2º Exame de Mecânica Aplicada II

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1 2º Exame de Mecânica Aplicada II Este exame é constituído por 4 perguntas e tem a duração de três horas. Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios. Responda a cada pergunta em folhas separadas. Pergunta 1 (5 Val.) A figura ao lado representa um sistema que inclui uma engrenagem de pinhão e cremalheira, no qual os apoios A e D são pontos fixos. Sabendo que a cremalheira R se move na vertical de baixo para cima com uma velocidade constante de 120 cm/s, calcule: a) A velocidade angular e a aceleração angular do pinhão com eixo em D. [1 Val.] b) A velocidade angular da barra BC. [2 Val.] c) A aceleração angular da barra BC. [2 Val.] Pergunta 2 (5 Val.) Na vista em planta ao lado figuram duas partículas A e B, ambas de massa m, ligadas por uma barra rígida de peso desprezável e de comprimento L. Num dado instante uma partícula C, igualmente de massa m, atinge a barra AB a um quarto do seu comprimento medido a partir de B. A respetiva velocidade (perpendicular à barra) é nesse instante V, e a partícula C permanece ligada à barra após a colisão. Note ainda que todo o conjunto se encontra sobre uma superfície horizontal sem atrito. a) Calcule o momento linear e o momento angular do conjunto em relação ao seu centro de massa, antes do choque. [1 Val.] Sugestão: Utilizando um referencial centrado em B, comece por determinar a localização do centro de massa do conjunto. b) Quais as velocidades das massas A, B e C imediatamente após o impacto? [2 Val.] c) Calcule as velocidades das massas A e B após a barra ter rodado 180º. [2 Val.] Pergunta 3 (5 Val.) Uma bola de râguebi é lançada pelo ar. Observa-se que o respetivo vetor velocidade angular é horizontal e o eixo de simetria OC encontra-se orientado conforme ilustrado na figura. Sabendo que a magnitude da velocidade angular é 200 rpm e que a razão entre os momentos de inércia axial e transversal é, determine: a) O ângulo entre o eixo de precessão AO e o vetor velocidade angular, representando num digrama de corpo livre os eixos locais xyz e todos os ângulos relevantes para a análise. [2 Val.] b) As velocidades angulares de precessão e rotação própria. [2 Val.] c) O tipo de precessão da bola, justificando. [1 Val.]

2 Pergunta 4 Recorde que as coordenadas polares podem ser definidas em por. (5 Val.) A figura ao lado ilustra a trajetória de uma partícula de massa kg para s. Em coordenadas polares esta trajetória é definida por, com rad/s e m. a) Mostre que em coordenadas polares todos os símbolos de Christoffel são nulos, excetuando os seguintes: e. [1 val.] b) Determine as componentes (polares) contravariantes e físicas da velocidade da partícula num instante genérico. [2 val.] c) Determine as componentes (polares) físicas da força a que está sujeita a partícula num instante genérico. [2 val.] Relações fundamentais da dinâmica: Formulário Movimento livre de um corpo axissimétrico: Lei de transformação tensorial: Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais: Aceleração em coordenadas curvilíneas:

3 Pergunta 1 Resolução a) A velocidade constante de cremalheira R implica que a aceleração angular do pinhão seja nula. Sendo o movimento da cremalheira vertical de baixo para cima, a velocidade angular do pinhão terá o sentido anti-horário (aqui considerado como positivo, por convenção) e módulo: b) Sendo i e j os versores dos eixos x e y (sentidos positivos para a direita e para cima, respetivamente), a velocidade do ponto C, imposta pela rotação do pinhão, é dada por: Por sua vez, a velocidade do ponto B, calculada à custa da velocidade anterior, é dada por: Neste sistema, a velocidade do ponto B pode também ser calculada em termos da velocidade angular da manivela AB, ou seja: Naturalmente, a velocidade do ponto B é única, pelo que se podem igualar as expressões vetoriais anteriores cujas (duas) componentes no plano permitem determinar duas incógnitas. Logo: Resolvendo em ordem às velocidades angulares das barras AB e BC, resulta: c) A aceleração do ponto C, imposta pela rotação do pinhão, é dada por: Por sua vez, a aceleração do ponto B, calculada à custa da aceleração anterior, é dada por:

4 Neste sistema, a aceleração do ponto B pode também ser calculada em termos da aceleração da manivela AB, ou seja: Naturalmente, tal como a respetiva velocidade, a aceleração do ponto B também é única, pelo que se podem igualar as expressões vetoriais anteriores cujas componentes no plano permitem igualmente determinar duas incógnitas. Logo: Resolvendo em ordem às acelerações angulares das barras AB e BC, resulta:

5 Pergunta 2

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9 Pergunta 3

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11 Pergunta 4

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