MECÂNICA APLICADA Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 2014/2015 Colectânea de enunciados de Trabalhos Para Casa

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1 MECÂNIC PLICD Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 2014/2015 Colectânea de enunciados de Trabalhos Para Casa 12 de Fevereiro de 2016

2 Lista de problemas propostos Problema 1: Equilíbrio da partícula no espaço tridimensional... 3 Problema 2: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional Problema 3: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional Problema 4: Equilíbrio do corpo rígido no espaço tridimensional... 6 Problema 5: Sistemas de vectores Problema 6: Sistemas de vectores distribuídos... 8 Problema 7: Diagramas de esforços... 9 Problema 8: Cinemática da partícula: movimento curvilíneo Problema 9: Cinemática do corpo rígido 2D Problema 10: Cinemática do corpo rígido 2D Problema 11: Cinemática do corpo rígido 3D Problema 12: Cinemática da partícula 3D Problema 13: Cinemática do corpo rígido 3D Problema 14: Cinemática do corpo rígido 3D Problema 15: Centróide de linhas planas Problema 16: Centróide de superfícies planas Problema 17: Centróide de superfície Problema 18: Centróide de volume Problema 19: Matriz de inércia Problema 20: Dinâmica da partícula Problema 21: Dinâmica da partícula Problema 22: Dinâmica da partícula: trabalho e energia Problema 23: Dinâmica do corpo rígido: força, massa e aceleração Referências Beer, F. P., Jr. E. R. Johnston and P. J. Cornwell (2013a). Vector Mechanics for Engineers: Dynamics. McGraw-Hill Education, tenth edition. Beer, F. P., Jr. E. R. Johnston and D. F. Mazurek (2013b). Vector Mechanics for Engineers: Statics. McGraw-Hill Education, tenth edition. Hibbeler, R. C. (2016a). Engineering Mechanics, Dynamics. Pearson Prentice Hall, fourteenth edition. Hibbeler, R. C. (2016b). Engineering Mechanics, Statics. Pearson Prentice Hall, fourteenth edition. Meriam, J. L. and L. G. Kraige (2012a). Engineering Mechanics: Dynamics, volume 2. John Wiley & Sons, Inc., seventh edition. Meriam, J. L. and L. G. Kraige (2012b). Engineering Mechanics: Statics, volume 1. John Wiley & Sons, Inc., seventh edition. Özkaya, N., M. Nordin, D. Goldsheyder and D. Leger (2012). Fundamentals of Biomechanics: Equilibrium, Motion, and Deformation. Springer, third edition. 2

3 Problema 1: Equilíbrio da partícula no espaço tridimensional. Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos ligados em e ancorados em B, C e D. Sabendo que a torre exerce em um força vertical dirigida de baixo para cima de 8 kn, determine a força de tracção em cada cabo. x 3 30 m D 6 m 7,5 m B O 6 m 18 m C 5,4 m 22,2 m (daptado a partir de Beer et al. (2013b)). 3

4 Problema 2: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional. Considere urna pessoa apoiada na ponta de um pé como representado na figura. s forças actuantes no pé nesta posição são a reacção no contacto com o solo, que é igual ao peso total do corpo, W, o peso do pé, W 1, a força exercida pelos músculos gémeos e colear no calcâneo através do tendão de quiles, F M, e a força de reacção no contacto entre a tíbia e o astrágalo, F J. Determine F M, F J e o ângulo β em função dos pesos W e W 1, dos comprimentos a, b, c e d, e do ângulo θ. Particularize para os dados W 1 = 0, 02 W, a = 0, 04 h, b = 0, 06 h, c = 0, 09 h, d = 0, 015 h e θ = 45, onde h é a altura da pessoa. (daptado a partir de Özkaya et al. (2012)). 4

5 Problema 3: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional. Uma haste uniforme de 250 g de massa e 250 mm de comprimento está em equilíbrio sobre um copo de 70 mm de diâmetro. s espessuras da haste e da parede lateral do copo são desprezáveis face às restantes dimensões. 250 mm α B C 70 mm (a) Desprezando o atrito entre a haste e a superfície do copo, determine o ângulo correspondente à posição de equilíbrio. Note que na ausência de atrito a reacção é sempre perpendicular à superfície de deslizamento. (b) Determine qual o menor peso que deverá ter o copo para que não ocorra o seu derrubamento considerando (i) o equilíbrio das forças que actuam apenas sobre o copo e (ii) o equilíbrio das forças que actuam sobre o conjunto copo e haste. 5

6 Problema 4: Equilíbrio do corpo rígido no espaço tridimensional. viga BC é suportada por um apoio fixo em C e suspensa pelos cabos BF e DE. O cabo DE passa em por uma roldana sem atrito. Determine o esforço de tracção nos cabos BF e DE e as reacções no apoio C. 0,508 x 3 0,406 E D 1,219 B C F 0,508 0,762 (daptado a partir de Beer et al. (2013b)). 1,423 kn [m] 6

7 Problema 5: Sistemas de vectores. Considere o sistema de vectores representado na figura. Os vectores estão dispostos sobre um tetraedro. a x 3 a [m] C P P P a O B P (a) Calcule os elementos de redução do sistema de vectores no ponto O e classifique o caso de redução. (b) Determine a equação do eixo central e calcule as coordenadas do ponto D onde o eixo central intersecta o plano O. (c) Determine a força F a aplicar em segundo o eixo por forma a transformar o sistema num equivalente a vector único cuja linha de acção passa no ponto D. 7

8 Problema 6: Sistemas de vectores distribuídos. peça representado na figura foi obtida através do corte de um tubo circular de parede fina por dois planos oblíquos. O peso por unidade de superfície do tubo é igual a ( p)e 3. x 3 h h 3 a a Determine a resultante e a respectiva linha de acção deste sistema de vectores distribuídos sobre uma superfície. (daptado a partir de Beer et al. (2013b)). 8

9 Problema 7: Diagramas de esforços Para cada uma das estruturas representadas nas figuras seguintes (a) Calcule as reacções de apoio. (b) Trace os diagramas de esforços internos indicando todos os valores necessários à sua perfeita definição. 5kN/m 10 kn B C D E F [m] Note que o aparelho de libertação em B não permite a transmissão do esforço transverso entre as secções adjacentes. rótula em D não permite a transmissão do momento flector. 6kN/m 2 9kNm D E F G 10 2kN 45 C 2 B [m]

10 Considere a estrutura representada na figura. 5 kn/m C D E 2 kn B F 1 knm G 3.0 (m) (2 o Considere Problema do 1 o a estrutura representada na figura. teste do ano lectivo 2010/2011). (a) Calcule as reacções de apoio. 1 kn/m (b) Trace os diagramas de esforços internos indicando todos os valores necessários à sua perfeita definição. 2 kn C D E 2.0 B 4 knm 2.0 F (m) (2 o Problema do 2 o exame do ano lectivo 2011/2012). (a) Calcule as reacções de apoio. (b) Trace os diagramas de esforços internos indicando todos os valores necessários à sua perfeita definição. 10

11 Problema 8: Cinemática da partícula: movimento curvilíneo Um jogador de basebol lança uma bola com as condições iniciais indicadas na figura. Nestas condições, determine: (a) as equações paramétricas que definem a trajectória da bola em coordenadas cartesianas. (b) o raio de curvatura da trajectória (i) imediatamente após o lançamento, (ii) no ponto mais elevado da trajectória e (iii) no ponto em que a bola atinge o chão; (c) as quantidades r, ṙ, r, θ, θ e θ no instante t = 0, 5 s. v 0 = 30 m/s α = 30 2 m (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)). (a) x(t) = 25, 9808 t e 1 + ( t 4, 905 t 2) e 2, onde t é expresso em segundos e x(t) em metros. (b) (i) ρ = 105, 936 m, (ii) ρ = 68, 8073 m e (iii) ρ = 112, 939 m. (c) r = 15, 4015 m, ṙ = 27, 3366 m/s, r = 3, m/s 2, θ = 32, 4936, θ = 0, rad/s e θ = 0, rad/s 2. 11

12 Problema 9: Cinemática do corpo rígido 2D Na posição mostrada a barra B tem uma velocidade angular de 4 rad s 1 no sentido horário. (a) Usando a fórmula de propagação de velocidades, determine a velocidade angular das barras BC e CD. (b) Repita a alínea anterior recorrendo ao conceito de centro instantâneo de rotação. (c) Determine as acelerações angulares das barras BC e CD nas duas seguintes situações: (i) se a aceleração angular da barra B é de 2 rad/s 2 no sentido horário; (ii) se a velocidade angular da barra B for constante. (d) Considerando a hipótese (i) da alínea anterior, determine a velocidade e a aceleração no centro da barra BC. 0,3 D 0,5 B 0,4 0,4 C [m] (daptado a partir de Beer et al. (2013a)). (a) ω BC = 5, 2 e 3 rad/s, ω CD = 6, 4 e 3 rad/s. (b) ω BC = 5, 2 e 3 rad/s, ω CD = 6, 4 e 3 rad/s. (c) (i) α BC = 8, 152 e 3 rad/s 2, α CD = 0, 896 e 3 rad/s 2, (ii) α BC = 10, 752 e 3 rad/s 2, α CD = 2, 304 e 3 rad/s 2. (d) Seja E o ponto central da barra BC. Então, v E = 3, 2 e 1 0, 48 e 2 m/s e a E = 6, 016 e , 8608 e 2 m/s 2. 12

13 Problema 10: Cinemática do corpo rígido 2D Um basquetebolista efectua um lançamento livre de tal forma que o seu ombro pode ser considerado uma rótula no momento do lançamento, como mostrado na figura. Sabendo que no instante considerado o braço O tem uma velocidade angular constante de 2 rad s 1 no sentido anti-horário e o antebraço P tem uma velocidade angular, relativamente a O, constante, no sentido dos ponteiros do relógio de 4 rad s 1, determinar a velocidade, v P, e a aceleração, a P, do pulso P. P Modelo O mm 350mm (daptado a partir de Beer et al. (2013a)). v P = 0, e F 1 + 0, e F 2 m/s e a P = 1, e F 1 1, e F 2 m/s 2. 13

14 Problema 11: Cinemática do corpo rígido 3D Um disco com um raio de 120 mm gira com velocidade angular constante ω 2 = 5 rad s 1 relativamente ao braço B, que por sua vez roda com velocidade angular constante ω 1 = 3 rad s 1, como indicado na figura. Para a posição mostrada, determinar a velocidade v C, e a aceleração, a C, do ponto C. ω 1 x mm 75 mm B ω 2 C 120 mm D (daptado a partir de Beer et al. (2013a)). v C = 0, 6 e F 2 0, 585 e F 3 m/s e a C = 4, 755 e F 1. 14

15 Problema 12: Cinemática da partícula 3D No instante representado, a bola B rola ao longo da ranhura do disco com uma velocidade de 0, 6 m/s e uma aceleração de 0, 15 m/s 2, ambos medidos relativamente ao disco e dirigidos segundo OB. Se no mesmo instante o disco rodar com a velocidade angular e a aceleração angular indicadas, determine a velocidade e a aceleração da bola neste instante. x 3 v = 0, 6 m/s a = 0, 15 m/s 2 O ω = 6 rad/s α = 3 rad/s 2 B 0, 4m (daptado a partir de Hibbeler (2016a)). v B = 0, 6 e F 1 + 2, 4 e F 2 m/s e a B = 14, 25 e F 1 + 8, 4 e F 2 m/s 2. 15

16 Problema 13: Cinemática do corpo rígido 3D roda gira sem escorregar ao longo de um arco de circunferência de raio R, completando uma rotação completa em torno do eixo, com velocidade constante, no tempo τ. Determine: (a) o vector velocidade angular da roda, ω; (b) o vector aceleração angular da roda, α; (c) as expressões da velocidade, v, e aceleração, a, do ponto da roda. R O r x 3 (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)). (a) ω = 2 π τ ( e F 2 R ) r ef 3. ( ) 2 π 2 R (b) α = τ r ef 1. ( 2 π R (c) v = τ ( ) 2 π 2 a = R τ ) ( e F 1 e F 2 r R ef 3 [( R r + r R ), ) e F 1 + e F 3 ]. 16

17 Problema 14: Cinemática do corpo rígido 3D roda de raio r roda em torno da haste CO, que roda em torno do eixo vertical com uma velocidade angular constante p. Se a roda girar sem escorregar ao longo de um arco de circunferência de raio R, determine as expressões para a velocidade angular, ω, e para a aceleração angular, α, da roda, expressando os resultados no referencial móvel indicado. x 3 C p R r O θ B (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)). ω = p [ cos θ e 2 + ( ) ] R r + sen θ e 3 e α = p 2 R r cos θ e 1. 17

18 Problema 15: Centróide de linhas planas Determine a localização do centróide, x G, das linhas assinaladas nas figuras: (a) o contorno formado por parte de uma circunferência de raio R e um segmento de recta; (b) cardióide, cuja equação em coordenadas polares do contorno é dada por r(θ) = a (1 cos θ). R r(θ) α x G x G θ α x G1 (a) (b) (a) x G = (b) x G = 4 5 a e 1. R sen α (1 + cos α) e α + 1. sen α 18

19 Problema 16: Centróide de superfícies planas Determine a localização do centróide, x G, das áreas assinaladas nas figuras: (a) parte de um círculo de raio R; (b) cardióide, cuja equação em coordenadas polares do contorno é dada por r(θ) = a (1 cos θ). R r(θ) α x G x G θ α x G1 (a) (b) (daptado a partir de Hibbeler (2016b)). 2 3 (a) x G = R sen 3 α e 1. α sen (2α) 2 (b) x G = 5 6 a e 1. 19

20 Problema 17: Centróide de superfície. Considere novamente a peça representado no problema 6 e abaixo reproduzida, obtida através do corte de um tubo circular de parede fina por dois planos oblíquos. x 3 h h 3 a a Determine as coordenadas do respectivo centróide. (daptado a partir de Beer et al. (2013b)). x G = 1 2 a e h e 3. 20

21 Problema 18: Centróide de volume. Considere a peça representado na figura, obtida através do corte de um cilindro elíptico por um plano oblíquo. x 3 h a a b b Determine as coordenadas do respectivo centróide. (daptado a partir de Beer et al. (2013b)). x G = 1 4 b e h e 3. 21

22 Problema 19: Matriz de inércia. Mostre que os eixos representados correspondem aos eixos principais de inércia da área assinalada na figura seguinte. b b (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012b)). 22

23 Problema 20: Dinâmica da partícula Os dois cursores e B, com 0, 2 kg de massa, deslizam sem atrito sobre um plano horizontal numa calha circular. Determine (i) a aceleração de cada cursor, (ii) as forças de reacção normal exercida em cada um dos cursores pela calha e (iii) a força de tracção no cabo B quando o sistema, partindo do repouso na posição indicada, é actuado por uma força P igual a 4 N. P = 4 N R O Repita o problema considerando agora a configuração apresentada na figura seguinte. B P = 4 N R 45 O B (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)). (a) a = 10 e t m/s 2. (b) N = 2 e 1 N, N B = 2 e 2 N. (c) T = 4 N. ( 2 (a) a = 10 e t m/s 2. (b) N = 4, e 1 N, N B = 4, e 1 ) 2 2 e 2 N. (c) T = 5, N. 23

24 Problema 21: Dinâmica da partícula o pequeno cursor de massa m é dada uma velocidade inicial de magnitude v 0 na pista circular horizontal representada na figura. O coeficiente de atrito cinético entre o cursor e a pista é µ c. Determine a distância percorrida até o cursor parar. (Sugestão: note que força de atrito que a pista exerce sobre o cursor depende da intensidade da resultante das componentes das forças de atrito.) r m v 0 (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)). s = r ln v2 0 + v r2 g 2. 2 µ c r g 24

25 Problema 22: Dinâmica da partícula: trabalho e energia bola, com 3 kg de massa, encontra-se ligada a duas molas de rigidez 10 N m 1, indeformadas na posição mostrada. Sabe-se que nesta posição a velocidade da bola é v = 8 m s 1. bola segue a trajectória assinalada, passando no ponto B, situado 5 m abaixo do ponto. Determine a velocidade da bola no ponto B. (Sugestão: note que todas as forças envolvidas são conservativas, pelo que pode usar o teorema da conservação de energia.) v 12 m 12 m 5 m v B B (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)). v B = 12, 4673 m/s. 25

26 Problema 23: Dinâmica do corpo rígido: força, massa e aceleração Cada uma das rodas tem uma massa de 2 kg e o cilindro interno tem uma massa de 3 kg. s rodas e o cilindro são montados através do pequeno veio central de modo que cada um pode rodar independentemente dos restantes com atrito desprezável nos rolamentos. Calcule a aceleração do veio quando é aplicada uma força de 20 N, conforme mostrado na figura. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre as rodas e a superfície horizontal são µ e = 0, 4 e µ c = 0, 3, respectivamente. 20 N 75 mm 150 mm 20 N (daptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)). a = 2, (2) e 1 m/s 2. 26