Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA II

Transcrição

1 MECÂNC Exame (época de recurso) 11/0/003 NOME: Não esqueça 1) (4 VL.) de escrever o nome a) Diga, numa frase, o que entende por Centro nstantâneo de Rotação (CR). Sabendo que um corpo rígido efectua um movimento de rotação em torno do eixo OZ com uma velocidade angular constante igual a rad/s, determine o vector velocidade no ponto no instante em que passa pela posição (1; 1; ). b) Determine a distância do centro de gravidade da linha (em forma de L), ilustrada na figura, em relação ao eixo indicado, aplicando o teorema de Pappus-Gulding. m m

2 c) Escreva as equações de equilíbrio dinâmico de um corpo rígido em movimento de rotação em torno do seu eixo baricêntrico, indicando o significado das variáveis utilizadas. d) barra esbelta [BC] (espessura muito inferior ao comprimento), de massa igual a 5kg, encontra-se apoiada no apoio duplo B (translações impedidas) e ainda no ponto C onde se encontra ligada ao tirante [CD]. Quando o tirante [CD] é cortado, a barra roda em torno do ponto B. Considerando o instante para o qual θ = 90, determine a energia cinética e a velocidade angular da barra [BC] nesse instante. G m l = m B θ D C

3 MECÂNC Exame (época de recurso) 11/0/003 ) (4.5 VL.) Considere a superfície plana [BCDO] representada na figura. [Utilize a massa volúmica da superfície, bem como a sua espessura, apenas para a resolução da alínea e)]. 3,0 m 3,0 m B y C O z ρ = 15 kg/m 3 Espessura = 0,10m ρ = 15 kg/m³ Espessura = 0,10m D x 3,0 m 3,0 m a) Determine as coordenadas (x g, y g ) do centro de massa G da superfície; b) Determine os momentos de inércia da superfície em relação aos eixos Gx e Gy; c) Determine o produto de inércia relativamente ao sistema de eixos GxGy; d) Sem efectuar cálculos represente os eixos principais centrais de inércia; e) Sabendo que o corpo está animado dum movimento de rotação em torno do eixo Gz (perpendicular ao plano GxGy), que o momento das forças exteriores, em relação ao eixo de rotação Gz, é m GZ ( 0;0; 1000t ) = GZ ( 0;0; 4000) H [kgm /s] determine: i. lei horária do movimento; = [Nm; s] e que o momento angular no instante t = 0s é ii. O vector das forças exteriores para o instante t = s, supondo que para esse instante de tempo a superfície se encontra na posição representada na figura; iii. energia cinética no instante t = s. y R R = πr πr = y ; 16 x = x y = 4 R 8 h h CM b 1 x 3 bh x = 1 ; 3 y = ; hb 1 3 = ; 1 bh 36 3 = ; hb 36 x y = ; b h 4 1 b h = 7

4 MECÂNC Exame (época de recurso) 11/0/003 3) (4.5 VL.) Um foguete é lançado duma superfície horizontal com uma velocidade inicial ( v ) v 0 0x ; v 0y =. Durante o voo, o foguete fica sujeito às forças F x e F y, representadas na figura 1, até ao instante imediatamente antes de atingir a esfera situada a uma altura h que representa a altura máxima da trajectória do foguete. F y = m.g F x = m.v x 50 h = 0 m V 0 50 m Fig. 1 a) Determine a velocidade inicial v 0 do foguete e o tempo que demora a atingir a esfera. Considere g = 10m s ; h F CM Fig. b) Considere que o foguete aplica uma força F sobre a esfera de raio R = 0, 10m e de massa m = kg de forma a movê-la, de acordo com a figura. Determine o valor da altura h, medida a partir do centro de massa CM da esfera, onde a referida força deverá actuar de forma a que o movimento de rolamento da esfera seja iniciado sem escorregamento. Considere que o momento de inércia duma esfera de raio R e massa m em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é G = 5mR. Despreze o atrito.

5 MECÂNC Exame (época de recurso) 11/0/003 c) Considere que devido à acção da força F, referida na alínea anterior, a esfera se move com uma velocidade de 5 m s, indo embater com a esfera B, representada na figura 3, inicialmente em repouso e cuja massa é de 3kg. Sendo o choque entre elas caracterizado por um coeficiente de restituição de 0,8, determine a velocidade final da esfera B; B y 1 x Fig. 3 d) pós o choque referido na alínea anterior a esfera B é projectada para direita indo embater no prato 1 da balança com uma velocidade = ( 3,6; 13,9) v [m/s], sendo o choque caracterizado 0 por um coeficiente de restituição de 0,6. Considerando que a massa de cada prato da balança é de 100g, que o contacto entre a esfera B e o referido prato da balança se dá durante 0,00s e que as superfícies da esfera e dos pratos da balança são perfeitamente lisas, determine a massa que deveria ser colocada no prato da balança no momento do choque de forma a que esta mantivesse o equilíbrio.

6 MECÂNC Exame (época de recurso) 11/0/003 4) (4 VL.) figura 1 representa o esquema estrutural de uma ponte constituída por uma viga, dois pilares e dois apoios simples nas extremidades. O amortecimento da estrutura e a massa dos pilares é desprezável. Na figura representa-se a lei dos deslocamentos horizontais da viga, após esta ter sido induzida a vibrar em movimento livre nessa direcção. 0,03 Fig. 1 0,0 0,01 u (m) 0-0,01 0 0,05 0,05 0,075 0,1 0,15 0,15 0,175 0, 0,5 0,5 0,75 0,3-0,0-0,03 Fig. t (s) a) Determine a rigidez k da estrutura para os deslocamentos horizontais da viga. Nota: Se não resolveu a alínea a), considere k = N/m para a resolução das alíneas b) e c). b) través do cálculo, determine o valor exacto do deslocamento horizontal da viga no instante t = 0.05s. c) Suponha agora que quando a ponte está em repouso se faz actuar uma força F horizontal ao nível da viga com a seguinte lei de variação no tempo: F(t) = 0 sen(0 t) [kn; s], durante 5s. Determine a velocidade da viga no instante em que a força deixa de actuar. Formulário: k ω 1 ω = f = T = m π f Movimento Livre: u& 0 u(t) = u0cos( ωt) + sen( ωt) w Movimento Forçado: F(t) = p0sen(ωt) p0 1 u(t) = cos( ωt) + Bsen( ωt) + sen( ωt) k 1 r p 1 u& 0 0 ω = u ; 0 B = k 1 r ; ω r = ω ω

7 MECÂNC Exame (época de recurso) 11/0/003 NOME: Não esqueça ssinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F. de escrever o nome Nota: Poderão existir mais do que uma ou nenhuma respostas verdadeiras. COTÇÕES: i. s respostas têm todas a mesma cotação. ii. s respostas erradas descontam um terço das respectivas cotações. iii. s respostas com quadrículas em branco não descontam. 5) (3 VL.) a) Considere o movimento de uma partícula no espaço: s equações cartesianas da trajectória definem os possíveis pontos de passagem da partícula no espaço; Se a aceleração da partícula for constante de valor ( ) r a = 1;;0 m / s, o movimento ocorre obrigatoriamente sobre a superfície plana z = 0; Se o movimento for circular com aceleração tangencial constante, a aceleração normal é proporcional ao quadrado do tempo, ( ) a n = k t m / s ; Se o movimento for plano curvilíneo, o vector derivada do vector velocidade angular é radial ao movimento. b) Considere o movimento de um corpo rígido no espaço: O Centro nstantâneo de Rotação (CR) do corpo é único em cada instante; O movimento de translação do corpo fica perfeitamente definido pelo movimento do seu centro geométrico; Se a velocidade do centro de massa G do corpo for um vector de norma constante, a aceleração do ponto G é um vector nulo ou ortogonal à velocidade; aceleração de Coriolis sobre o corpo existe sempre que o corpo execute um movimento de rotação em torno de um eixo.

8 c) Seja um corpo rígido de massa m e O um ponto qualquer no espaço: Se as forças que actuam sobre o corpo forem constantes e equivalentes a um binário, o r momento cinético () t do corpo em relação ao ponto O é um vector de direcção constante H o no tempo; O trabalho de um conjunto de forças, conservativas ou não, que actuem sobre o corpo num dado intervalo de tempo é igual à variação da energia cinética do corpo nesse intervalo; Se um corpo possuir um movimento de rotação em torno de um eixo que lhe seja r t do corpo em relação ao baricentro G é nulo; baricêntrico, o momento cinético ( ) H G energia cinética do corpo em movimento de translação coincide com a energia cinética de uma partícula de igual massa m que se desloque com o centro de massa do corpo. d) Sejam duas bolas e B (lisas e sem atrito) que rolam sem deslizar sobre uma mesa de bilhar: O movimento de cada bola é composto por um movimento de translação e um movimento de rotação em torno do seu centro de massa; trajectória dos CR s de cada bola encontra-se sobre o plano da mesa; Se as duas bolas se encontrarem em choque central oblíquo, existe conservação da quantidade de movimento de cada bola em separado na direcção ortogonal à linha de choque; Se a bola chocar contra as paredes da mesa e o choque for elástico, a velocidade da bola depois do choque mantém a grandeza e a direcção e inverte apenas o sentido.