MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM ROTAÇÃO

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1 MOVIMENTO 3D REFERENCIAL AUXILIAR EM ROTAÇÃO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO Um ventilador em funcionamento está oscilando em torno de um eixo vertical. Uma mosca insuspeita voa em direção ao ventilador e se choca com a ponta de uma das pás, quando a pá está na posição vertical. O que acontecerá com a mosca? QUESTÃO No instante em que a mosca se choca com o ventilador, quais são a velocidade e a aceleração da ponta da pá na vertical? ver vídeo 2.1

2 DADOS Os dados do presente caso, relativos ao instante em que a mosca se choca com a pá do ventilador, são os seguintes: O ventilador está girando em torno do eixo vertical com velocidade angular dada por Ω f = 0,296 rad/s e aceleração angular dada por dω f /dt = 0,0419 rad/s 2 ; As pás do ventilador giram à velocidade angular constante ω b = 2π rad/s; O ventilador tem as dimensões mostradas na figura acima e está inclinado de 15 acima da horizontal.

3 ABORDAGEM Considerar um sistema móvel de coordenadas, que passa pelo centro da hélice onde se encontram as pás e gira com o ventilador; Usar as equações cinemáticas de movimento tridimensional para um sistema de coordenadas em rotação; Considerar apenas o instante de tempo em que a mosca se choca com o ventilador (instante de interesse). ver vídeo 2.2

4 TEORIA SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL EM ROTAÇÃO O movimento para um sistema de coordenadas tridimensional (xyz) em translação já foi examinado. A forma mais geral de analisar o movimento tridimensional requer o uso de um sistema de coordenadas (xyz) que translade e gire em relação à um sistema fixo (XYZ). Esse método é útil para determinar o movimento relativo de duas ou mais partículas quando uma delas, ou ambas, estão se movendo, ou mesmo os movimentos de dois pontos em partes separadas de um mecanismo em estudo. ver vídeo 2.3

5 SISTEMA DE COORD. TRIDIMENSIONAL EM ROTAÇÃO (cont.) Seja, como visto antes, um corpo rígido que translada e gira em relação a um referencial fixo (XYZ), com velocidade angular Ω e aceleração angular dω/dt. Vetores de posição r A e r B especificam, em relação a (XYZ), a localização do ponto A, que está fixo no corpo rígido, e do ponto B, que pode ou não estar fixo no corpo rígido e, portanto, pode se mover em relação a A. ver vídeo 2.3

6 SISTEMA DE COORD. TRIDIMENSIONAL EM ROTAÇÃO (cont.) A origem do referencial móvel (xyz) é colocada em A, sendo que esse referencial translada e gira com o corpo rígido. A posição de B em relação a A é dada pelo vetor de posição relativa r B/A.

7 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO POSIÇÃO Pela equação de posição relativa, os pontos B e A estão relacionados por r r r (1) B A B/A em que r B/A, no sistema móvel (xyz), é r B/A = xi + yj + zk (2) pois o ponto A está na origem desse sistema coordenado local.

8 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO VELOCIDADE A velocidade de B no sistema (XYZ) pode ser determinada pela derivada temporal da equação de posição exposta anteriormente, de modo que r r r v v r (3) B A B/A B A B/A A derivada r B/A pode ser encontrada pela aplicação da equação que determina a derivada de um vetor num sistema móvel, em relação a um sistema fixo (vide Anexo). Dessa forma, tem-se que r r Ω r v Ω r (4) B/A B/A xyz B/A B/A xyz B/A Substituindo essa equação na anterior, resulta que v v Ω r v (5) B A B/A B/A xyz O termo v é a velocidade de B em relação a A no sistema (xyz). B/A xyz

9 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO ACELERAÇÃO A aceleração de B no sistema (XYZ) pode ser determinada pela derivada temporal da equação de velocidade anterior, de modo que v v Ω r Ωr v a a Ω r Ωr v (6) B A B/A B/A B/A B A B/A B/A B/A O termo v B/A tem dois componentes, pois sua condição é idêntica à do termo r B/A. Ou seja, é um vetor num sistema móvel. Tem-se, então, que v v Ω v (7) B/A B/A xyz B/A Como já se sabe, da Eq. (4), que (4) e (7) em (6), que xyz r v Ω r B/A B/A xyz B/A 2 B A B/A B/A B/A xyz B/A, decorre, das Eqs. a a Ω r Ω Ω r Ω v a (8) xyz

10 DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO ACELERAÇÃO (cont.) É interessante, embora não seja surpreendente, que as equações da velocidade e da aceleração para referenciais tridimensionais em rotação, a saber, v v Ω r v (5) B A B/A B/A xyz 2 a a Ω r Ω Ω r Ω v a (8) B A B/A B/A B/A xyz B/A sejam as mesmas equações que aquelas para o movimento plano, quando escritas em forma vetorial. Contudo, o termo Ω deve ser tratado com cuidado, pois ele agora não tem uma direção constante, como ocorria no movimento plano. xyz

11 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO De saída, desenha-se o diagrama cinemático no instante de interesse. Vê ao lado que o referencial fixo (XYZ) fica no centro da carcaça do motor do ventilador. O eixo Z coincide com o eixo em torno do qual o ventilador gira e o eixo X fica paralelo ao chão. Já a origem do referencial móvel (xyz) ver vídeo 2.4 (ponto A) fica no centro da hélice, com o eixo x perpendicular ao plano de rotação das pás. Esse sistema gira com o ventilador, mas não com as pás. No instante analisado, os eixos X e x são coplanares.

12 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO DADOS A velocidade e a aceleração angulares do ventilador são Ωf 0,296 K rad / s Ω f 0,0419 K rad / s Já a velocidade e a aceleração angulares das pás são ωb 2 i rad / s (constante) ω b αb 0 rad / s 2 2 A posição de B (topo da pá que choca com a mosca) em relação a A é r 0,30 k m. B/A

13 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO VELOCIDADE A velocidade de B pode ser separada em três termos componentes, uma vez que v v Ω r v B A B/A B/A xyz Recomenda-se que cada termo seja tratado em separado. Assim, têm-se: Termo 1) O ponto A sofre rotação em torno de um ponto fixo. Portanto, ver vídeo 2.5 va Ωf ra 0,296K 0,2cos15I 0,2sen15K 0,0572 J m/s

14 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO VELOCIDADE (cont.) Termo 2) Para esse termo, decorre que Ω rb/a 0,296K 0,30k 0,296 (0,30) sen15j 0,0230 J m/s posto que K k sen15j. Termo 3) Dentro do referencial (xyz), o ponto B sobre rotação em torno de um ponto fixo. Assim, v ω r 2i 0,30k B/A xyz b B/A 1,885j 1,885J Considerando todos os termos, vb 1,851 J m/s.

15 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO ACELERAÇÃO Pela equação da aceleração, a aceleração do ponto B é 2 a a Ω r Ω Ω r Ω v a B A B/A B/A B/A xyz B/A xyz De novo, recomenda-se que cada termo seja tratado separadamente. Termo 1) O ponto A sobre rotação em torno de um ponto fixo. Portanto, a Ω r Ω Ω r A f A f f A aa 0,0419K 0,2cos15I 0,2sen15K 0,296K 0,296K 0,2cos15I 0,2sen15K Então, aa 0,0169I 0,0081J.

16 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO ACELERAÇÃO (cont.) Termo 2) Tem-se aqui que Ω f rb/a 0,0419K 0,30k 0,0419 (0,30) sen15j 0,0033J pois K k sen15j. Termo 3) Nesse caso, também em vista do observado acima, Ωf Ωf rb/a 0,296K 0,296K 0,30k 0,296K 0,0230J Então, Ωf Ωf rb/a 0,0068I. Termo 4) Para esse termo, decorre que 2Ω v 2(0,296 K) ( 1,885 J) 1,1159I f B/A xyz tendo v sido obtida no termo 3 da equação de velocidade. B/A xyz

17 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO ACELERAÇÃO (cont.) Termo 5) Por fim, tem-se que, dentro do referencial (xyz), o ponto B sofre rotação em torno de um ponto fixo. Dessa forma, a α r ω ω r B/A xyz b B/A b b B/A 0 2i 2i 0,30k 11,8435k Como k sen15i cos15k, B/A xyz a 11,8435 sen15i cos15k 3,0653I 11,4399K Somando as contribuições de todos os termos acima, resulta que ab 4,1711I 0,0048J 11,4399 K m/s. 2

18 ANEXO DERIVADA DE UM VETOR NUM SISTEMA EM TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO EM RELAÇÃO A UM SISTEMA FIXO Para um corpo rígido em movimento tridimensional geral, há que se relacionar a derivada de um vetor num sistema de coordenadas (referencial) móvel (xyz), estabelecido no corpo rígido, com a sua derivada num sistema de coordenadas (referencial) fixo (XYZ). Seja, então, o vetor arbitrário A num referencial móvel (xyz), tal que A = A x i + A y j + A z k Mostra-se que a derivada temporal de A em um referencial fixo (XYZ) é da dt da Ω A (I) dt xyz

19 DERIVADA DE UM VETOR NUM SISTEMA EM TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO EM RELAÇÃO A UM SISTEMA FIXO (cont.) A obtenção da Eq. (I) encontra-se em Hibbeler (2011). Nela, qual seja, da dt da Ω A, dt xyz o termo (da/dt) xyz é a derivada temporal de A em relação ao referencial móvel (xyz), ao passo que Ω é a velocidade angular do referencial móvel (xyz), considerada a partir do referencial fixo (XYZ). A derivada (da/dt) xyz, também denotada por (da/dt) rel, é dada por da da da da i j k dt dt dt dt xyz x y z

20 Fontes: ecourses Dynamics Multimedia Engineering Dynamics, K. Grammoll, acessado em 21/11/2016; DINÂMICA Mecânica para Engenharia, 12ª. edição, R. C. Hibbeler, Pearson Prentice Hall, 2011.