 j r 30i 7,5 j componente x: componente y: 42, ,5 E 42, E 29,33rad s k 11,29rad s E k

52 r 20i 35 j r 42,5i 42,5 j r 30i 7,5 j s acelerações angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação a a a a a r r 2 E E E 2 42,5 42,5 11, 29 42,5 42,5 a k i j i j 42,5a j 42,5a i 5, 417i 5, 417 j E 2 E 2 a a r r i 35 j 8000i j a a r r ,5 29, ,5 a k i j i j 30a j 7,5a i 25807i 6439 j componente x: 42,5a 7,5a componente y: 42,5a 30a E E 2 rad s k a 809 rad s k E a

53 Exercício Resolvido 15.9 SOLUÇÃO: isco do mecanismo Geneva gira com velocidade angular constante de = 10 rad/s no sentido anti-horário. No instante em que = 150 o, determine (a) a velocidade angular do disco S, e (b) a velocidade do pino P relativa ao disco S. velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como vp vp vp s intensidade e direção da velocidade v P do pino P são calculadas a partir do raio e da velocidade angular do disco. direção da velocidade vp do ponto P em S coincidente com P é perpendicular ao raio OP. direção da velocidade v P s de P com relação a S é paralela à ranhura. Resolver o diagrama vetorial para a velocidade de S e a velocidade relativa de P.

54 SOLUÇÃO: velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como v P v P v P v P s intensidade e direção da velocidade do pino P são calculadas a partir do raio e da velocidade angular do disco. R 50 mm 10rad s 500mm s r R l Rl R r 2 cos 30 0,551 37,1 mm a lei dos senos, sen sen30 sen30 sen 42, 4 R r 0, 742 O ângulo interior do diagrama vetorial é 90 42, , 6 v P direção da velocidade v P s de P com relação a S é paralela à ranhura. a lei dos co-senos,

55 direção da velocidade do ponto P em S coincidente com P é perpendicular ao raio OP. v P v sen 500mm s sen17,6 151,2mm s P r s s vp 151,2mm s 37,1 mm 4,08rad s s k v v cos 500mm s cos17,6 P s P Ps 477mm s cos42,4 sen 42,4 v i j v P 500 mm s

56 Exercício Resolvido SOLUÇÃO: aceleração absoluta do ponto P pode ser escrita como a a a a P P P s velocidade angular instantânea do isco S é determinada como no exercício resolvido c isco do mecanismo Geneva gira com velocidade angular constante de = 10 rad/s no sentido anti-horário. No instante em que = 150 o, determine a aceleração angular do disco S. única incógnita envolvida na equação da aceleração é a aceleração angular instantânea do isco S. Resolver cada termo da aceleração na componente paralela a ranhura. Calcular a aceleração angular do isco S.

57 SOLUÇÃO: aceleração absoluta do ponto P pode ser escrita como a P a P a P s a o problema resolvido ,4 4,08rad s Ps S c 477mm s cos 42,4 sen 42,4 v i j Considerando cada termo na equação da aceleração, a P P mm 10rad s 5000mm s R mm s cos30 sen 30 a i j a a a P P n P t 2 ap rs cos 42,4i sen 42,4 j n ap ra Ssen 42,4i cos 42,4 j t ap as37,1mmsen 42,4i cos 42,4 j t nota: a S pode ser positivo ou negativo k

58 direção da aceleração de Coriolis v é obtida pela rotação da velocidade relativa P s de 90 o no sentido de S. 2 sen 42,4 cos 42,4 24,08rad s477 mm s sen 42,4 i cos 42,4 j 3890mm s 2 sen 42,4 i cos 42,4 j a v i j c S P s aceleração relativa ranhura. a P s deve ser paralela à Equacionando os componentes da aceleração em termos perpendiculares à ranhura, 37,1a cos17,7 0 S S a 233rad s a S 233rad s k

59 Exercício Resolvido SOLUÇÃO: O guindaste gira com velocidade angular constante de 1 = 0,30 rad/s e a lança esta sendo erguida com velocidade angular constante de 2 = 0,50 rad/s. O comprimento da lança é l = 12 m. etermine: velocidade angular da lança, aceleração angular da lança, velocidade da ponta da lança, e aceleração da ponta da lança. Com 0,30 j 0,50k 1 2 aceleração angular da lança, a Oxyz W r 12 cos30i sen 30 j 10,39i 6 j velocidade angular da lança, 1 2 velocidade na ponta da lança, v r aceleração na ponta da lança, a a r r a r v

60 SOLUÇÃO: velocidade angular da lança, 1 2 0,30 rad s j 0,50 rad s aceleração angular da lança, a W Oxyz j 1 2 0,30rad s 0,50rad s a velocidade na ponta da lança, k 0,15rad s 2 k i 0,30 j 0,50k 1 2 r 10,39i 6 j v r i j k 0 0,3 0,5 10, ,54m s 5,20m s 3,12m s v i j k

61 aceleração na ponta da lança, a a r r a r v i j k i j k a 0, ,30 0,50 10, , 20 3,12 0,90k 0,94i 2, 60i 1,50 j 0,90k ,54m s 1,50m s 1,80m s a i j k 0,30 j 0,50k 1 2 r 10,39i 6 j

62 ibliografia: Hibbeler, inâmica mecânica para Engenharia, 12º Edição