Deslocamento, velocidade e aceleração angular. s r

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1 Rotação

2 Deslocamento, velocidade e aceleração angular s r s r

3 O comprimento de uma circunferência é πr que corresponde um ângulo de π rad (uma revolução) ( rad) (deg ou graus) 180 Exemplo rad

4 Porque há a diferença na posição da largada, nesta pista circular?

5 Velocidade angular A taxa de variação do ângulo em relação ao tempo é chamado de velocidade angular méd f i t t t f i A velocidade angular instantâneaa é análoga a velocidade linear d lim t 0 t dt Unidades: rad/s, rev/min ou RPM e ciclos/s

6 Exemplo 1 1.Um disco de cd está girando a 3000rev/min. Qual é a velocidade em radianos por segundo? (resp. 314rad/s)

7 Aceleração Angular A taxa de variação da velocidade com o tempo é chamada de aceleração angular média méd t

8 Aceleração instantânea d d lim t 0 t dt dt unidade: rad/s

9 Movimento Rotacional com aceleração Angular Constante 0 t Velocidade angular com aceleração constante t t Posição Angular para qualquer tempo 0 Equação de Torricelli para o movimento circular

10 Rastros da luz de uma roda gigante, em uma foto de tempo de exposição longo.

11 Exemplo :. Um CD gira, a partir do repouso, até 500rev/min em 5,5s. (a) Qual é a aceleração angular, considerando que seja constante? (b) Quantas revoluções o disco realiza em 5,5s? (c) Qual é a distância percorrida por um ponto posicionado a 6cm, medido a partir do centro do disco, durante os 5,5s em que o disco gira até alcançar as 500rev/min?

12 Exemplo 3: 3. Um disco está girando em torno de seu eixo central como um carrossel. A posição angular é dada por: 10 6t 5 t, com t em segundos, determine a velocidade angular e a aceleração angular para t=s.

13 Movimento Linear Movimento Rotacional v v at 0 0 t 1 x x0 v0t at t t v v ax 0 0

14 Relação entre as equações lineares e angulares s r ds d v r r dt dt v. r dv d a r r t dt dt a t. r

15 Relação entre as equações lineares e angulares a c v r r A aceleração resultante é c t a a a

16 Exemplo 4: 4. Um ponto na extremidade de um CD dista 6,0cm do seu eixo de rotação. Encontre a velocidade tangencial, a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta desse ponto, quando o disco está girando com uma velocidade angular constante de 300rev/min. Exemplo 5: 5. Você está operando um Rotor, percebe que o ocupante está ficando tonto e reduz a velocidade angular do cilindro de 3,4rad/s para,00rad/s em 0rev, com aceleração angular constante. a) Qual a aceleração angular constante durante essa redução da velocidade angular? b) Em quanto tempo ocorre a redução da velocidade? 0 0 t

17 Energia Cinética Rotacional A energia cinética de um corpo rígido que está girando em torno de um eixo é a soma da energia cinética de cada uma das partículas que coletivamente constituem o corpo. A energia cinética da i-ésima partícula, com massa m i E 1 c i i i m v Somando todas as partículas e usando v, tem-se: i r i Ec mivi miri miri i i

18 Momento de Inércia O somatório do termo da direita é definido como momento de inércia I do corpo rígido em torno do eixo de rotação: I i m i r i Momento de Inércia A energia cinética será então: Ec 1 I Energia cinética de um objeto em rotação.

19 Exemplo 6 6. Um objeto é constituído de quatro partículas de massa m=kg que estão conectadas por barras de massa desprezível, formando um retângulo de lado a e b. O sistema gira com velocidade angular w=rad/s, em torno de um eixo no plano que passa pelo centro, como mostrado, considere que a=1m (a) Encontre a energia cinética desse objeto usando as equações I i m i r i Ec 1 I

20 Exemplo 7 7. Encontre o momento de inércia para o mesmo sistema do exemplo anterior, considerando o eixo de rotação paralelo ao primeiro, passando através de duas das partículas(m 1 e m 3 ).

21 Cálculo do Momento de Inércia O momento de inércia em torno de um eixo é uma medida de resistência inercial de um objeto para sofrer movimento rotacional em torno desse mesmo eixo. Sistemas Discretos de Partículas - Aplica-se a equação I m i r i i Corpos Contínuos considera-se o corpo composto de uma infinidade de elementos de massa muito pequena e a soma finita da equação anterior, transforma-se na integral: I r dm Onde r é a distância radial medida do eixo de rotação até o elemento de massa dm

22 Exemplo 8: 8. Encontre o momento de inércia de uma barra uniforme de comprimento L e massa M em torno de um eixo perpendicular à barra passando pelo seu centro de massa, como mostra a figura.

23

24 Teorema dos Eixos Paralelos Relaciona o momento de inércia em torno de um eixo que passa através do centro de massa de um corpo com o momento de inércia em torno de um eixo paralelo ao primeiro. I I cm Mh

25 Exemplo 9: 9. Encontre o momento de inércia de uma barra uniforme de comprimento L e massa M em torno de um eixo perpendicular à barra e posicionado em sua extremidade usando o teorema dos eixos paralelos. Considere que a barra tem espessura desprezível. I I cm Mh

26 Torque O torque é o produto da força pelo braço de alavanca atuando no corpo provocando o giro. Fr Frsen F. d t

27 Torque A força F 1 tende a girar o corpo no sentido antihorário enquanto a força F tende a girar o corpo no sentido horário. F. d F. d 1 1 1

28 Segunda Lei de Newton para a Rotação A direção da força aplicada num disco é importante para fazêlo girar: F como r t ma t a t temos F t mr multiplicando os dois lados por r, temos: rf t mr res, ext ext I

29 Exemplo 10: 10. Com a intenção de fazer algum exercício sem sair de casa, uma pessoa fixou uma bicicleta em uma base, de forma que a roda traseira pudesse girar livremente. Quando a bicicleta é pedalada, ela aplica uma força pela corrente de 18N para a catraca a uma distância r=7cm, fora do eixo da roda. Considere que a roda é um arco (I=MR ) de raio R=35cm, e massa,4kg. Qual será a velocidade angular da roda após 5s? t 0 t 0

30 Exemplo 11: 11.Um objeto de massa m= 1,kg é suspenso por uma corda leve em torno de uma roldana de massa M=,5kg que tem raio R = 30cm. A sustentação da roldana é feita sem atrito, a corda não escorrega na superfície da peça. Encontre a tração na corda e a aceleração do objeto em queda e a aceleração angular do disco. (I=MR /)

31 O rolamento como uma combinação de translação e rotação A figura mostra como o rolamento suave pode ser complicado: embora o centro se mova em linha reta,um ponto da borda certamente não.

32 Corpos que Rolam Para um corpo em rotação a energia cinética relativa é 1 I cm

33 Então, a energia cinética total de um corpo em rotação é: E c mvcm 1 I cm

34 Exemplo 1: Uma bola de boliche com raio de 11cm e massa M=7,kg está rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal de retorno a m/s. Ao final da pista ela rola ainda sem atrito para cima a uma altura h, antes de parar momentaneamente e rolar de volta para baixo. Encontre h.

35 Exemplo 13: 13. Uma casca uniforme, de massa M=6,00Kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de 30,0 0. a) A bola desce uma distancia vertical h=1,m para chegar a base da rampa. Qual é a velocidade ao chegar à base da rampa? b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ela desce a rampa rolando?

36 Exemplo 14: 14. Uma casca esférica uniforme de massa M=4,5kg, e raio R=8,5cm, pode girar em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda de massa desprezível está enrolada no equador da casca passa por uma polia de momento de inércia I= Kg.m e raio r=5cm, e está presa a um pequeno objeto de massa m=0,6kg. Não há atrito no eixo da polia e a corda não escorrega na casca nem na polia. Qual é a velocidade do objeto ao cair 8cm, após ser liberado do repouso? Use considerações de energia.

37 Exemplo 15: 15. Um aro com um raio de 3m e uma massa de 140kg rola sobre um piso horizontal de modo que o seu centro de massa possui uma velocidade de 0,150m/s. Qual é o trabalho que deve ser feito sobre o aro para fazê-lo parar?

38 Exemplo 16: 16. Uma esfera sólida de peso igual a P = 35,58N sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a θ = Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de v 0 = 4,88m/s. a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado? b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano? c) A resposta do item b depende do peso da esfera?

39 Exemplo 17: 17. Uma esfera homogênea, inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da extremidade superior do trilho mostrado a seguir, saindo pela extremidade da direita. Se H = 60m, h = 0m e o extremo direito do trilho é horizontal, determine a distância L horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão.

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