MECÂNICA GERAL Apostila 3 : Rotação do Corpo Rígido. Professor Renan

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1 MECÂNICA GERAL Apostila 3 : Rotação do Corpo Rígido Professor Renan 1

2 Centro de massa Um corpo extenso pode ser considerado um sistema de partículas, cada uma com sua massa. A resultante total das massas das partículas é a massa total do corpo. Seja CM o ponto em que podemos considerar concentrada toda a massa do corpo, este ponto será chamado Centro de Massa do corpo. Para corpos simétricos, que apresentam distribuição uniforme de massa, o centro de massa é o próprio centro geométrico do sistema. Como no caso de uma esfera homogênea, ou de um cubo perfeito. Para os demais casos, o cálculo do centro de massa é feito através da média aritmética ponderada das distâncias de cada ponto do sistema. Para calcularmos o centro de massa precisamos saber suas coordenadas em cada eixo do plano cartesiano acima, levando em consideração a massa de cada partícula: Então o Centro de Massa do sistema de partículas acima está localizado no ponto (1,09, 0,875), ou seja: 2

3 Como forma genérica da fórmula do centro de massa temos: Centro de massa de um sistema discreto de pontos materiais - Para o estudo do movimento de translação de um corpo rígido, é o ponto onde podese supor concentrada toda a massa do corpo: Se a aceleração da gravidade é a mesma em todos os pontos do corpo (situação mais corriqueira), o centro de gravidade (CG) coincide com o centro de massa (CM): g = constante ==> CG = CM. 3

4 Nota: O CM da Torre Eiffel, por exemplo, não coincide com seu CG; o CM fica ligeiramente acima do CG. Teorema do centro de massa - Para sólidos (sistemas rígidos de pontos) em translação, para os quais o movimento é estudado considerando-se toda a massa concentrada em seu CM, vale: 4

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6 Exemplo Jaime está a uma distância de 20 m de Rui, e ambos estão em pé sobre uma superfície lisa de um lago congelado. Rui possui massa de 60 Kg e Jaime 90 Kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma caneca contendo a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Quando Jaime se desloca 6m no sentido da caneca, em que sentido se desloca Rui e qual a distância percorrida por ele? Resolução: As coordenada x de Jaime e de Rui são -10 m e 10 m, respectivamente, então a coordenada x do CM é: Quando Jaime se desloca 6m no sentido da caneca, sua nova coordenada x passa para -4 m; vamos chamar de x 2 a nova coordenada x de Rui. O CM não se move, logo: Calculando teremos: x 2 = 1 m Jaime se deslocou 6 m no sentido da caneca e ainda está a uma distância de 4m da caneca. Rui se deslocou 9m e está a uma distância de 1 m da caneca. 6

7 Energia cinética de Rotação A velocidade de uma partícula num corpo rígido rodando em torno de um eixo fixo é : v=ωr, onde r é a distância da partícula ao eixo e ω é a velocidade angular do corpo. A energia cinética de uma partícula de massa m é, então : A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo, assim: Que pode ser escrito como: Onde o termo entre parênteses é chamado de momento de inércia rotacional do corpo em relação ao eixo de rotação. 7

8 Assim, a energia cinética de rotação de um corpo que gira ao redor de um eixo é igual ao semi-produto de seu momento de inércia pelo quadrado de sua velocidade angular, com respeito ao eixo: E cin.,rot. = (1/2). 2.I O trabalho cedido ou absorvido por um corpo em rotação é igual à variação de sua energia cinética de rotação: = (1/2).( 2 - ' 2 ).I Exemplo 1 Um engenheiro está projetando certa peça de uma máquina que consiste em 3 conectores pesados ligados por suportes leves, ver figura abaixo. a) Qual é o momento de inércia desse corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano do desenho e que passa pelo centro do disco A? b) Qual é o momento de inércia em torno de um eixo que coincide com o disco B e C? c) Se o corpo gira em torno de um eixo perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com velocidade angular ω= 4 rad/s, qual é a sua energia cinética? 8

9 Resolução a) A partícula no ponto A está sobre o eixo. Sua distância r ao eixo é igual a zero.. Então: b) As partículas em B e C estão sobre o eixo, logo, para elas, r=0 e nenhuma delas contribuem para o momento de inércia. Somente a contribui e obtemos: c) Usando a equação de energia cinética, temos: Quando o corpo é uma distribuição contínua de matéria, como um cilindro maciço ou uma placa, as soma se transforma em uma integral e precisamos usar o cálculo integral para obter o momento de inércia. Mostramos abaixo alguns exemplos de momento de inércia. 9

10 Exemplo 2 Um cabo leve, flexível e não deformável é enrolando diversas vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro maciço com diâmetro de 0,120 m e massa igual a 50 Kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário horizontal mantido por mancais sem atrito, ver figura. A extremidade livre do cabo é puxada com uma força constante de valor igual a 9 N, deslocando-se por uma distância de 2 m. Ele se desenrola sem deslizar e faz o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está em repouso, calcule a velocidade angular e a velocidade escalar final do cabo. Resolução O trabalho realizado sobre o cilindro é W= F.d = 9.2 = 18 J. O momento de inércia para um cilindro maciço é : 10

11 O trabalho realizado sobre o cilindro é transformado em energia cinética de rotação. A velocidade escalar será : Teorema dos Eixos paralelos v=ωr=0,06.20=1,2 m/s Exemplo Uma das peças de uma articulação mecânica, ver figura, possui massa igual a 3,6 Kg. Medimos seu momento de inércia em relação a um eixo situado a uma distância de 0,15 m do seu centro de massa. E encontramos I p =0,132 Kg.m 2. Qual é o momento de inércia em relação a um eixo paralelo que passa pelo seu centro de massa? Solução I cm =I p Md 2 I cm =0,132 3,6. 0,15 2 I cm = 0,051 Kg.m 2 11

12 Lista de Exercícios Centro de Massa 1) As massas e as coordenadas dos centros de massa de três blocos de chocolate são dadas por: (1) 0,3 Kg; (0,2m, 0,3m) (2) 0,4 Kg ; (0,1m, -0,4 m) ; (3) 0,2 Kg ; (-0,3m, 0,6 m). Calcule as coordenadas do centro de massa do sistema constituído por esses três blocos de chocolate. 2) Determine a posição do centro de massa do sistema constituído pelo Sol e por Júpiter. A posição desse centro de massa está dentro ou fora do Sol? 3) A peça de uma máquina possui uma barra fina e uniforme de 4,0 Kg, com 1,5 m de comprimento e está presa por uma dobradiça perpendicular a uma barra vertical semelhante com massa de 3,0 Kg e comprimento de 1,8 m. a barra mais longa possui uma bola pequena porém densa de 2,0 Kg em uma das extremidades. Qual a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa dessa peça, caso a barra vertical gire 90º no sentido antihorário de modo a tornar toda a peça horizontal? 1,5 m 1,8 m Livro do Halliday 12

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