Problemas sobre osciladores simples

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1 Universidade de Coimbra mecânica Clássica II Problemas sobre osciladores simples 1. Um objecto com 1 kg de massa está suspenso por uma mola e é posto a oscilar. Quando a aceleração do objecto é cm/s 2, a elongação da mola é cm. Calcule a constante elástica da mola. 2. Uma barra horizontal homogénea está suspensa de duas molas iguais, ligadas em paralelo. A massa das molas é desprezável. (a) Analise as forças em presença e escreva a equação diferencial de movimento da barra. (b) Calcule a frequência de oscilação. 3. Um corpo está suspenso de duas molas, ligadas em série. A massa das molas é desprezável. (a) Analise as forças em presença e escreva a equação diferencial de movimento do corpo. (b) Calcule a frequência de oscilação. 4. Considere um oscilador linear livre, de massa m, caracterizado por uma força F = k x, com atrito F a = b v, com b constante. Mostre que (a) a equação diferencial de movimento tem a forma ẍ + b mẋ + k m x = 0; (b) obtenha a solução geral da equação; (c) sem amortecimento a frequência angular de oscilação é ω o = k/m; (d) a frequência de oscilação é ν = 1 4π ζ2 4ω 2 o, com ζ = b m. 5. Considere o problema anterior. (a) Calcule a energia do oscilador ao longo do tempo e represente-a graficamente; (b) Mostre que se ζ ω 0 (sub-amortecimento), a energia total média do oscilador decresce exponencialmente com o tempo, i.e. < E(t) >= E 0 e ζt. (c) Represente graficamente a potência dissipada, em função do tempo. 6. Uma barra homogénea pode rodar sem atrito em torno de um ponto da barra situado a 2 3l, de uma das extremidades (onde l é o comprimento). (a) Obtenha a equação diferencial de movimento. (b) Determine o período das oscilações de pequena amplitude. 7. Um anel circular homogéneo, de raio R, está suspenso de um prego e pode rodar sem atrito.

2 (a) Obtenha a equação diferencial de movimento. (b) Determine o período das oscilações de pequena amplitude. 8. Um tubo cilíndrico é fechado numa das extremidades e tem na outra um êmbolo de massa m, que se desloca sem atrito. No tubo há um gás ideal. (a) Obtenha a equação diferencial de movimento do êmbolo para oscilações abiabáticas de pequena amplitude. (b) Calcule a frequência de oscilação do êmbolo. 9. Represente a trajectória de um oscilador livre no espaço de fase e mostre que é uma elipse se não houver atrito. Verifique também que a trajectória é uma espiral caso haja atrito. 10. Um corpo de 2 kg está pendurado de uma mola de massa desprezável. A constante elástica é 80 N/m e a força de atrito é da forma F a = γ v, sendo v a velocidade em m/s. A aceleração da gravidade é g. A frequência de oscilação do sistema é 3 2 ω 0, com ω 0 a frequência das oscilações sem atrito. (a) obtenha a equação diferencial que descreve as oscilações do sistema. (b) calcule o valor da constante γ. (c) calcule o factor de redução da amplitude de oscilação após 2 ciclos. 11. Uma massa m = 1 kg está suspensa de uma mola de constante K = 0.9 N/m e oscila dentro de um líquido viscoso sujeita a uma força de atrito F a = γ v. A energia mecânica média do sistema reduz-se a 1/e do seu valor inicial em 4 s. Determine o valor da constante γ. 12. A energia potencial da molécula diatómica NaF apresenta um mínimo para uma distância interatómica r nm (ver fig.). A ligação é iónica, i.e. para r > r 0 domina a interacção colombiana entre as nuvens electrónicas de Na + e F. Quando r < r 0, começa a dominar o potencial repulsivo entre os dois núcleos. Considere que em r r 0 a energia potencial ainda é V 1 e 2 4πǫ 0 r. 2 (a) Faça uma expansão de V em série de Taylor em torno de r 0 e obtenha o valor da frequência de oscilação da molécula para pequenas amplitudes. Verifique que essa frequência corresponde à gama do infravermelho do espectro electromagnético. (b) Qual é a frequência de ressonância da molécula? 13. Um pêndulo de torção é constituído por um fio de aço fino no qual está pendurada, pelo centro de massa, uma barra homogénea m, de comprimento l. A constante de torção do fio é κ. Obtenha a equação diferencial de movimento da barra, e a frequência das oscilações de torção. U r0 r 2

3 14. Um corpo de massa m flutua na superfície de um líquido de densidade ρ f. A aceleração da gravidade é g. O corpo oscila livremente em torno da sua posição de equilíbrio, sem atrito. Obtenha a equação diferencial de movimento e a frequência de oscilação do corpo. 15. Uma esfera rola sem escorregar na superfície interior de uma calote esférica, sob acção do campo gravitacional. Obtenha a equação diferencial de movimento e a frequência de oscilação da esfera, no limite de pequenas amplitudes. Compare com o período de um pêndulo simples. 16. Um corpo de massa m está pendurada numa mola homogénea de massa m e constante elástica K. Calcule a frequência de oscilação do corpo e compare com a situação em que a massa da mola é desprezável. 17. O condensador do circuito da fig. está carregado com uma carga q = q 0. O interruptor é fechado no instante t = 0 e a carga oscila enquanto houver energia disponível. Despreze os efeitos radiativos. Obtenha a equação diferencial do circuito e a frequência de oscilação da carga. I C L R 18. Uma bobine de 0.1 H, está ligada em série com um condensador de 0.1µF e uma resistência R. (a) Calcule a gama de valores de R para os quais o circuito não entra em oscilação. (b) Se R = 100Ω, calcule a frequência das oscilações que ocorrem no circuito. (c) Qual é a constante temporal característica do circuito? Osciladores forçados 1. Uma massa m oscila linearmente sujeita a uma força F = k x e sob uma condição de atrito F a = γ v, com x e v a perturbação e a velocidade, respectivamente. Está também presente uma força externa F = F 0 cos ωt. O movimento dá-se a uma dimensão. (a) Mostre que a equação diferencial de movimento é ẍ + mẋ γ + ω2 0x = F0 m cos ωt, com ω 0 = k m. (b) Obtenha a solução mais geral da equação diferencial e interprete-a. 3

4 2. Um pêndulo simples é constituído por por uma bola de massa m suspensa de um fio de comprimento l (e massa desprezável). O atrito é tal que a amplitude se reduz a 1/e do valor inicial em 50 ciclos. O ponto de suspensão do pêndulo é obrigado a oscilar horizontalmente, em movimento de vai-vem da forma ξ = ξ 0 cos ωt. Considere as condições do regime estacionário. (a) Mostre que a equação diferencial de movimento é da forma ẍ+ζẋ+ω 2 0x = g l ξ, com ω 0 = g l. (b) Resolva a equação e obtenha a frequência de ressonância do sistema. (c) Qual é o valor da amplitude em condições de ressonância? (d) Calcule a potência média transferida para o sistema em condições de ressonância. 3. Um objecto de massa m oscila sob a acção de uma força exterior (em regime estacionário). O atrito é do tipo F = γ v, com γ = 5 Hz. A frequência natural do sistema é ν 0 = 50 Hz. (a) calcule a energia total do sistema em função do tempo. (b) a razão entre as energias cinética e potencial médias em função de ν/ν 0. (c) Quais são os valores de ω para os quais a energia cinética é igual à energia potencial? (d) 4. Um objecto de massa m = 0.2 kg está pendurado numa mola de constante elástica K = 80 N/m. A força de atrito é dada por F a = γ v, com γ = 4Ns/m. (a) Obtenha a equação diferencial de movimento e calcule o período de oscilação. Compare com o período do mesmo oscilador se não houvesse atrito. (b) Seguidamente o oscilador é excitado através de uma força exterior F = F 0 cos ωt, com F 0 = 2 N e ω = 30rad/s. No estado estacionário, i. qual é a amplitude das oscilações forçadas? ii. qual é a fase do movimento oscilatório em relação à força aplicada? iii. qual é a energia dissipada em cada ciclo? iv. qual é a potência média fornecida ao sistema? 5. Um objecto de massa m = 2 kg está pendurado numa mola de massa desprezável. A mola sofre uma deformação de 2.5 cm quando o dito objecto está pendurado e parado. O topo da mola é forçado a oscilar com frequência ω e amplitude ξ 0 = 1 mm. O factor de mérito do sistema é Q = 15. Calcule (a) a frequência natural do sistema, ω 0. (b) a amplitude das oscilações forçadas, quando ω = ω 0. (c) verifique que a potência média fornecida ao sistema é dada por < P(ω) >= ζf 2 0 2m com ζ uma constante de amortecimento. 1 4(ω ω 0 ) 2 + ζ 2 4

5 6. Um anel de massa m desliza sem atrito dentro de um arco circular de raio R, colocado ao alto. O arco roda com velocidade angular Ω em torno da vertical. (a) escreva o Lagrangiano do sistema e obtenha as equações diferenciais de movimento do anel. (b) calcule o valor da velocidade angular, Ω c, abaixo do qual o ponto mais baixo do arco é um ponto de equilíbrio estável e calcule a frequência das (pequenas) oscilações do anel em torno desse ponto. (c) calcule a posição de equilíbrio estável para Ω > Ω c. (d) interprete o resultado da alínea anterior à luz da solução das equações de Newton para anel. Calcule a frequência de pequenas oscilações em função de Ω. 5