Dinâmica. Prof.ª Betty Carvalho Rocha Gonçalves do Prado

Transcrição

1 Dinâmica Prof.ª Betty Carvalho Rocha Gonçalves do Prado

2 CORPO RÍGIDO São corpos cuja dimensões não são desprezáveis Corpo rígido É um conceito limite ideal, de um corpo indeformável que pode girar com todas suas partes travadas conjuntamente sem sofrer qualquer mudança. A distância entre duas partículas quaisquer do corpo é constante O Corpo rígido conserva a sua forma durante o seu movimento

3 MOVIMNTOS D UM CORPO RÍGIDO 1º - O movimento de translação (movimento linear) quando todos os pontos percorrem trajetórias paralelas. Todos os pontos se movem ao longo de uma linha reta e todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo. Todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração. 3

4 MOVIMNTOS D UM CORPO RÍGIDO º - O movimento de rotação (movimento angular) quando todos os pontos percorrem trajetórias circulares. Todos os pontos do corpo se movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo de rotação e todos os pontos descrevem o mesmo ângulo em um mesmo intervalo de tempo. Movimento rotacional puro 4

5 MOVIMNTOS D UM CORPO RÍGIDO 3º - Combinação do movimento de rotação e de translação Movimento translacional + rotacional 5

6 MOVIMNTO D ROTAÇÃO D UM CORPO RÍGIDO Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Significa que a rotação ocorre em torno de um eixo que não se move. O eixo fixo é denominado eixo de rotação z y x é a posição angular do corpo rígido 6 6

7 xemplos de movimento de rotação 7

8 MOMNTO D INÉRCIA D UMA MASSA A aceleração angular da massa infinitesimal Δm em torno do eixo AA` devido à aplicação de um momento, é proporcional a r Δm. r Δm = momento da inércia da massa Δm relativamente ao eixo AA Para um corpo de massa m a resistência à rotação em torno do eixo AA' é: I r m r m r m 1 3 r dm Momento de Inércia de uma massa Raio de giro, k : I k m k I m

9 MOMNTO D INÉRCIA D UMA MASSA Momento de inércia relativamente ao eixo coordenado y é: I y r dm z x dm Similarmente, para o momento da inércia relativamente aos eixos x e z: I I x z y x z y dm dm m unidades SI: I r dm [kg m ]

10 Cálculo do Momento de Inércia Se um corpo rígido compõe de poucas partículas, podemos calcular o momento de inércia I m i r i No entanto se o corpo rígido constituir de um grande número de partícula (meio contínuo) para encontrarmos I temos que integrar I r dm

11 Cálculo do Momento de Inércia xemplo: Haste fina uniforme de massa M e comprimento L. Qual o momento de inércia? haste é uniforme: CM é o seu centro. I r dm

12 Teorema dos ixos Paralelos Suponha que queremos encontrar o momento de inércia I de um corpo de massa M em torno de um eixo dado. reformulando temos o teorema dos eixos paralelos

13 Momentos de inércia de alguns corpos homogêneos

14 Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns Barra fina Disco delgado Placa retangular fina Cilindro circular Prisma retangular Cone circular sfera maciça

15 NRGIA CINÉTICA A energia cinética está relacionada com o movimento dos corpos. A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa) 1 1 m v I C G G Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação das variáveis v G e w ou para estabelecer entre estas duas variáveis.

16 nergia cinética: movimentos de translação e de rotação (eixo fixo) Translação: Sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de translação retilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois w = 0: 1 1 m v mv v C G Gx Gy v G v G Rotação em torno de um eixo fixo: Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de v G translação (em G) e de rotação. pois 1 C IO 1 1 IO IG m rg C m vg IG G r G

17 Trabalho de uma força Introdução Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de corpos rígidos. O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento plano de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades. Pontos de análise do trabalho de uma força: - O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que realizam trabalho ao longo da trajetória do corpo rígido. - Uma força realiza trabalho quando se move segundo a sua linha de ação. - Graficamente o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento. - O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos vetores força/momento e deslocamento.

18 Forças que atuam em corpos rígidos sem realizar trabalho Forças aplicadas a pontos fixos ou perpendiculares à direção do deslocamento: - Reações em pinos de dimensões desprezíveis, em relação aos quais o corpo se move. - Reação normal quando atua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa. - Força gravitacional quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal. - Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa (isto porque a força atua em um ponto do corpo com velocidade nula).

19 Trabalho realizado por diferentes forças Trabalho realizado Formulação Matemática Observações Força variável W F s F ds t (F) t representa a componente tangencial de F. Força constante Força gravitacional W F s FC C t W F h F g g (F C ) t representa a componente tangencial da força (segundo a direção do movimento). O sinal para W é definido pelos sentidos dos vetores força e deslocamento. Força exercida por uma mola W k 1 kx 1 kx 1 k 1 : deformação inicial da mola k : deformação final da mola Binário de momento variável W M 1 M d Binário de momento constante W M M

20 Princípio do trabalho e energia O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser aplicado a cada um dos elementos isoladamente. Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos indeformáveis ou interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o princípio do trabalho e energia pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados. C W 1 1 C sta equação estabelece que a variação da energia cinética do corpo (de translação e de rotação), entre os instantes inicial e final, é igual ao trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que nele atuam.

21 CONSRVAÇÃO DA NRGIA Quando sobre um sistema atuam apenas forças conservativas o princípio do trabalho e energia pode ser substituído na resolução de problemas pelo teorema da conservação da energia. nergia potencial gravitacional P g m g y G A convenção de sinais utilizada para a energia potencial gravitacional é a mesma que a apresentada para o trabalho realizado pela força gravitacional. nergia potencial elástica A energia potencial elástica é considerada positiva quando os vetores força elástica e deslocamento têm o mesmo sentido. É negativa quando os sentidos dos vetores referidos é oposto. P e 1 k x

22 CONSRVAÇÃO DA NRGIA MCÂNICA NRGIA MCÂNICA. 1 1 ) ( P C F P C W nãocons P C m 1) ( com: C T C R C P g P e P O termo da equação, W F não cons. representa o trabalho realizado pelas forças não conservativas como a força de atrito. Se este termo for nulo então a equação, vem: m m P C P C Teorema da conservação da energia mecânica

23 Potência A potência mecânica (P) de uma máquina quantifica a sua capacidade de trabalho por unidade de tempo. Assim, se uma máquina é capaz de aplicar a um corpo rígido: uma força F t sobre um ponto com velocidade v, P dw Ft ds Fv t [w] dt dt um momento M à velocidade angular w, P dw dt M d dt M [w] 700rpm

24 Conceito de potência SD80MAC (USA, 1994) potência disponível p/a tração Para realizar o mesmo trabalho sobre o comboio, a locomotiva mais recente precisará de mais tempo do que o que a outra máquina porque é menos potente. PRR S1 (USA, 1938)

25 Relações da Translação e Rotação

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