Capítulo 9 - Rotação de Corpos Rígidos

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1 Aquino Lauri Espíndola 1 1 Departmento de Física Instituto de Ciências Exatas - ICEx, Universidade Federal Fluminense Volta Redonda, RJ de dezembro de 2010

2 Conteúdo 1 e Aceleração Angular como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor 2 3 Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido 4

3 como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor Eixo Fixo: eixo que permanece em repouso em relação a um referencial inercial. O eixo passa através do ponto O ao plano do quadro. A linha OP permanece fixa no corpo e gira com ele. O ângulo θ descreve a posição da rotação. θ será coordenada da rotação. A coordenada θ pode ser (+) ou ( ).

4 como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor O ângulo θ é medido em radianos, não em graus. r, raio de circunferência. s, comprimento do arco de circunferência. Se o ângulo for 1 rad s = r.

5 como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor O valor de θ em radianos é: θ = s r ou s = rθ. O comprimento de uma circunferência é 2πr. Existem 2π radianos em uma revolução completa. 1 rad = 360 2π = 57, 3

6 como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor O movimento de rotação pode ser descrito em termos da taxa de variação do ângulo θ. Em t 1, OP faz um ângulo θ 1. Em t 2, OP faz um ângulo θ 2. Definimo a velocidade angular média: ω m = θ 2 θ 1 t 2 t 1 = θ t. A rotação ocorre em torno do eixo z.

7 como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor A velocidade angular instantânea:. θ ω = lim t 0 t = dθ dt A velocidade angular ω pode ser (+) ou ( ). Rotação no sentido anti-horário (+): θ > 0 ( ω m = θ t Rotação no sentido horário ( ): ) > 0 θ < 0 ( ω m = θ t ) < 0

8 como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor Unidade de velocidade angular: rad/s. Outras unidades: Revolução por minuto: rev/min ou rpm. 1 rev = 2π. Conversões úteis: 1 rev/s = 2π rad/s 1 rev/min = 1 rpm = 2π 60 rad/s

9 como Vetor como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor Translação: v x é o componente x do vetor v. Rotação: ω é o componente do vetor velocidade ω ao longo do eixo. Qual o sentido de ω? Encurvar os dedos da mão direita no sentido da rotação. Sentidos de ω:

10 Aceleração Angular como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor Se a velocidade angular varia, o corpo possui aceleração angular. Em t 1, o corpo possui ω 1. Em t 2, o corpo possui ω 2. A aceleração angular média: α m = ω 2 ω 1 t 2 t 1 = ω t A aceleração angular instantânea: ω α = lim t 0 t = dω dt

11 Aceleração Angular como Vetor como um Vetor Aceleração Angular Aceleração Angular como um Vetor Translação: a x é o componente x do vetor a. Rotação: α é o componente do vetor aceleração α ao longo do eixo. α e ω no mesmo sentido: a rotação é acelerada. α e ω em sentidos opostos: a rotação é retardada.

12 Rotação com α = cte Em t = 0, o corpo possui velocidade angular ω 0. Em um t qualquer, a velocidade angular será ω. Assim, neste intervalo de tempo: ou α = ω ω 0 t 0 Somente para α = cte ω = ω 0 +αt (1)

13 Rotação com α = cte Outra equação já conhecida: Também sabemos que: ω m = ω 0 +ω 2. (2) ω m = θ θ 0 t 0. (3) Igualando as Equações (2) e (3) e multiplicando-as por t: Somente para α = cte θ θ 0 = 1 2 (ω 0 +ω). (4)

14 Rotação com α = cte Substituindo a Eq. (1) na Eq. (4): Somente para α = cte θ = θ 0 +ω 0 t αt2. (5) Relacionando as grandezas translacionais com as grandezas rotacionais: Somente para α = cte ω 2 = ω α θ. (6)

15 Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido Relação Grandezas de Translação e Rotação Movimento Retílineo com Aceleração Constante a = constante v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t at2 v 2 = v a x Rotação com Aceleração Constante α = constante ω = ω 0 +αt θ = θ 0 +ω 0 t αt2 ω2 = ω α θ x x 0 = 1 2 (v + v 0)t θ θ 0 = 1 2 (ω +ω 0)t

16 Cinemática Linear e Angular Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido Como achar a velocidade linear e a aceleração um dado ponto em um corpo girando? Cada partícula se move em uma trajetória circular. O círculo fica sobre um plano ao eixo. O círculo possui centro no eixo. A velocidade da partícula é diretamente proporcional a velocidade angular.

17 Velocidade Linear na Rotação Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido Relação entre ângulo e comprimento de arco: s = rθ. Derivando a equação acima em relação ao tempo: ds dt = r dθ dt. ds/dt é a taxa de variação do comprimento de arco. dθ/dt é a taxa de variação ângulo. Portanto: v = rω.

18 Aceleração Linear na Rotação Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido Uma partícula girando: aceleração centrípeta ou radial, a rad, aceleração tangencial, a tg. a tg é paralela a v, portanto, altera o módulo de v. Sabemos que a tg = dv/dt. Derivando a expressão v = ωr: a tg = dv dt = r dω dt = rα

19 Aceleração Linear na Rotação Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido Uma partícula girando: aceleração centrípeta ou radial, a rad, aceleração tangencial, a tg. a rad aponta em direção ao centro e modifica direção de v. Sabemos que a rad = v 2 /r. Sabemos que v = ωr, então: a rad = v 2 r = ω 2 r

20 Aceleração Linear na Rotação Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido Atenção: Usar grandezas angulares somente em radianos!!!

21 Um corpo rígido é constituído por: grande número de partículas com massas m 1, m 2,..., partículas estãoà distância do centro r 1, r 2,..., a i ésima partícula: m i e r i. Quando um corpo rígido gira: a i ésima partícula tem velocidade v i = r i ω; onde ω é a velocidade angular do corpo.

22 A energia cinética da i ésima partícula: 1 2 m iv 2 i = 1 2 m ir 2 i ω 2. A energia cinética total do corpo é: K = 1 2 m 1r 2 1 ω m 2r 2 2 ω = 1 2 i i m i r 2 i ω 2 Colocando em evidência o termo ω 2 /2: ( ) K = 1 ) (m 1 r m 2r ω 2 = 1 m i ri 2 2 ω 2

23 A grandeza entre parênteses é denominada momento de inércia, I Momento de Inércia em Relação a um Eixo I = m 1 r m 2r = i m i r 2 i A energia cinética de rotação da por: ( ) K = 1 m i ri 2 2 Pode ser reescrita como: i K = 1 2 Iω2 ω 2

24 Momento de Inércia Massa próxima ao eixo. Menor momento de inércia. Fácil fazer girar. Massa distante do eixo. Maior momento de inércia. Difícil fazer girar.

25 Momento de Inércia: Exemplos

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